Mostre que a lagrangiana do Problema 1.7 é quase-invariante sob uma translação infinitesimal
e encontre a constante de movimento correspondente via teorema de Noether. Usando a equação de movimento do sistema, verifique diretamente que a quantidade obtida pelo teorema de Noether é de fato constante de movimento.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Mostrar que a lagrangiana do “Problema 1.7” é quase-invariante sob a translação infinitesimal
e obter a constante de movimento correspondente via o teorema de Noether. - Usar a equação de movimento do sistema para verificar diretamente que a quantidade obtida é de fato constante (ou seja, sua derivada temporal é zero).
Informações dadas no enunciado que eu tenho aqui:
- A transformação infinitesimal é
(tempo invariável). - O enunciado refere-se à “lagrangiana do Problema 1.7”, mas essa lagrangiana específica não foi fornecida na sua mensagem.
Consequência: não posso provar ou calcular explicitamente a quase-invariância da lagrangiana nem obter uma expressão numérica/funcional específica para a constante de movimento relativa ao Problema 1.7 porque a função
do Problema 1.7 não foi enviada. Portanto, não posso concluir o cálculo específico para o Problema 1.7.
O que eu posso (e vou) fazer: apresentar passo a passo e didaticamente o método geral que se aplica a esse caso, mostrar como provar que uma lagrangiana é quase-invariante, deduzir a forma geral da quantidade conservada dada por Noether para a translação e verificar diretamente, usando as equações de movimento, que essa quantidade é conservada. Assim, quando você me passar a lagrangiana do Problema 1.7, você já terá todo o procedimento pronto para aplicar.
O que eu posso (e vou) fazer: apresentar passo a passo e didaticamente o método geral que se aplica a esse caso, mostrar como provar que uma lagrangiana é quase-invariante, deduzir a forma geral da quantidade conservada dada por Noether para a translação
Passo 2
Conceitos fundamentais (explicação didática, sem pular etapas).
- O que significa “quase-invariante”: uma lagrangiana
é quase-invariante sob uma transformação infinitesimal (com pequeno) se sob essa transformação a variação de for um total derivada temporal de alguma função . Em fórmulas:
“Quase” porque não exige
, apenas que
seja um total derivada — o que não altera as equações de movimento porque tal termo contribui só por termos de contorno na ação.
-
Para uma translação pura no espaço, o gerador é
. Ou seja, . -
Teorema de Noether (forma que vamos usar, explicada): se a variação infinitesimal da lagrangiana satisfaz
então existe uma quantidade
conservada ao longo das trajetórias que satisfazem as equações de Euler–Lagrange, dada por
Aqui
é a função geradora da transformação dividida por
(ou seja,
), e
é o momento conjugado
. No caso da translação com
, essa fórmula reduz para
.
Vou agora derivar essa fórmula passo a passo (para você poder reproduzir na prova).
Passo 3
Derivação passo a passo da quantidade conservada (Noether) para transformações infinitesimais.
Começamos com a variação da lagrangiana sob
. A variação, até ordem
, é
Como
, escrevemos dividindo por
:
Agora usamos uma identidade de cálculo (integração por partes no tempo, mas apresentada como identidade):
Substituindo na expressão para
obtemos
Agora entra a equação de Euler–Lagrange: para trajetórias físicas (on-shell),
Isto significa que o termo entre parênteses acima é zero sobre as soluções. Portanto, sobre as trajetórias físicas,
Mas a hipótese de quase-invariância afirma também que
Comparando as duas expressões para
, obtemos
Assim a quantidade
é conservada (constante no tempo) ao longo das soluções das equações de movimento. Observações sobre cada termo:
-
é o momento conjugado . -
é o gerador (no nosso caso de translação ). -
é a função tal que . Se a lagrangiana for estritamente invariante, e então .
Passo 4
Aplicação ao caso da translação
(ou seja,
) e forma prática da quantidade conservada.
- Para translação:
. Logo a quantidade de Noether fica, de forma simples,
- Caso especial importante: se a lagrangiana é estritamente invariante (
), então e
ou seja, o momento linear é conservado — isto é o resultado físico habitual: invariância de translação espacial → conservação do momento.
Passo 5
Verificação direta, usando a equação de movimento, de que
é constante (cálculo explícito da derivada temporal de
).
Calculemos
a partir de
, onde
.
Agora usamos duas coisas:
- A equação de Euler–Lagrange:
. - A condição de quase-invariância:
. (Essa igualdade foi obtida antes como parte da derivação; é a condição que relaciona , , e .)
Substituindo
na expressão de
e comparando com a condição de quase-invariância, vemos que os termos se cancelam e obtemos
No caso da translação com
(logo
), a verificação fica ainda mais direta:
Mas da quase-invariância (escrita para
) temos
. Portanto
. Isso fecha a verificação direta:
é constante ao longo da evolução.
Passo 6
Como aplicar tudo isso ao seu Problema 1.7 (instruções práticas para a prova).
- Pegue a lagrangiana
do Problema 1.7 (que você precisa enviar ou ter na prova). - Calcule a variação infinitesimal:
Em geral use e se for constante (para translação pura no espaço ). - Verifique se
é um total temporal: tente escrever . Se conseguir, encontrou . - A quantidade conservada é
Se , então é simplesmente o momento conjugado. - Para checar diretamente: calcule
usando E-L e mostre que dá zero — repita os passos do Passo 5 com sua .
Dica de amizade de prova: muitas lagrangianas comuns não dependem explicitamente de
(ou dependem de forma que
é zero), então
e o momento é conservado. Se você vir termos como potenciais dependentes de
que mudam sob tradução apenas por uma derivada total, aí terá
.
Resposta
Não posso demonstrar especificamente que a lagrangiana do Problema 1.7 é quase-invariante porque a lagrangiana não foi fornecida.
A forma geral da constante de movimento dada pelo teorema de Noether para a translação é
A forma geral da constante de movimento dada pelo teorema de Noether para a translação
onde
é a função tal que
. Se
(invariância estrita), então
(o momento conjugado), e usando as equações de Euler–Lagrange verifica-se diretamente que
.