Mostre que a lagrangiana do Problema 1.7 é quase-invariante sob uma translação infinitesimal x^{\prime}=x+\epsilon e encontre a constante de movimento correspondente via teorema de Noether. Usando a equação de movimento do sistema, verifique diretamente que a quantidade obtida pelo teorema de Noether é de fato constante de movimento.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  1. Mostrar que a lagrangiana do “Problema 1.7” é quase-invariante sob a translação infinitesimal \;x' = x + \epsilon\; e obter a constante de movimento correspondente via o teorema de Noether.
  2. Usar a equação de movimento do sistema para verificar diretamente que a quantidade obtida é de fato constante (ou seja, sua derivada temporal é zero).
Informações dadas no enunciado que eu tenho aqui:
  • A transformação infinitesimal é \;x' = x + \epsilon\; (tempo invariável).
  • O enunciado refere-se à “lagrangiana do Problema 1.7”, mas essa lagrangiana específica não foi fornecida na sua mensagem.
Consequência: não posso provar ou calcular explicitamente a quase-invariância da lagrangiana nem obter uma expressão numérica/funcional específica para a constante de movimento relativa ao Problema 1.7 porque a função L(x,\dot x,t) do Problema 1.7 não foi enviada. Portanto, não posso concluir o cálculo específico para o Problema 1.7.
O que eu posso (e vou) fazer: apresentar passo a passo e didaticamente o método geral que se aplica a esse caso, mostrar como provar que uma lagrangiana é quase-invariante, deduzir a forma geral da quantidade conservada dada por Noether para a translação \;x' = x + \epsilon\; e verificar diretamente, usando as equações de movimento, que essa quantidade é conservada. Assim, quando você me passar a lagrangiana do Problema 1.7, você já terá todo o procedimento pronto para aplicar.

Passo 2

Conceitos fundamentais (explicação didática, sem pular etapas).
  • O que significa “quase-invariante”: uma lagrangiana L(x,\dot x,t) é quase-invariante sob uma transformação infinitesimal x' = x + \epsilon\,\eta(x,t) (com \epsilon pequeno) se sob essa transformação a variação de L for um total derivada temporal de alguma função F(x,t). Em fórmulas:
\delta L \equiv L(x+\epsilon\eta,\dot x+\epsilon\dot\eta,t) - L(x,\dot x,t) = \epsilon\,\frac{dF}{dt} + O(\epsilon^2).
“Quase” porque não exige \delta L=0, apenas que \delta L seja um total derivada — o que não altera as equações de movimento porque tal termo contribui só por termos de contorno na ação.
  • Para uma translação pura no espaço, o gerador é \eta(x,t)=1. Ou seja, \;x' = x + \epsilon\cdot 1\;.
  • Teorema de Noether (forma que vamos usar, explicada): se a variação infinitesimal da lagrangiana satisfaz
\delta L = \epsilon\,\frac{dF}{dt},
então existe uma quantidade Q conservada ao longo das trajetórias que satisfazem as equações de Euler–Lagrange, dada por
Q = \frac{\partial L}{\partial \dot x}\,\eta - F.
Aqui \eta é a função geradora da transformação dividida por \epsilon (ou seja, \delta x = \epsilon\eta), e \displaystyle \frac{\partial L}{\partial \dot x} é o momento conjugado p. No caso da translação com \eta=1, essa fórmula reduz para Q = p - F.
Vou agora derivar essa fórmula passo a passo (para você poder reproduzir na prova).

Passo 3

Derivação passo a passo da quantidade conservada (Noether) para transformações infinitesimais.
Começamos com a variação da lagrangiana sob \delta x = \epsilon\eta. A variação, até ordem \epsilon, é
\delta L = \frac{\partial L}{\partial x}\,\delta x + \frac{\partial L}{\partial \dot x}\,\delta\dot x.
Como \delta\dot x = \dfrac{d}{dt}(\delta x) = \epsilon\,\dfrac{d\eta}{dt}, escrevemos dividindo por \epsilon:
\frac{\delta L}{\epsilon} = \frac{\partial L}{\partial x}\,\eta + \frac{\partial L}{\partial \dot x}\,\frac{d\eta}{dt}.
Agora usamos uma identidade de cálculo (integração por partes no tempo, mas apresentada como identidade):
\frac{\partial L}{\partial \dot x}\,\frac{d\eta}{dt} = \frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial \dot x}\,\eta\right) - \frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial \dot x}\right)\eta.
Substituindo na expressão para \delta L/\epsilon obtemos
\frac{\delta L}{\epsilon} = \frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial \dot x}\,\eta\right) + \left(\frac{\partial L}{\partial x} - \frac{d}{dt}\!\bigg(\frac{\partial L}{\partial \dot x}\bigg)\right)\eta.
Agora entra a equação de Euler–Lagrange: para trajetórias físicas (on-shell),
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial \dot x}\right) - \frac{\partial L}{\partial x} = 0.
Isto significa que o termo entre parênteses acima é zero sobre as soluções. Portanto, sobre as trajetórias físicas,
\frac{\delta L}{\epsilon} = \frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial \dot x}\,\eta\right).
Mas a hipótese de quase-invariância afirma também que
\frac{\delta L}{\epsilon} = \frac{dF}{dt}.
Comparando as duas expressões para \delta L/\epsilon, obtemos
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial \dot x}\,\eta - F\right) = 0.
Assim a quantidade
Q \equiv \frac{\partial L}{\partial \dot x}\,\eta - F
é conservada (constante no tempo) ao longo das soluções das equações de movimento. Observações sobre cada termo:
  • \displaystyle \frac{\partial L}{\partial \dot x} é o momento conjugado p.
  • \eta é o gerador (no nosso caso de translação \eta=1).
  • F é a função tal que \delta L = \epsilon\,\dfrac{dF}{dt}. Se a lagrangiana for estritamente invariante, F=0 e então Q=p.

Passo 4

Aplicação ao caso da translação \;x' = x + \epsilon\; (ou seja, \eta=1) e forma prática da quantidade conservada.
  • Para translação: \eta=1. Logo a quantidade de Noether fica, de forma simples,
Q = \frac{\partial L}{\partial \dot x} - F.
  • Caso especial importante: se a lagrangiana é estritamente invariante ( \delta L = 0), então F=0 e
Q = \frac{\partial L}{\partial \dot x} = p,
ou seja, o momento linear é conservado — isto é o resultado físico habitual: invariância de translação espacial → conservação do momento.

Passo 5

Verificação direta, usando a equação de movimento, de que Q é constante (cálculo explícito da derivada temporal de Q).
Calculemos \dfrac{dQ}{dt} a partir de Q = p\,\eta - F, onde p \equiv \dfrac{\partial L}{\partial \dot x}.
\frac{dQ}{dt} = \frac{d}{dt}\big(p\eta\big) - \frac{dF}{dt} = \left(\frac{dp}{dt}\right)\eta + p\frac{d\eta}{dt} - \frac{dF}{dt}.
Agora usamos duas coisas:
  1. A equação de Euler–Lagrange: \dfrac{dp}{dt} = \dfrac{\partial L}{\partial x}.
  2. A condição de quase-invariância: \delta L/\epsilon = \dfrac{\partial L}{\partial x}\,\eta + p\dfrac{d\eta}{dt} = \dfrac{dF}{dt}. (Essa igualdade foi obtida antes como parte da derivação; é a condição que relaciona \partial L/\partial x, \eta, p e F.)
Substituindo \dfrac{dp}{dt}=\dfrac{\partial L}{\partial x} na expressão de \dfrac{dQ}{dt} e comparando com a condição de quase-invariância, vemos que os termos se cancelam e obtemos
\frac{dQ}{dt} = 0.
No caso da translação com \eta=1 (logo \dfrac{d\eta}{dt}=0), a verificação fica ainda mais direta:
\frac{dQ}{dt} = \frac{dp}{dt} - \frac{dF}{dt} = \frac{\partial L}{\partial x} - \frac{dF}{dt}.
Mas da quase-invariância (escrita para \eta=1) temos \dfrac{\partial L}{\partial x} = \dfrac{dF}{dt}. Portanto \dfrac{dQ}{dt}=0. Isso fecha a verificação direta: Q é constante ao longo da evolução.

Passo 6

Como aplicar tudo isso ao seu Problema 1.7 (instruções práticas para a prova).
  1. Pegue a lagrangiana L(x,\dot x,t) do Problema 1.7 (que você precisa enviar ou ter na prova).
  2. Calcule a variação infinitesimal: \delta L = L(x+\epsilon,\dot x,t) - L(x,\dot x,t) = \epsilon\left(\frac{\partial L}{\partial x}\cdot 1\right) + \text{(termos envolvendo }\dot x\text{ se houver dependência explícita)}.êíEm geral use \eta=1 e \delta\dot x = 0 se \eta for constante (para translação pura no espaço \delta\dot x = \epsilon\,\dot\eta=0).
  3. Verifique se \delta L é um total temporal: tente escrever \delta L = \epsilon\,\dfrac{dF}{dt}. Se conseguir, encontrou F.
  4. A quantidade conservada é Q = \frac{\partial L}{\partial \dot x} - F.Se F=0, então Q é simplesmente o momento conjugado.
  5. Para checar diretamente: calcule \dfrac{dQ}{dt} usando E-L e mostre que dá zero — repita os passos do Passo 5 com sua L.
Dica de amizade de prova: muitas lagrangianas comuns não dependem explicitamente de x (ou dependem de forma que \delta L é zero), então F=0 e o momento é conservado. Se você vir termos como potenciais dependentes de x que mudam sob tradução apenas por uma derivada total, aí terá F\neq 0.

Resposta

Não posso demonstrar especificamente que a lagrangiana do Problema 1.7 é quase-invariante porque a lagrangiana não foi fornecida.
A forma geral da constante de movimento dada pelo teorema de Noether para a translação \;x' = x + \epsilon\; é
\displaystyle Q \;=\; \frac{\partial L}{\partial \dot x} - F,
onde F é a função tal que \delta L = \epsilon\,\dfrac{dF}{dt}. Se F=0 (invariância estrita), então Q=\dfrac{\partial L}{\partial \dot x} (o momento conjugado), e usando as equações de Euler–Lagrange verifica-se diretamente que \dfrac{dQ}{dt}=0.

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