1.30* Leis de conservaçāo, como a conservaçāo do momento, frequentemente fornecem uma quantidade surpreendente de informações sobre o possível resultado de um experimento. Aqui, talvez esteja o mais simples exemplo: dois objetos de massas m_{1} e m_{2} não estão submetidos a forças externas. O objeto 1 está se deslocando com velocidade \mathbf{v} quando colide com o objeto estacionário 2 . Os dois objetos se juntam e se movem com uma velocidade comum \mathbf{v}^{\prime}. Use a conservação do momento para determinar \mathbf{v}^{\prime} em termos de \mathbf{v}, m_{1} e m_{2}.

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine a velocidade comum final \mathbf{v}' depois de uma colisão em que os dois objetos se juntam (colisão totalmente inelástica). As informações dadas são:
  • O objeto 1 tem massa \,m_{1}\, e inicialmente se desloca com velocidade \,\mathbf{v}\,.
  • O objeto 2 tem massa \,m_{2}\, e está inicialmente em repouso (velocidade nula).
  • Após a colisão, os dois corpos ficam ligados e movem-se juntos com velocidade comum \,\mathbf{v}'.
  • Não há forças externas atuando no sistema (situação isolada).
O que precisamos achar: \mathbf{v}' em termos de \mathbf{v}, m_{1}, m_{2}.

Passo 2

Conceito fundamental usado: quantidade de movimento (momentum) de um corpo é o produto da sua massa pela sua velocidade. Em notação vetorial:
\mathbf{p} = m\,\mathbf{v},
onde \mathbf{p} é o vetor quantidade de movimento, m é a massa (escalar) e \mathbf{v} é a velocidade (vetor). Como não há forças externas, a quantidade de movimento total do sistema é conservada: o momento total antes da colisão é igual ao momento total depois.

Passo 3

Calculemos o momento total inicial. O momento do corpo 1 é \,m_{1}\mathbf{v}\,. O corpo 2 está em repouso, então seu momento é \,m_{2}\mathbf{0}=\mathbf{0}\,. Logo o momento total inicial é
\mathbf{p}_{\text{inicial}} = m_{1}\mathbf{v} + \mathbf{0} = m_{1}\mathbf{v}.

Passo 4

Calculemos o momento total final. Depois da colisão os dois corpos se movem juntos com velocidade \mathbf{v}'. A massa total do conjunto é m_{1}+m_{2}. Portanto o momento total final é
\mathbf{p}_{\text{final}} = (m_{1}+m_{2})\,\mathbf{v}'.

Passo 5

Impondo conservação do momento:
\mathbf{p}_{\text{inicial}} = \mathbf{p}_{\text{final}}.
Substituindo os resultados dos passos anteriores,
m_{1}\mathbf{v} = (m_{1}+m_{2})\,\mathbf{v}'.

Passo 6

Agora isolamos \mathbf{v}'. Dividindo ambos os lados da igualdade escalarmente pelo número m_{1}+m_{2} (que é positivo se as massas são físicas),
\mathbf{v}'=\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\,\mathbf{v}.
Essa é a expressão vetorial final. Note que \mathbf{v}' tem a mesma direção de \mathbf{v} (porque multiplicamos o vetor \mathbf{v} por um escalar), e o fator \dfrac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}} dá a redução da velocidade causada pelo acréscimo da massa m_{2}.

Passo 7

Interpretações rápidas para fixar a ideia:
  • Se m_{2}=0 (não há segundo corpo), \mathbf{v}'=\mathbf{v} — faz sentido.
  • Se m_{2} é muito grande comparado a m_{1}, o fator \dfrac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}} tende a 0, logo \mathbf{v}' tende a \mathbf{0} — o corpo leve praticamente para ao colidir com um corpo muito pesado.
  • A fórmula é vetorial: ela preserva direção e sentido de \mathbf{v}.

Resposta

\mathbf{v}'=\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\,\mathbf{v}

Exercícios relacionados