9.27 Para 5,7 \mathrm{~kg} de uma liga magnésio-chumbo com composição de 50 \% \mathrm{p} \mathrm{Pb}-50 \% \mathrm{p} \mathrm{Mg}, é possível, em equilíbrio, haver as fases \alpha e \mathrm{Mg}_{2} \mathrm{~Pb} com massas de 5,13 \mathrm{~kg} e 0,57 kg , respectivamente? Se isso for possível, qual será a temperatura aproximada da liga? Se tal liga não for possível, explique a razão.

Passo 1

O enunciado dá uma liga total de massa M=5,7\text{ kg} e composição global de 50\% em massa de Pb (e 50\% de Mg). Pede-se verificar se, em equilíbrio, ela pode se separar nas fases \alpha e \mathrm{Mg}_2\mathrm{Pb} com massas m_\alpha=5,13\text{ kg} e m_{M_2}=0,57\text{ kg}. O conteúdo principal é o balanceamento de massas pela regra da alavanca (“lever rule”) num diagrama de fases binário.

Passo 2

Precisamos das composições em Pb de cada fase em equilíbrio:
– A fase intermetálica \mathrm{Mg}_2\mathrm{Pb} tem composição fixa em Pb dada pela fórmula. A massa molar de \mathrm{Mg}_2\mathrm{Pb} é
2\,M_{\mathrm{Mg}} + M_{\mathrm{Pb}} =2\cdot24{,}3 + 207{,}2 = 255{,}8\text{ g/mol},
logo a fração em massa de Pb nesta fase é
X_{M_2} = \frac{207{,}2}{255{,}8}\approx0{,}810.
– A fase \alpha (solução sólida rica em Mg) tem uma solubilidade máxima de Pb que depende da temperatura, mas em todo o diagrama essa solubilidade é muito baixa (tipicamente poucos \% em massa). Chamemos em geral essa fração de Pb na fase \alpha de X_\alpha.

Passo 3

A regra da alavanca relaciona as massas das fases e as composições pelo balanço de Pb:
c_0 = \frac{m_\alpha\,X_\alpha + m_{M_2}\,X_{M_2}}{M},
onde c_0=0{,}50 é a fração em massa de Pb da liga original. Rearranjando para a forma usual do lever rule, obtemos para a massa de \mathrm{Mg}_2\mathrm{Pb}:
m_{M_2} \;=\; \frac{c_0 - X_\alpha}{X_{M_2} - X_\alpha}\;M.

Passo 4

Substituímos os valores dados m_{M_2}=0{,}57, M=5,7 e X_{M_2}=0{,}810, deixando X_\alpha incógnito:
0{,}57 =\frac{0{,}50 - X_\alpha}{0{,}810 - X_\alpha}\;5{,}7 \quad\Longrightarrow\quad \frac{0{,}50 - X_\alpha}{0{,}810 - X_\alpha}=0{,}10.
Multiplicando:
0{,}50 - X_\alpha =0{,}10\,(0{,}810 - X_\alpha) \;\Longrightarrow\; 0{,}50 - X_\alpha =0{,}081 -0{,}10\,X_\alpha \;\Longrightarrow\; 0{,}90\,X_\alpha =0{,}419 \;\Longrightarrow\; X_\alpha \approx0{,}466.
Logo, para estas massas seria preciso que a fase \alpha contivesse cerca de 46{,}6\% em massa de Pb.

Passo 5

Verificando com o diagrama de fases Mg–Pb, a solubilidade máxima de Pb na fase \alpha é sempre muito pequena (da ordem de poucos por cento em massa, mesmo próximo à temperatura de fusão do magnésio). Não existe temperatura em que \alpha permita X_\alpha\approx0{,}466. Portanto não é possível, em equilíbrio, obter as massas 5,13\text{ kg} e 0,57\text{ kg} nas fases \alpha e \mathrm{Mg}_2\mathrm{Pb} para a liga de 50\% Pb– 50\% Mg.

Resposta

Não, essas massas não são possíveis, pois implicariam uma solubilidade de Pb na fase \alpha de aproximadamente 46{,}6\%, valor inexistente no diagrama de fases Mg–Pb.

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