3.26* Uma partícula se move sob a influência de uma força central dirigida para uma origem fixa O. (a) Explique por que o momento angular da partícula em torno de O é constante. (b) Cite em detalhes o argumento de que a órbita da partícula deve estar sobre um único plano contendo O.

Passo 1

O enunciado diz: uma partícula move-se sob a ação de uma força central, isto é, uma força dirigida para (ou de) um ponto fixo O. Perguntas:
(a) explicar por que o momento angular da partícula em torno de O é constante;
(b) dar em detalhes o argumento de que a órbita da partícula fica sobre um único plano que contenha O.
Informações dadas e notações que vamos usar (todas fornecidas pelo enunciado ou usuais):
  • A posição da partícula em relação a O é o vetor \mathbf{r}(t).
  • A velocidade é \mathbf{v}(t)=\dot{\mathbf{r}}(t).
  • A quantidade de movimento (momento linear) é \mathbf{p}(t)=m\mathbf{v}(t), com m constante.
  • A força é central: \mathbf{F}(\mathbf{r}) é sempre paralela ao vetor \mathbf{r} (isto é, \mathbf{F}(\mathbf{r})=F(r)\,\hat{\mathbf{r}} para alguma função escalar F(r)).
    Nada mais será assumido além disso.

Passo 2

Definição e intuição do momento angular. Vamos definir o momento angular em torno de O por
\mathbf{L}(t)=\mathbf{r}(t)\times\mathbf{p}(t)=m\,\mathbf{r}(t)\times\mathbf{v}(t).
O que isto significa: o produto vetorial \times produz um vetor \mathbf{L} perpendicular ao plano formado por \mathbf{r} e \mathbf{v}; a magnitude é
|\mathbf{L}|=m\,r\,v\,\sin\theta,
onde r=|\mathbf{r}|, v=|\mathbf{v}| e \theta é o ângulo entre \mathbf{r} e \mathbf{v}. Fisicamente, |\mathbf{L}| mede “quanto de giro” a partícula tem em torno de O. Guardamos essa definição porque a parte (a) pede conservação de \mathbf{L}.

Passo 3

Cálculo da derivada temporal de \mathbf{L}. Vamos calcular \dfrac{d\mathbf{L}}{dt} usando regra do produto vetorial:
\frac{d\mathbf{L}}{dt}=\frac{d}{dt}(\mathbf{r}\times\mathbf{p}) =\dot{\mathbf{r}}\times\mathbf{p}+\mathbf{r}\times\dot{\mathbf{p}}.
Agora use \mathbf{p}=m\mathbf{v}=m\dot{\mathbf{r}} com m constante. Então \dot{\mathbf{p}}=\mathbf{F} (segunda lei de Newton). O primeiro termo fica
\dot{\mathbf{r}}\times\mathbf{p}=\mathbf{v}\times(m\mathbf{v})=m(\mathbf{v}\times\mathbf{v})= \mathbf{0},
porque um vetor cruz ele mesmo é zero. Então sobra
\frac{d\mathbf{L}}{dt}=\mathbf{r}\times\mathbf{F}.
Esse vetor \mathbf{r}\times\mathbf{F} é justamente o torque (momento de força) em relação ao ponto O.

Passo 4

Usando que a força é central. Pelo enunciado, \mathbf{F} é paralela a \mathbf{r}: existe um escalar F(r) tal que \mathbf{F}=F(r)\,\mathbf{r}/r. Dois vetores paralelos têm produto vetorial nulo. Logo
\mathbf{r}\times\mathbf{F}=\mathbf{0}.
Substituindo no resultado do passo anterior,
\frac{d\mathbf{L}}{dt}=\mathbf{0}.
Portanto \mathbf{L}(t) é constante (mesma magnitude e mesma direção) em todos os instantes de tempo. Isso responde a (a): a conservação do momento angular é consequência direta de o torque em relação a O ser zero porque a força é radial.
Um comentário motivador: isso é a versão matemática do que se diz em mecânica clássica como “forças centrais conservam momento angular” — é consequência direta da simetria de rotação em torno de O.

Passo 5

Consequência geométrica: plano da órbita. Já que \mathbf{L} é um vetor constante, vamos ver que posição e velocidade permanecem sempre ortogonais a \mathbf{L}. Calcule o produto escalar
\mathbf{L}\cdot\mathbf{r}=(\mathbf{r}\times\mathbf{p})\cdot\mathbf{r}.
Mas o produto escalar de um produto vetorial com um dos vetores repetidos é zero (a chamada propriedade do produto misto com vetores repetidos): para qualquer \mathbf{a},\mathbf{b} vale (\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot\mathbf{a}=0. Assim
\mathbf{L}\cdot\mathbf{r}=0.
A mesma conta para \mathbf{p} \mathbf{L}\cdot\mathbf{p}=0. Como \mathbf{L} é constante, essas igualdades valem para todos os instantes: \mathbf{r}(t) e \mathbf{p}(t) são sempre ortogonais a \mathbf{L}.

Passo 6

Interpretando o resultado do passo anterior: um vetor \mathbf{L} fixo determina um plano perpendicular a ele que passa pela origem O. Se todos os vetores \mathbf{r}(t) estão ortogonais a \mathbf{L}, então todos os pontos ocupados pela partícula (os extremos de \mathbf{r}(t)) ficam contidos nesse plano perpendicular a \mathbf{L}. Como a origem O é o ponto de referência de \mathbf{r}, esse plano contém O. Portanto a trajetória inteira da partícula está contida em um único plano que contém O. Isso responde (b).

Passo 7

Trato do caso degenerado \mathbf{L}=\mathbf{0}. Se inicialmente \mathbf{L}= \mathbf{r}\times\mathbf{p}=\mathbf{0}, então \mathbf{r} e \mathbf{p} são paralelos (movimento puramente radial). Com força central o vetor \mathbf{r} permanece colinear com \mathbf{p} e a partícula segue uma linha reta passando por O. Essa linha está contida em infinitos planos que passam por O, mas a órbita continua sendo geométrica e unicamente colocada num desses planos (no sentido de que a trajetória é uma curva unidimensional que fica dentro de qualquer desses planos). Assim a afirmação “órbita em um único plano contendo O” permanece válida, interpretando o caso radial como uma trajetória degenerada dentro de planos que contêm O.

Passo 8

Intuição extra (útil para prova/oral): a conservação de \mathbf{L} implica também a lei das áreas de Kepler para forças centrais: a taxa de varrimento de área é constante. Pode-se mostrar rapidamente que a areal velocity é
\frac{dA}{dt}=\frac{|\mathbf{L}|}{2m},
o que conecta conservação de \mathbf{L} com uma propriedade geométrica da órbita. Isso ajuda a visualizar por que o movimento “fica” num plano e tem simetria angular.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{d\mathbf{L}}{dt}=\mathbf{r}\times\mathbf{F}= \mathbf{0} porque \mathbf{F} é paralelo a \mathbf{r}; logo \mathbf{L}=\mathbf{r}\times\mathbf{p} é constante.
(b) Como \mathbf{L} é constante e \mathbf{L}\cdot\mathbf{r}= (\mathbf{r}\times\mathbf{p})\cdot\mathbf{r}=0, os vetores \mathbf{r}(t) (e \mathbf{p}(t)) permanecem ortogonais a \mathbf{L} para todo t; assim a trajetória inteira fica no plano perpendicular a \mathbf{L} que contém O. (Se \mathbf{L}=\mathbf{0} o movimento é radial ao longo de uma reta por O, caso degenerado contido em planos que passam por O.)

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