1.30* Leis de conservaçāo, como a conservaçāo do momento, frequentemente fornecem uma quantidade surpreendente de informações sobre o possível resultado de um experimento. Aqui, talvez esteja o mais simples exemplo: dois objetos de massas
e
não estão submetidos a forças externas. O objeto 1 está se deslocando com velocidade
quando colide com o objeto estacionário 2 . Os dois objetos se juntam e se movem com uma velocidade comum
. Use a conservação do momento para determinar
em termos de
e
.
Passo 1
O enunciado pede que a gente determine a velocidade comum final
depois de uma colisão em que os dois objetos se juntam (colisão totalmente inelástica). As informações dadas são:
- O objeto 1 tem massa
e inicialmente se desloca com velocidade . - O objeto 2 tem massa
e está inicialmente em repouso (velocidade nula). - Após a colisão, os dois corpos ficam ligados e movem-se juntos com velocidade comum
. - Não há forças externas atuando no sistema (situação isolada).
O que precisamos achar:
em termos de
.
Passo 2
Conceito fundamental usado: quantidade de movimento (momentum) de um corpo é o produto da sua massa pela sua velocidade. Em notação vetorial:
onde
é o vetor quantidade de movimento,
é a massa (escalar) e
é a velocidade (vetor). Como não há forças externas, a quantidade de movimento total do sistema é conservada: o momento total antes da colisão é igual ao momento total depois.
Passo 3
Calculemos o momento total inicial. O momento do corpo 1 é
. O corpo 2 está em repouso, então seu momento é
. Logo o momento total inicial é
Passo 4
Calculemos o momento total final. Depois da colisão os dois corpos se movem juntos com velocidade
. A massa total do conjunto é
. Portanto o momento total final é
Passo 5
Impondo conservação do momento:
Substituindo os resultados dos passos anteriores,
Passo 6
Agora isolamos
. Dividindo ambos os lados da igualdade escalarmente pelo número
(que é positivo se as massas são físicas),
Essa é a expressão vetorial final. Note que
tem a mesma direção de
(porque multiplicamos o vetor
por um escalar), e o fator
dá a redução da velocidade causada pelo acréscimo da massa
.
Passo 7
Interpretações rápidas para fixar a ideia:
- Se
(não há segundo corpo), — faz sentido. - Se
é muito grande comparado a , o fator tende a , logo tende a — o corpo leve praticamente para ao colidir com um corpo muito pesado. - A fórmula é vetorial: ela preserva direção e sentido de
.