Seja q_{k} uma coordenada cíclica da lagrangiana L(q, \dot{q}, t), de modo que o momento conjugado p_{k} é constante de movimento. Se L for substituída por \bar{L}=L+d F(q, t) / d t, em geral q_{k} não será coordenada cíclica de \bar{L} e o momento conjugado não se conservará. Mas sabemos que \bar{L} e L produzem as mesmas equações de movimento. Resolva o aparente paradoxo: como é possível que as mesmas equações de movimento impliquem tanto conservação quanto não conservação? Escolhendo F=q^{2}, discuta o caso da partícula livre unidimensional com L=\dot{q}^{2} / 2.

Passo 1

O enunciado pergunta por que existe um “paradoxo”: se q_{k} é coordenada cíclica de L(q,\dot q,t) então o momento conjugado p_{k}=\partial L/\partial\dot q_{k} é conservado; mas ao substituir L por \bar L=L+\dfrac{dF(q,t)}{dt} em geral q_{k} deixa de ser explícita-mente cíclica em \bar L e \bar p_{k}=\partial\bar L/\partial\dot q_{k} não é conservado. Ao mesmo tempo sabemos que L e \bar L geram as mesmas equações de movimento. A tarefa é explicar por que não há contradição e, tomando F=q^{2}, discutir o caso da partícula livre unidimensional com L=\dfrac{\dot q^{2}}{2}.
Informações dadas e o que precisamos usar:
\;1.\; \bar L = L + \dfrac{dF(q,t)}{dt}.
\;2.\; Definição de momento conjugado p_{i}=\dfrac{\partial L}{\partial\dot q_{i}}.
\;3.\; Condição de coordenada cíclica: \dfrac{\partial L}{\partial q_{k}}=0 implica \dfrac{d p_{k}}{dt}=0.
\;4.\; Exemplo pedido: F=q^{2} e L=\dfrac{1}{2}\dot q^{2} (partícula livre 1D).

Passo 2

Mostrando que adicionar um derivada total não muda as equações de movimento (a parte técnica, bem passo-a-passo).
Definição: A equação de Euler–Lagrange para coordenada q_{i} é
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial\dot q_{i}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_{i}}=0.
Se definirmos \bar L=L+\dfrac{dF(q,t)}{dt}, calculemos as derivadas parciais relevantes (a conta é direta, vou explicitar porque isso é importante):
Calcule \dfrac{\partial}{\partial\dot q_{i}}\!\left(\frac{dF}{dt}\right). Como
\frac{dF}{dt}=\sum_{j}\frac{\partial F}{\partial q_{j}}\dot q_{j}+\frac{\partial F}{\partial t},
temos
\frac{\partial}{\partial\dot q_{i}}\!\left(\frac{dF}{dt}\right)=\frac{\partial F}{\partial q_{i}}.
Agora calcule \dfrac{\partial}{\partial q_{i}}\!\left(\frac{dF}{dt}\right). Derivando termo a termo,
\frac{\partial}{\partial q_{i}}\!\left(\frac{dF}{dt}\right) =\sum_{j}\frac{\partial^{2}F}{\partial q_{i}\partial q_{j}}\dot q_{j}+\frac{\partial^{2}F}{\partial q_{i}\partial t}.
Por outro lado,
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial F}{\partial q_{i}}\right) =\sum_{j}\frac{\partial^{2}F}{\partial q_{i}\partial q_{j}}\dot q_{j}+\frac{\partial^{2}F}{\partial q_{i}\partial t},
que é exatamente o mesmo resultado. Portanto
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial F}{\partial q_{i}}\right) =\frac{\partial}{\partial q_{i}}\!\left(\frac{dF}{dt}\right).
Agora plugando na Euler–Lagrange para \bar L:
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial\bar L}{\partial\dot q_{i}}\right)-\frac{\partial\bar L}{\partial q_{i}} =\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial\dot q_{i}}+\frac{\partial F}{\partial q_{i}}\right) -\left(\frac{\partial L}{\partial q_{i}}+\frac{\partial}{\partial q_{i}}\!\left(\frac{dF}{dt}\right)\right).
Pelo resultado anterior os termos com F se cancelam, sobrando exatamente a Euler–Lagrange de L. Conclusão: \bar L e L produzem as mesmas equações de movimento porque a adição de dF/dt altera a ação apenas por termos de contorno, não alterando a variação interior.

Passo 3

Definição de momento conjugado e conservação quando a coordenada é cíclica.
Por definição, o momento conjugado é
p_{i}=\frac{\partial L}{\partial\dot q_{i}}.
Se q_{k} é cíclica em L, isto é \dfrac{\partial L}{\partial q_{k}}=0, então a Euler–Lagrange para q_{k}
\frac{d}{dt}p_{k}=0,
ou seja p_{k} é constante de movimento (conservado). Isto é uma forma simples do teorema de conservação associado à simetria de translação na coordenada q_{k}.

Passo 4

Como a adição de dF/dt muda o momento conjugado e onde está a “não-conservação”.
Calcule o novo momento conjugado para \bar L:
\bar p_{i}=\frac{\partial \bar L}{\partial\dot q_{i}}=\frac{\partial L}{\partial\dot q_{i}}+\frac{\partial F}{\partial q_{i}}=p_{i}+\frac{\partial F}{\partial q_{i}}.
Para a coordenada q_{k} temos então
\bar p_{k}=p_{k}+\frac{\partial F}{\partial q_{k}}.
Como p_{k} é constante (pela ciclidade em L), a derivada temporal de \bar p_{k} é
\frac{d\bar p_{k}}{dt}=\frac{dp_{k}}{dt}+\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial F}{\partial q_{k}}\right) =0+\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial F}{\partial q_{k}}\right).
Em geral \dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{\partial F}{\partial q_{k}}\right)\neq0, então \bar p_{k} não é conservado. A observação crucial é: a quantidade que permanece conservada é p_{k}, não \bar p_{k}. Portanto não há contradição com as equações de movimento — a conservação existe, mas a expressão do momento que é conservada depende de qual Lagrangiana (diferindo por uma derivada total) você escolhe.
Em outras palavras: adicionar dF/dt é como mudar “a definição canônica do momento” por uma quantidade \partial F/\partial q. A existência de uma constante de movimento (devida à simetria) persiste, mas sua representação em termos de \bar p muda.

Passo 5

Interpretação via Noether (intuição física leve e didática).
Noether diz que a cada simetria contínua do princípio variacional corresponde uma quantidade conservada. A adição de dF/dt não quebra a simetria do princípio variacional (apenas adiciona termos de contorno), por isso a quantidade conservada existe. O que muda é o “corrente canônica” associado: os geradores (momentos canônicos) podem mudar por termos que são gradientes de F. Então a conservação não some; apenas a forma matemática do momento canônico que aparece no Lagrangiano modificado muda.

Passo 6

Agora o exemplo concreto: escolha F=q^{2} e L=\dfrac{1}{2}\dot q^{2} (partícula livre 1D). Fazendo as contas explícitas para ver na prática.
  1. Lagrangiana original:
L=\frac{1}{2}\dot q^{2}.
O momento conjugado é
p=\frac{\partial L}{\partial\dot q}=\dot q.
Como L não depende de q, q é cíclica e
\frac{dp}{dt}=0\quad\Rightarrow\quad \dot q=\text{const}=v_{0}.
A solução do movimento é
q(t)=v_{0}t+q_{0}.
  1. Lagrangiana modificada com F=q^{2}:
\bar L=L+\frac{dF}{dt}=\frac{1}{2}\dot q^{2}+\frac{d}{dt}(q^{2}) =\frac{1}{2}\dot q^{2}+2q\dot q.
O novo momento conjugado é
\bar p=\frac{\partial\bar L}{\partial\dot q}=\dot q+2q.
Usando a solução do movimento \dot q=v_{0} e q=v_{0}t+q_{0}, obtemos explicitamente
\bar p(t)=v_{0}+2(v_{0}t+q_{0})=2v_{0}t+(v_{0}+2q_{0}),
que é linear em t e portanto não é conservado (a menos que v_{0}=0). Calculando a derivada temporal diretamente,
\frac{d\bar p}{dt}=\ddot q+2\dot q=0+2v_{0}=2v_{0}\neq0\\ (\text{geralmente}).
  1. Entretanto, a combinação
\bar p-2q=\dot q=p
é exatamente o momento canônico original e é conservada. Logo a constante de movimento existe e é \dot q; o fato de \bar p não ser constante não contradiz as equações de movimento.

Passo 7

Resumo conceitual final e resposta do “paradoxo” de forma direta e prática.
  • Adicionar \dfrac{dF}{dt} não altera as equações de movimento porque modifica a ação só por termos de contorno; portanto a dinâmica (soluções q(t)) é a mesma.
  • O momento conjugado depende da Lagrangiana escolhida: \bar p_{k}=p_{k}+\dfrac{\partial F}{\partial q_{k}}. Se p_{k} é conservado, \bar p_{k} em geral não será; porém a combinação que recupera a conservação é p_{k}=\bar p_{k}-\dfrac{\partial F}{\partial q_{k}}.
  • No exemplo com F=q^{2} e L=\dfrac{1}{2}\dot q^{2}, a partícula livre tem \dot q=v_{0} constante, p=\dot q conservado, enquanto \bar p=\dot q+2q cresce linearmente no tempo. Não há contradição: existe conservação (de p), só que \bar p não é a quantidade conservada.

Resposta

A “contradição” some quando lembramos que o momento canônico depende da Lagrangiana: \bar p_{k}=p_{k}+\dfrac{\partial F}{\partial q_{k}}. Se p_{k} é conservado, então \bar p_{k} não precisa ser; a quantidade conservada é p_{k}=\bar p_{k}-\dfrac{\partial F}{\partial q_{k}}.\nPara F=q^{2} e L=\dfrac{1}{2}\dot q^{2}: p=\dot q=v_{0} (conservado), \bar p=\dot q+2q=2v_{0}t+(v_{0}+2q_{0}) (não conservado), e \bar p-2q=\dot q é a quantidade que permanece constante.

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