Se U=\{1,3,9,27,2,4,6,8,10,12,16,24\} é o conjunto universo, A=\{1,2,3,6,12,24\}, B= \{1,3,6\} e D=\{1,2,4,8,16\}, calcule
A^{C} \cap D^{C}

Passo 1

O enunciado dá o conjunto universo e três subconjuntos e pede para calcular uma operação entre complementos. Dados fornecidos:
U=\{1,3,9,27,2,4,6,8,10,12,16,24\}, A=\{1,2,3,6,12,24\}, B=\{1,3,6\} e D=\{1,2,4,8,16\}.
A pergunta explícita é: calcular \,A^{C}\cap D^{C}\, (os complementos são relativos a U).

Passo 2

O que significa A^{C} e D^{C}?
Por definição, o complemento de um conjunto X relativo ao universo U é
X^{C}=U\setminus X=\{\,x\in U \mid x\notin X\,\}.
Ou seja, para formar A^{C} eu pego todos os elementos de U que NÃO estão em A. Mesmo raciocínio para D^{C}. Depois vou intersectar ( \cap) esses dois conjuntos: a interseção retém apenas os elementos que aparecem em ambos.

Passo 3

Calcular A^{C} listando elemento a elemento de U e verificando se está em A.
Elementos de U: 1,3,9,27,2,4,6,8,10,12,16,24.
Verificação:
  • 1\in A então não entra em A^{C}.
  • 3\in A então não entra.
  • 9\notin A então 9\in A^{C}.
  • 27\notin A então 27\in A^{C}.
  • 2\in A então não entra.
  • 4\notin A então 4\in A^{C}.
  • 6\in A então não entra.
  • 8\notin A então 8\in A^{C}.
  • 10\notin A então 10\in A^{C}.
  • 12\in A então não entra.
  • 16\notin A então 16\in A^{C}.
  • 24\in A então não entra.
Portanto
A^{C}=\{4,8,9,10,16,27\}.

Passo 4

Calcular D^{C} da mesma forma: D=\{1,2,4,8,16\}. Verifico cada elemento de U:
  • 1\in D então não entra em D^{C}.
  • 3\notin D então 3\in D^{C}.
  • 9\notin D então 9\in D^{C}.
  • 27\notin D então 27\in D^{C}.
  • 2\in D então não entra.
  • 4\in D então não entra.
  • 6\notin D então 6\in D^{C}.
  • 8\in D então não entra.
  • 10\notin D então 10\in D^{C}.
  • 12\notin D então 12\in D^{C}.
  • 16\in D então não entra.
  • 24\notin D então 24\in D^{C}.
Portanto
D^{C}=\{3,6,9,10,12,24,27\}.

Passo 5

Agora faço a interseção \,A^{C}\cap D^{C}\,: pego os elementos que aparecem em ambos os conjuntos.
Listas:
A^{C}=\{4,8,9,10,16,27\}, \qquad D^{C}=\{3,6,9,10,12,24,27\}.
Elementos comuns: 9 está em ambos, 10 está em ambos, 27 está em ambos. Nenhum outro elemento de A^{C} aparece em D^{C}.
Logo
A^{C}\cap D^{C}=\{9,10,27\}.

Passo 6

(Verificação alternativa usando a Lei de De Morgan) De Morgan diz que
A^{C}\cap D^{C}=(A\cup D)^{C}.
Posso conferir rapidamente: A\cup D=\{1,2,3,4,6,8,12,16,24\}, então (A\cup D)^{C}=U\setminus(A\cup D)=\{9,10,27\}, que coincide com o resultado obtido.

Resposta

\{9,10,27\}

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