9.26 É possível haver uma liga cobre-prata com composição de 20 \% p Ag-80 %p Cu a qual, em equilíbrio, consista
nas fases \alpha e líquida com frações mássicas de W_{\alpha}=0,80 e W_{L}=0,20 ? Se isso for possível, qual será a temperatura aproximada da liga? Se tal liga não for possível, explique a razão.

Passo 1

O enunciado trata de uma liga Cu-Ag com composição global C_0 = 20\% (prata) – 80\% (cobre) em equilíbrio duas-fases ( \alpha+líquida). Queremos saber se é possível ter frações mássicas
W_{\alpha}=0{,}80 \quad\text{e}\quad W_{L}=0{,}20
e, em caso afirmativo, estimar a temperatura de equilíbrio. Para isso usaremos a regra da alavanca aplicada ao diagrama de fases Cu-Ag, que dá
W_{\alpha}=\frac{C_L - C_0}{C_L - C_{\alpha}} \quad\text{e}\quad W_{L}=\frac{C_0 - C_{\alpha}}{C_L - C_{\alpha}}.

Passo 2

A partir de
W_{\alpha}=0{,}80 =\frac{C_L - 20}{C_L - C_{\alpha}},
multiplicamos ambos os lados por (C_L - C_{\alpha}):
0{,}80\,(C_L - C_{\alpha}) = C_L - 20 \;\;\Longrightarrow\;\; 0{,}80\,C_L - 0{,}80\,C_{\alpha} = C_L - 20.
Reagrupando em C_L:
-0{,}20\,C_L = 0{,}80\,C_{\alpha} - 20 \quad\Longrightarrow\quad C_L = \frac{20 - 0{,}80\,C_{\alpha}}{0{,}20} =100 - 4\,C_{\alpha}.

Passo 3

No diagrama de fases Cu-Ag, para a liga C_0=20\% a região \alpha+líquida estende-se entre a temperatura em que começa a solidificar (linha solidus) e aquela em que termina de solidificar (linha liquidus). Em todo ponto dessa região vale
C_{\alpha}(T)<20<C_L(T),
com C_{\alpha}(T) decrescente e C_L(T) crescente quando T sobe de solidus a liquidus.

Passo 4

Vamos verificar se existe T tal que os pares \bigl(C_{\alpha}(T),\,C_L(T)\bigr) satisfaçam
C_L = 100 - 4\,C_{\alpha}.
Do diagrama (valores aproximados):
  • Na linha solidus em C_0=20\% tem-se T\approx 873\\ ^\circ\mathrm{C},
C_{\alpha}=20\%,\quad C_L\approx 28\%.
  • Na linha liquidus em C_0=20\% tem-se T\approx 936\\ ^\circ\mathrm{C},
C_{\alpha}\approx 12\%,\quad C_L=20\%.
Assim o segmento de coexistência vai de (C_{\alpha},C_L)=(20,28) até (12,20). Por outro lado, a reta C_L=100-4\,C_{\alpha} passa por pontos como (C_{\alpha},C_L)=(12,52) ou (20,20), e na região entre (20,28) e (12,20) essa condição nunca é satisfeita.

Passo 5

Concluímos que não existe temperatura entre as linhas solidus e liquidus em que se obtenha
W_{\alpha}=0{,}80 \quad\text{e}\quad W_{L}=0{,}20
para C_0=20\%. O valor de T que resolveria a equação de alavanca acabaria ficando fora da região \alpha+líquida, ou seja, acima da temperatura liquidus, onde a liga já está totalmente líquida.

Resposta

Não é possível: a temperatura que satisfaria a regra da alavanca está fora da região de coexistência \alpha+líquida (acima da liquidus), portanto a liga não pode ter W_{\alpha}=0,80 e W_{L}=0,20 em equilíbrio.

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