19- (UFPE-2010) Uma onda plana \vec{E}(z, t)=\vec{E}_{i} e^{i(k z-w t)}, no vácuo, propagando-se no sentido z positivo, incide normalmente sobre uma superfície de uma placa plana de espessura d, permissividade \varepsilon, e permeabilidade \mu=\mu_{o}.
a) Escreva e discuta as condições de contorno para os campos eletromagnéticos nas duas interfaces planas do condutor, posicionadas em z=0 e z=d. Considere que as dimensões transversais do condutor são muito maiores do que d.
b) Calcule as razões entre as amplitudes:
i) das ondas refletida e incidente ( E_{r} / E_{i} ).
ii) das ondas transmitida e incidente ( E_{t} / E_{i} ).
Considere agora que a placa seja metálica com permissividade \varepsilon(w) e condutividade \sigma\left(\sigma \gg w \varepsilon_{o}\right).
c) Obtenha as razões calculadas no item (b) em função da espessura da placa, d, do comprimento de atenuação, \delta=\sqrt{\frac{2}{w \mu_{o} \sigma}}, da frequência angular w, e da velocidade da onda no vácuo, c=\frac{1}{\sqrt{\mu_{o} \varepsilon_{o}}}.
d) A partir do item (c), obtenha os limites em que d \rightarrow 0 e d \rightarrow \infty. Mostre que, no limite em que d \rightarrow \infty, o coeficiente de reflexão é dado por
R \simeq 1-\frac{2 w \delta}{c}

Passo 1

O enunciado dá uma onda plana no vácuo que incide normalmente sobre uma placa de espessura d. Dados importantes (vou listar bem claro):
  • O campo incidente é \vec{E}(z,t)=\vec{E}_{i} e^{i(k_{0} z-\omega t)}, propagando-se no sentido +z.
  • Região à esquerda da placa (região 0): vácuo com permissividade \varepsilon_{0} e permeabilidade \mu_{0}.
  • Placa (região 1): espessura d, permissividade \varepsilon e permeabilidade \mu=\mu_{0}. Depois, considerar o caso metálico com \varepsilon(\omega) e condutividade \sigma grande: \sigma \gg \omega \varepsilon_{0}.
  • Interfaces planas localizadas em z=0 e z=d. Dimensões transversais muito maiores que d (portanto desprezamos bordas).
    O que se pede:
    a) Escrever e discutir as condições de contorno dos campos eletromagnéticos nas duas interfaces ( z=0 e z=d).
    b) Calcular as razões entre amplitudes: (i) E_{r}/E_{i} (onda refletida/ incidente) e (ii) E_{t}/E_{i} (onda transmitida / incidente) para a placa dielétrica (primeiro caso).
    c) Reescrever essas razões para o caso metálico, em função de d, comprimento de atenuação \delta=\sqrt{\dfrac{2}{\omega\mu_{0}\sigma}}, \omega e c=\dfrac{1}{\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}}}.
    d) Extrair os limites d\to 0 e d\to\infty e mostrar que, em d\to\infty, o coeficiente de reflexão (intensidade) satisfaz
R \simeq 1-\frac{2\omega\delta}{c}.
A partir daqui começo a resolver passo a passo.

Passo 2

Condições de contorno gerais (explicação didática curta):
  • Em qualquer interface sem carga superficial livre e sem corrente superficial, as componentes tangenciais do campo elétrico são contínuas. Isto nasce de \nabla\times \vec{E} = -\partial\vec{B}/\partial t e integrações de contorno.
  • As componentes tangenciais do campo magnético \vec{H} são contínuas se não houver corrente superficial. (Se houver corrente superficial \vec{K}, então salto em \vec{H}_{\parallel} = \vec{K}, mas aqui não há.)
    No nosso caso de incidência normal e placas planas:
  • O campo elétrico é transverse (por exemplo, \vec{E} ao longo de \hat{x}); só nos interessam as componentes tangenciais E_x.
  • Para ondas planas monocromáticas, a relação entre E e H de cada onda plana é H = E/Z (com sinal que depende do sentido de propagação), onde Z é a impedância intrínseca do meio.
    Portanto, nas interfaces z=0 e z=d teremos continuidade das componentes tangenciais do campo elétrico e da componente tangencial de H. Vou escrever estas condições explicitamente no próximo passo para o nosso problema unidimensional.

Passo 3

Definir os campos nas três regiões e as impedâncias:
  • Região I ( z<0, vácuo): soma de incidente e refletida
E_{I}(z,t)=E_{i} e^{i(k_{0} z-\omega t)}+E_{r} e^{i(-k_{0} z-\omega t)},
onde k_{0}=\dfrac{\omega}{c}.
  • Região II ( 0<z<d, dentro da placa): ondas para frente e para trás
E_{II}(z,t)=E_{+} e^{i(k z-\omega t)}+E_{-} e^{i(-k z-\omega t)},
onde k=\omega\sqrt{\mu\varepsilon} (lembrando que aqui \mu=\mu_{0}).
  • Região III ( z>d, vácuo à direita): apenas transmitida para frente
E_{III}(z,t)=E_{t} e^{i(k_{0} z-\omega t)}.
Impedâncias:
Z_{0}=\sqrt{\dfrac{\mu_{0}}{\varepsilon_{0}}}=\mu_{0}c\quad\text{(impedância do vácuo)},âá
Z=\sqrt{\dfrac{\mu}{\varepsilon}}=\sqrt{\dfrac{\mu_{0}}{\varepsilon}}\quad\text{(impedância da placa)}.â
Relação onda-magno: para onda propagando para +z, H = E/Z. Para onda voltando (para -z), H = -E/Z (o sinal negativo vem da direção).

Passo 4

Escrever explicitamente as condições de contorno (usar o que foi dito no Passo 2):
Na interface z=0 (continuidade de E_{x} e de H_{y}):
E_{i}+E_{r}=E_{+}+E_{-},
\frac{E_{i}-E_{r}}{Z_{0}}=\frac{E_{+}-E_{-}}{Z}.
Na interface z=d (continuidade de E_{x} e H_{y} avaliadas em z=d):
E_{+}e^{ikd}+E_{-}e^{-ikd}=E_{t}e^{ik_{0}d},
\frac{E_{+}e^{ikd}-E_{-}e^{-ikd}}{Z}=\frac{E_{t}e^{ik_{0}d}}{Z_{0}}.
Comentário didático: são quatro equações lineares para as quatro incógnitas E_{r},E_{+},E_{-},E_{t}. Resolver essas equações dá as razões pedidas. Há duas maneiras clássicas de resolver: (i) resolver o sistema linear diretamente, ou (ii) usar o método das múltiplas reflexões (fórmulas de Fabry–Pérot). Vou usar o método das múltiplas reflexões porque dá uma expressão física intuitiva e é menos pesado algébricamente.

Passo 5

Introduzir coeficientes de reflexão/transmissão numa interface única e a soma das múltiplas trajetórias:
  • Coeficiente de reflexão na interface vácuo→placa:
r\equiv r_{01}=\frac{Z-Z_{0}}{Z+Z_{0}}.
  • Coeficiente de transmissão vácuo→placa (amplitude de E entrando no meio da placa):
t_{01}=\frac{2Z}{Z+Z_{0}}.
  • Coeficiente de transmissão placa→vácuo (da placa para o ar):
t_{10}=\frac{2Z_{0}}{Z+Z_{0}}.
  • Coeficiente de reflexão na interface placa→vácuo é r_{10}=-r (verificar trocando sinais).
    Agora a ideia: a onda refletida total é soma da reflexão direta na face z=0 mais a soma de todas as componentes que atravessam a primeira face, refletem na segunda, voltam e saem, etc. Isso leva (série geométrica) à fórmula consolidada (fórmula padrão do interferômetro de Fabry–Pérot) que eu apresento no próximo passo.

Passo 6

Resultado das somas (fórmulas padrão; explico a origem física: numerador = somatório das reflexões com fases, denominador = soma geométrica das múltiplas idas e vindas):
As razões amplitude-refletida/incidente e transmitida/incidente para a placa (qualquer \varepsilon, \mu=\mu_{0}) são:
\boxed{\displaystyle \frac{E_{r}}{E_{i}}=\frac{r\bigl(1-e^{2ikd}\bigr)}{1-r^{2}e^{2ikd}}, }
\boxed{\displaystyle \frac{E_{t}}{E_{i}}=\frac{(1-r^{2})\,e^{ikd}}{1-r^{2}e^{2ikd}}, }
onde
\boxed{\displaystyle r=\frac{Z-Z_{0}}{Z+Z_{0}},\quad Z=\sqrt{\frac{\mu_{0}}{\varepsilon}},\quad k=\omega\sqrt{\mu_{0}\varepsilon},\quad k_{0}=\frac{\omega}{c}.}
Breve verificação física: para d=0 (placa ausente) temos e^{2ikd}=1 e então E_{r}/E_{i}=0 e E_{t}/E_{i}=1 (ok); para d grande com forte atenuação interna (absorsão) e^{2ikd}\to 0 obtemos E_{r}/E_{i}\to r (reflexão de uma interface) e E_{t}\to(1-r^{2})e^{ikd} (muito pequeno) — isto também faz sentido.

Passo 7

Caso metálico (condutividade grande, \sigma\gg\omega\varepsilon_{0}). Objetivo: expressar as razões em função de d,\delta,\omega,c.
  1. Propagação dentro do metal (boa condutividade): a constante de propagação complexa k aproxima-se por
k \simeq (1+i)\frac{1}{\delta},
onde definimos a profundidade de penetração (skin depth)
\boxed{\displaystyle \delta=\sqrt{\frac{2}{\omega\mu_{0}\sigma}}.}
Explicação curta: para condutor bom, o termo de condutividade domina e a solução do modo é exponencialmente atenuada com fator \exp(-z/\delta) e também sofre fase; isso gera k=(1+i)/\delta.
2) Impedância intrínseca do condutor (aproximação \sigma\gg\omega\varepsilon):
Z=\sqrt{\frac{i\omega\mu_{0}}{\sigma+i\omega\varepsilon}}\simeq\sqrt{\frac{i\omega\mu_{0}}{\sigma}} =\frac{1+i}{\sqrt{2}}\sqrt{\frac{\omega\mu_{0}}{\sigma}}.
Usando \delta=\sqrt{2/(\omega\mu_{0}\sigma)} obtemos uma forma muito prática:
\boxed{\displaystyle Z\simeq\frac{1+i}{\sigma\delta}.}
Nota didática: verifique unidades — 1/(\sigma\delta) tem unidades de ohm, e o fator (1+i) dá a parte real e imaginária iguais, característica da superfície de um bom condutor.
3) Substituir k e r nas fórmulas do Passo 6. Como r=(Z-Z_{0})/(Z+Z_{0}) e agora Z conhecido aproximado, escrevemos explicitamente:
\boxed{\displaystyle \frac{E_{r}}{E_{i}}=\frac{r\bigl(1-e^{2i(1+i)d/\delta}\bigr)}{1-r^{2}e^{2i(1+i)d/\delta}}, \quad \frac{E_{t}}{E_{i}}=\frac{(1-r^{2})\,e^{i(1+i)d/\delta}}{1-r^{2}e^{2i(1+i)d/\delta}}, }
com
\boxed{\displaystyle r\simeq\frac{\dfrac{1+i}{\sigma\delta}-\mu_{0}c}{\dfrac{1+i}{\sigma\delta}+\mu_{0}c}.}
Isto responde o item (c): as razões são dadas por essas expressões que dependem apenas de d,\delta,\omega,c (lembre que \delta contém \omega,\mu_{0},\sigma).

Passo 8

Limite d\to 0 (placa muito fina):
  • Para d\to 0 temos e^{2ikd}\to 1 e e^{ikd}\to 1. Substituindo nas fórmulas:
\frac{E_{r}}{E_{i}}\xrightarrow{d\to 0} \frac{r(1-1)}{1-r^{2}\cdot 1}=0, \quad \frac{E_{t}}{E_{i}}\xrightarrow{d\to 0}\frac{(1-r^{2})\cdot 1}{1-r^{2}\cdot 1}=1.
Interpretação física: placa infinitesimal não altera o campo (sem salto), nenhuma reflexão, transmissão completa — faz sentido.
Limite d\to\infty (placa espessa, especialmente para metal com atenuação):
  • Se o meio é absorvente (caso metálico, com \mathrm{Im}\,k>0), então e^{2ikd}\to 0 quando d\to\infty. Assim:
\frac{E_{r}}{E_{i}}\xrightarrow{d\to\infty} r, \qquad \frac{E_{t}}{E_{i}}\xrightarrow{d\to\infty}0.
Ou seja, a reflexão tende à reflexão da interface única (vácuo→metálico) e transmissão vai a zero — condutor espesso bloqueia a onda.
Agora preciso obter a aproximação do coeficiente de reflexão de potência R=|E_{r}/E_{i}|^{2} para d\to\infty no caso metálico e mostrar a fórmula pedida.

Passo 9

Avaliar R para metal espesso ( d\to\infty). Usar aproximação de boa condutividade Z\ll Z_{0} (porque 1/(\sigma\delta) é pequeno comparado a \mu_{0}c em condutores bons). Expandir r em série para Z/Z_{0}\ll 1:
r=\frac{Z-Z_{0}}{Z+Z_{0}}=\frac{(Z/Z_{0})-1}{(Z/Z_{0})+1}\simeq -1+\frac{2Z}{Z_{0}} \quad(\text{para }Z/Z_{0}\ll 1).
Então a amplitude refletida é aproximadamente -1+2Z/Z_{0}. O coeficiente de reflexão (potência) é
R=\left|\frac{E_{r}}{E_{i}}\right|^{2}\simeq \left|-1+\frac{2Z}{Z_{0}}\right|^{2}.
Fazendo expansão até primeira ordem em Z/Z_{0} (termo quadrático negligenciável):
R\simeq 1-2\Re\!\left(\frac{2Z}{Z_{0}}\right)=1-\frac{4\Re(Z)}{Z_{0}}.
Agora substituímos \Re(Z) usando Z\simeq\dfrac{1+i}{\sigma\delta}. A parte real é
\Re(Z)=\frac{1}{\sigma\delta}.
Além disso Z_{0}=\sqrt{\dfrac{\mu_{0}}{\varepsilon_{0}}}=\mu_{0}c. Substituindo:
R\simeq 1-\frac{4}{\sigma\delta\,Z_{0}}=1-\frac{4}{\sigma\delta\,\mu_{0}c}.
Agora usar a definição de \delta:
\delta=\sqrt{\frac{2}{\omega\mu_{0}\sigma}}\quad\Rightarrow\quad \sigma\delta=\sigma\sqrt{\frac{2}{\omega\mu_{0}\sigma}}=\sqrt{\frac{2\sigma}{\omega\mu_{0}}}.
Mas é mais direto eliminar \sigma e \mu_{0} combinando as expressões: reescrevo o termo subtraído como
\frac{4}{\sigma\delta\,\mu_{0}c}=\frac{4}{\mu_{0}c}\cdot\frac{1}{\sigma\delta}.
Usando \dfrac{1}{\sigma\delta}=\dfrac{1}{\sigma}\sqrt{\dfrac{\omega\mu_{0}\sigma}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\dfrac{\omega\mu_{0}}{\sigma}} e substituindo e fazendo as simplificações (ou proceder de forma mais direta: substituir \delta em \dfrac{4}{\sigma\delta\mu_{0}c}), obtemos, após manipulação algébrica,
\frac{4}{\sigma\delta\,\mu_{0}c}=\frac{2\omega\delta}{c}.
(Quem quiser pode checar passo a passo: começar com RHS e usar \delta^{2}=2/(\omega\mu_{0}\sigma) para provar a igualdade.)
Portanto
\boxed{\displaystyle R\simeq 1-\frac{2\omega\delta}{c}.}
Isto é exatamente a forma pedida no enunciado para d\to\infty (metal espesso).

Resposta

a) Nas interfaces z=0 e z=d: continuidade das componentes tangenciais de E e de H. Para incidência normal e as amplitudes definidas:
E_{i}+E_{r}=E_{+}+E_{-},\quad \frac{E_{i}-E_{r}}{Z_{0}}=\frac{E_{+}-E_{-}}{Z},
em z=0, e
E_{+}e^{ikd}+E_{-}e^{-ikd}=E_{t}e^{ik_{0}d},\quad \frac{E_{+}e^{ikd}-E_{-}e^{-ikd}}{Z}=\frac{E_{t}e^{ik_{0}d}}{Z_{0}},
em z=d.\n
b) Para placa dielétrica (qualquer \varepsilon, \mu=\mu_{0}):
\frac{E_{r}}{E_{i}}=\frac{r\bigl(1-e^{2ikd}\bigr)}{1-r^{2}e^{2ikd}},\qquad \frac{E_{t}}{E_{i}}=\frac{(1-r^{2})\,e^{ikd}}{1-r^{2}e^{2ikd}},
com r=\dfrac{Z-Z_{0}}{Z+Z_{0}},\\ Z=\sqrt{\dfrac{\mu_{0}}{\varepsilon}},\\ k=\omega\sqrt{\mu_{0}\varepsilon}.\n
c) Para placa metálica ( \sigma\gg\omega\varepsilon_{0}) usar k\simeq(1+i)/\delta e Z\simeq(1+i)/(\sigma\delta) com \delta=\sqrt{\dfrac{2}{\omega\mu_{0}\sigma}}. Assim
\frac{E_{r}}{E_{i}}=\frac{r\bigl(1-e^{2i(1+i)d/\delta}\bigr)}{1-r^{2}e^{2i(1+i)d/\delta}},\qquad \frac{E_{t}}{E_{i}}=\frac{(1-r^{2})\,e^{i(1+i)d/\delta}}{1-r^{2}e^{2i(1+i)d/\delta}},
com
r\simeq\frac{\dfrac{1+i}{\sigma\delta}-\mu_{0}c}{\dfrac{1+i}{\sigma\delta}+\mu_{0}c}.\n
d) Limites:\n
d→0: \dfrac{E_{r}}{E_{i}}\to 0,\\ \dfrac{E_{t}}{E_{i}}\to 1.\n
d→∞ (placa metálica espessa): \dfrac{E_{r}}{E_{i}}\to r,\\ \dfrac{E_{t}}{E_{i}}\to 0. Para potência refletida (metal semi-infinito), com Z\ll Z_{0},
R=\left|\frac{E_{r}}{E_{i}}\right|^{2}\simeq 1-\frac{2\omega\delta}{c}.

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