3.26* Uma partícula se move sob a influência de uma força central dirigida para uma origem fixa
. (a) Explique por que o momento angular da partícula em torno de
é constante. (b) Cite em detalhes o argumento de que a órbita da partícula deve estar sobre um único plano contendo
.
Passo 1
O enunciado diz: uma partícula move-se sob a ação de uma força central, isto é, uma força dirigida para (ou de) um ponto fixo
. Perguntas:
(a) explicar por que o momento angular da partícula em torno de é constante;
(b) dar em detalhes o argumento de que a órbita da partícula fica sobre um único plano que contenha .
(a) explicar por que o momento angular da partícula em torno de
(b) dar em detalhes o argumento de que a órbita da partícula fica sobre um único plano que contenha
Informações dadas e notações que vamos usar (todas fornecidas pelo enunciado ou usuais):
- A posição da partícula em relação a
é o vetor . - A velocidade é
. - A quantidade de movimento (momento linear) é
, com constante. - A força é central:
é sempre paralela ao vetor (isto é, para alguma função escalar ).
Nada mais será assumido além disso.
Passo 2
Definição e intuição do momento angular. Vamos definir o momento angular em torno de
por
O que isto significa: o produto vetorial
produz um vetor
perpendicular ao plano formado por
e
; a magnitude é
onde
,
e
é o ângulo entre
e
. Fisicamente,
mede “quanto de giro” a partícula tem em torno de
. Guardamos essa definição porque a parte (a) pede conservação de
.
Passo 3
Cálculo da derivada temporal de
. Vamos calcular
usando regra do produto vetorial:
Agora use
com
constante. Então
(segunda lei de Newton). O primeiro termo fica
porque um vetor cruz ele mesmo é zero. Então sobra
Esse vetor
é justamente o torque (momento de força) em relação ao ponto
.
Passo 4
Usando que a força é central. Pelo enunciado,
é paralela a
: existe um escalar
tal que
. Dois vetores paralelos têm produto vetorial nulo. Logo
Substituindo no resultado do passo anterior,
Portanto
é constante (mesma magnitude e mesma direção) em todos os instantes de tempo. Isso responde a (a): a conservação do momento angular é consequência direta de o torque em relação a
ser zero porque a força é radial.
Um comentário motivador: isso é a versão matemática do que se diz em mecânica clássica como “forças centrais conservam momento angular” — é consequência direta da simetria de rotação em torno de
.
Passo 5
Consequência geométrica: plano da órbita. Já que
é um vetor constante, vamos ver que posição e velocidade permanecem sempre ortogonais a
. Calcule o produto escalar
Mas o produto escalar de um produto vetorial com um dos vetores repetidos é zero (a chamada propriedade do produto misto com vetores repetidos): para qualquer
vale
. Assim
A mesma conta para
dá
. Como
é constante, essas igualdades valem para todos os instantes:
e
são sempre ortogonais a
.
Passo 6
Interpretando o resultado do passo anterior: um vetor
fixo determina um plano perpendicular a ele que passa pela origem
. Se todos os vetores
estão ortogonais a
, então todos os pontos ocupados pela partícula (os extremos de
) ficam contidos nesse plano perpendicular a
. Como a origem
é o ponto de referência de
, esse plano contém
. Portanto a trajetória inteira da partícula está contida em um único plano que contém
. Isso responde (b).
Passo 7
Trato do caso degenerado
. Se inicialmente
, então
e
são paralelos (movimento puramente radial). Com força central o vetor
permanece colinear com
e a partícula segue uma linha reta passando por
. Essa linha está contida em infinitos planos que passam por
, mas a órbita continua sendo geométrica e unicamente colocada num desses planos (no sentido de que a trajetória é uma curva unidimensional que fica dentro de qualquer desses planos). Assim a afirmação “órbita em um único plano contendo
” permanece válida, interpretando o caso radial como uma trajetória degenerada dentro de planos que contêm
.
Passo 8
Intuição extra (útil para prova/oral): a conservação de
implica também a lei das áreas de Kepler para forças centrais: a taxa de varrimento de área é constante. Pode-se mostrar rapidamente que a areal velocity é
o que conecta conservação de
com uma propriedade geométrica da órbita. Isso ajuda a visualizar por que o movimento “fica” num plano e tem simetria angular.
Resposta
(a)
porque
é paralelo a
; logo
é constante.
(b) Como é constante e
, os vetores
(e
) permanecem ortogonais a
para todo
; assim a trajetória inteira fica no plano perpendicular a
que contém
. (Se
o movimento é radial ao longo de uma reta por
, caso degenerado contido em planos que passam por
.)
(b) Como