19- (UFPE-2010) Uma onda plana \vec{E}(z, t)=\vec{E}_{i} e^{i(k z-w t)}, no vácuo, propagando-se no sentido z positivo, incide normalmente sobre uma superfície de uma placa plana de espessura d, permissividade \varepsilon, e permeabilidade \mu=\mu_{o}.
a) Escreva e discuta as condições de contorno para os campos eletromagnéticos nas duas interfaces planas do condutor, posicionadas em z=0 e z=d. Considere que as dimensões transversais do condutor são muito maiores do que d.
b) Calcule as razões entre as amplitudes:
i) das ondas refletida e incidente ( E_{r} / E_{i} ).
ii) das ondas transmitida e incidente ( E_{t} / E_{i} ).
Considere agora que a placa seja metálica com permissividade \varepsilon(w) e condutividade \sigma\left(\sigma \gg w \varepsilon_{o}\right).
c) Obtenha as razões calculadas no item (b) em função da espessura da placa, d, do comprimento de atenuação, \delta=\sqrt{\frac{2}{w \mu_{o} \sigma}}, da frequência angular w, e da velocidade da onda no vácuo, c=\frac{1}{\sqrt{\mu_{o} \varepsilon_{o}}}.
d) A partir do item (c), obtenha os limites em que d \rightarrow 0 e d \rightarrow \infty. Mostre que, no limite em que d \rightarrow \infty, o coeficiente de reflexão é dado por
R \simeq 1-\frac{2 w \delta}{c}
Passo 1
O enunciado dá uma onda plana no vácuo que incide normalmente sobre uma placa de espessura d. Dados importantes (vou listar bem claro):
O campo incidente é \vec{E}(z,t)=\vec{E}_{i} e^{i(k_{0} z-\omega t)}, propagando-se no sentido +z.
Região à esquerda da placa (região 0): vácuo com permissividade \varepsilon_{0} e permeabilidade \mu_{0}.
Placa (região 1): espessura d, permissividade \varepsilon e permeabilidade \mu=\mu_{0}. Depois, considerar o caso metálico com \varepsilon(\omega) e condutividade \sigma grande: \sigma \gg \omega \varepsilon_{0}.
Interfaces planas localizadas em z=0 e z=d. Dimensões transversais muito maiores que d (portanto desprezamos bordas).
O que se pede:
a) Escrever e discutir as condições de contorno dos campos eletromagnéticos nas duas interfaces (z=0 e z=d).
b) Calcular as razões entre amplitudes: (i) E_{r}/E_{i} (onda refletida/ incidente) e (ii) E_{t}/E_{i} (onda transmitida / incidente) para a placa dielétrica (primeiro caso).
c) Reescrever essas razões para o caso metálico, em função de d, comprimento de atenuação \delta=\sqrt{\dfrac{2}{\omega\mu_{0}\sigma}}, \omega e c=\dfrac{1}{\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}}}.
d) Extrair os limites d\to 0 e d\to\infty e mostrar que, em d\to\infty, o coeficiente de reflexão (intensidade) satisfaz
R \simeq 1-\frac{2\omega\delta}{c}.
A partir daqui começo a resolver passo a passo.
Passo 2
Condições de contorno gerais (explicação didática curta):
Em qualquer interface sem carga superficial livre e sem corrente superficial, as componentes tangenciais do campo elétrico são contínuas. Isto nasce de \nabla\times \vec{E} = -\partial\vec{B}/\partial t e integrações de contorno.
As componentes tangenciais do campo magnético \vec{H} são contínuas se não houver corrente superficial. (Se houver corrente superficial \vec{K}, então salto em \vec{H}_{\parallel} = \vec{K}, mas aqui não há.)
No nosso caso de incidência normal e placas planas:
O campo elétrico é transverse (por exemplo, \vec{E} ao longo de \hat{x}); só nos interessam as componentes tangenciais E_x.
Para ondas planas monocromáticas, a relação entre E e H de cada onda plana é H = E/Z (com sinal que depende do sentido de propagação), onde Z é a impedância intrínseca do meio.
Portanto, nas interfaces z=0 e z=d teremos continuidade das componentes tangenciais do campo elétrico e da componente tangencial de H. Vou escrever estas condições explicitamente no próximo passo para o nosso problema unidimensional.
Passo 3
Definir os campos nas três regiões e as impedâncias:
Região I (z<0, vácuo): soma de incidente e refletida
Comentário didático: são quatro equações lineares para as quatro incógnitas E_{r},E_{+},E_{-},E_{t}. Resolver essas equações dá as razões pedidas. Há duas maneiras clássicas de resolver: (i) resolver o sistema linear diretamente, ou (ii) usar o método das múltiplas reflexões (fórmulas de Fabry–Pérot). Vou usar o método das múltiplas reflexões porque dá uma expressão física intuitiva e é menos pesado algébricamente.
Passo 5
Introduzir coeficientes de reflexão/transmissão numa interface única e a soma das múltiplas trajetórias:
Coeficiente de reflexão na interface vácuo→placa:
r\equiv r_{01}=\frac{Z-Z_{0}}{Z+Z_{0}}.
Coeficiente de transmissão vácuo→placa (amplitude de E entrando no meio da placa):
t_{01}=\frac{2Z}{Z+Z_{0}}.
Coeficiente de transmissão placa→vácuo (da placa para o ar):
t_{10}=\frac{2Z_{0}}{Z+Z_{0}}.
Coeficiente de reflexão na interface placa→vácuo é r_{10}=-r (verificar trocando sinais).
Agora a ideia: a onda refletida total é soma da reflexão direta na face z=0 mais a soma de todas as componentes que atravessam a primeira face, refletem na segunda, voltam e saem, etc. Isso leva (série geométrica) à fórmula consolidada (fórmula padrão do interferômetro de Fabry–Pérot) que eu apresento no próximo passo.
Passo 6
Resultado das somas (fórmulas padrão; explico a origem física: numerador = somatório das reflexões com fases, denominador = soma geométrica das múltiplas idas e vindas):
As razões amplitude-refletida/incidente e transmitida/incidente para a placa (qualquer \varepsilon, \mu=\mu_{0}) são:
Breve verificação física: para d=0 (placa ausente) temos e^{2ikd}=1 e então E_{r}/E_{i}=0 e E_{t}/E_{i}=1 (ok); para d grande com forte atenuação interna (absorsão) e^{2ikd}\to 0 obtemos E_{r}/E_{i}\to r (reflexão de uma interface) e E_{t}\to(1-r^{2})e^{ikd} (muito pequeno) — isto também faz sentido.
Passo 7
Caso metálico (condutividade grande, \sigma\gg\omega\varepsilon_{0}). Objetivo: expressar as razões em função de d,\delta,\omega,c.
Propagação dentro do metal (boa condutividade): a constante de propagação complexa k aproxima-se por
k \simeq (1+i)\frac{1}{\delta},
onde definimos a profundidade de penetração (skin depth)
Explicação curta: para condutor bom, o termo de condutividade domina e a solução do modo é exponencialmente atenuada com fator \exp(-z/\delta) e também sofre fase; isso gera k=(1+i)/\delta.
2) Impedância intrínseca do condutor (aproximação \sigma\gg\omega\varepsilon):
Nota didática: verifique unidades — 1/(\sigma\delta) tem unidades de ohm, e o fator (1+i) dá a parte real e imaginária iguais, característica da superfície de um bom condutor.
3) Substituir k e r nas fórmulas do Passo 6. Como r=(Z-Z_{0})/(Z+Z_{0}) e agora Z conhecido aproximado, escrevemos explicitamente:
Isto responde o item (c): as razões são dadas por essas expressões que dependem apenas de d,\delta,\omega,c (lembre que \delta contém \omega,\mu_{0},\sigma).
Passo 8
Limite d\to 0 (placa muito fina):
Para d\to 0 temos e^{2ikd}\to 1 e e^{ikd}\to 1. Substituindo nas fórmulas:
Interpretação física: placa infinitesimal não altera o campo (sem salto), nenhuma reflexão, transmissão completa — faz sentido.
Limite d\to\infty (placa espessa, especialmente para metal com atenuação):
Se o meio é absorvente (caso metálico, com \mathrm{Im}\,k>0), então e^{2ikd}\to 0 quando d\to\infty. Assim:
Ou seja, a reflexão tende à reflexão da interface única (vácuo→metálico) e transmissão vai a zero — condutor espesso bloqueia a onda.
Agora preciso obter a aproximação do coeficiente de reflexão de potência R=|E_{r}/E_{i}|^{2} para d\to\infty no caso metálico e mostrar a fórmula pedida.
Passo 9
Avaliar R para metal espesso (d\to\infty). Usar aproximação de boa condutividade Z\ll Z_{0} (porque 1/(\sigma\delta) é pequeno comparado a \mu_{0}c em condutores bons). Expandir r em série para Z/Z_{0}\ll 1:
Usando \dfrac{1}{\sigma\delta}=\dfrac{1}{\sigma}\sqrt{\dfrac{\omega\mu_{0}\sigma}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\dfrac{\omega\mu_{0}}{\sigma}} e substituindo e fazendo as simplificações (ou proceder de forma mais direta: substituir \delta em \dfrac{4}{\sigma\delta\mu_{0}c}), obtemos, após manipulação algébrica,
com r=\dfrac{Z-Z_{0}}{Z+Z_{0}},\\ Z=\sqrt{\dfrac{\mu_{0}}{\varepsilon}},\\ k=\omega\sqrt{\mu_{0}\varepsilon}.\n
c) Para placa metálica (\sigma\gg\omega\varepsilon_{0}) usar k\simeq(1+i)/\delta e Z\simeq(1+i)/(\sigma\delta) com \delta=\sqrt{\dfrac{2}{\omega\mu_{0}\sigma}}. Assim