Seja
uma coordenada cíclica da lagrangiana
, de modo que o momento conjugado
é constante de movimento. Se
for substituída por
, em geral
não será coordenada cíclica de
e o momento conjugado não se conservará. Mas sabemos que
e
produzem as mesmas equações de movimento. Resolva o aparente paradoxo: como é possível que as mesmas equações de movimento impliquem tanto conservação quanto não conservação? Escolhendo
, discuta o caso da partícula livre unidimensional com
.
Passo 1
O enunciado pergunta por que existe um “paradoxo”: se
é coordenada cíclica de
então o momento conjugado
é conservado; mas ao substituir
por
em geral
deixa de ser explícita-mente cíclica em
e
não é conservado. Ao mesmo tempo sabemos que
e
geram as mesmas equações de movimento. A tarefa é explicar por que não há contradição e, tomando
, discutir o caso da partícula livre unidimensional com
.
Informações dadas e o que precisamos usar:
Definição de momento conjugado
.
Condição de coordenada cíclica:
implica
.
Exemplo pedido:
e
(partícula livre 1D).
Passo 2
Mostrando que adicionar um derivada total não muda as equações de movimento (a parte técnica, bem passo-a-passo).
Definição: A equação de Euler–Lagrange para coordenada
é
Se definirmos
, calculemos as derivadas parciais relevantes (a conta é direta, vou explicitar porque isso é importante):
Calcule
. Como
temos
Agora calcule
. Derivando termo a termo,
Por outro lado,
que é exatamente o mesmo resultado. Portanto
Agora plugando na Euler–Lagrange para
:
Pelo resultado anterior os termos com
se cancelam, sobrando exatamente a Euler–Lagrange de
. Conclusão:
e
produzem as mesmas equações de movimento porque a adição de
altera a ação apenas por termos de contorno, não alterando a variação interior.
Passo 3
Definição de momento conjugado e conservação quando a coordenada é cíclica.
Por definição, o momento conjugado é
Se
é cíclica em
, isto é
, então a Euler–Lagrange para
dá
ou seja
é constante de movimento (conservado). Isto é uma forma simples do teorema de conservação associado à simetria de translação na coordenada
.
Passo 4
Como a adição de
muda o momento conjugado e onde está a “não-conservação”.
Calcule o novo momento conjugado para
:
Para a coordenada
temos então
Como
é constante (pela ciclidade em
), a derivada temporal de
é
Em geral
, então
não é conservado. A observação crucial é: a quantidade que permanece conservada é
, não
. Portanto não há contradição com as equações de movimento — a conservação existe, mas a expressão do momento que é conservada depende de qual Lagrangiana (diferindo por uma derivada total) você escolhe.
Em outras palavras: adicionar
é como mudar “a definição canônica do momento” por uma quantidade
. A existência de uma constante de movimento (devida à simetria) persiste, mas sua representação em termos de
muda.
Passo 5
Interpretação via Noether (intuição física leve e didática).
Noether diz que a cada simetria contínua do princípio variacional corresponde uma quantidade conservada. A adição de
não quebra a simetria do princípio variacional (apenas adiciona termos de contorno), por isso a quantidade conservada existe. O que muda é o “corrente canônica” associado: os geradores (momentos canônicos) podem mudar por termos que são gradientes de
. Então a conservação não some; apenas a forma matemática do momento canônico que aparece no Lagrangiano modificado muda.
Passo 6
Agora o exemplo concreto: escolha
e
(partícula livre 1D). Fazendo as contas explícitas para ver na prática.
- Lagrangiana original:
O momento conjugado é
Como
não depende de
,
é cíclica e
A solução do movimento é
- Lagrangiana modificada com
:
O novo momento conjugado é
Usando a solução do movimento
e
, obtemos explicitamente
que é linear em
e portanto não é conservado (a menos que
). Calculando a derivada temporal diretamente,
- Entretanto, a combinação
é exatamente o momento canônico original e é conservada. Logo a constante de movimento existe e é
; o fato de
não ser constante não contradiz as equações de movimento.
Passo 7
Resumo conceitual final e resposta do “paradoxo” de forma direta e prática.
- Adicionar
não altera as equações de movimento porque modifica a ação só por termos de contorno; portanto a dinâmica (soluções ) é a mesma. - O momento conjugado depende da Lagrangiana escolhida:
. Se é conservado, em geral não será; porém a combinação que recupera a conservação é . - No exemplo com
e , a partícula livre tem constante, conservado, enquanto cresce linearmente no tempo. Não há contradição: existe conservação (de ), só que não é a quantidade conservada.
Resposta
A “contradição” some quando lembramos que o momento canônico depende da Lagrangiana:
. Se
é conservado, então
não precisa ser; a quantidade conservada é
.\nPara
e
:
(conservado),
(não conservado), e
é a quantidade que permanece constante.