- 27.70 Uma barra uniforme de comprimento L , conduz uma corrente i na direção do ponto a ao ponto b. A barra está em um campo magnético uniforme, no sentido de fora para dentro da página. Considere o torque em torno de um eixo perpendicular à barra no campo a, que se deve à força que o campo magnético exerce sobre a barra.
a) Suponha que uma seçăo infinitesimal da barra tenha comprimento dx e esteja localizada a uma distância x do ponto a. Calcule o torque d
e torno do ponto a decorrente da força magnética nessa seção infinitesimal.
Passo 1
O enunciado pede que se calcule o torque infinitesimal devido à força magnética numa seção infinitesimal da barra. Informações dadas:
- Há uma barra uniforme de comprimento
que conduz uma corrente do ponto para o ponto . - A barra está num campo magnético uniforme
apontando para dentro da página (representado por cruzes). - Considera-se uma seção infinitesimal da barra de comprimento
localizada a uma distância do ponto . - É pedido o torque diferencial
em torno de um eixo perpendicular à barra passando por , causado pela força magnética sobre essa seção infinitesimal.
Passo 2
Apresentar a expressão da força magnética sobre um elemento de corrente. Para um elemento de fio de comprimento vetorial
percorrido por corrente
em um campo magnético
, a força magnética é dada por:
Explicando cada símbolo:
-
é o vetor força sobre o elemento . -
é a corrente (escalar, mesmo sinal em todo o elemento). -
é o vetor de comprimento do elemento orientado no sentido da corrente (magnitude ). -
é o campo magnético (vetor).
A origem desta fórmula vem da força de Lorentz sobre cargas móveis e da definição de corrente; não precisa decorar o derivativo aqui, basta saber que essa é a lei que relaciona corrente, elemento de fio e campo magnético.
Passo 3
Calcular a magnitude da força no elemento. Na figura
está ao longo da barra e
é perpendicular ao plano da barra (entrando na página), portanto o ângulo entre
e
é
. Assim a magnitude de
é:
Aqui:
-
é o comprimento escalar do pedaço. -
.
Portanto a força sobre o elemento tem magnitudee é dirigida perpendicular tanto à barra quanto a (direção dada pela regra da mão direita).
Passo 4
Escrever a definição do torque infinitesimal em relação ao ponto
. O torque vetorial de uma força é
onde
é o vetor que vai do ponto
(ponto de rotação) até o ponto onde a força age. No nosso caso
aponta ao longo da barra e tem magnitude
:
. Note que
é paralelo a
.
Passo 5
Calcular a magnitude do torque diferencial. Como
é paralelo a
e
é perpendicular a
, o ângulo entre
e
é
. Então a magnitude do torque é
Portanto:
Passo 6
Interpretação rápida (para lembrar na prova):
é o torque escalar (magnitude) dado pelo momento da força
em relação ao ponto
. Se for preciso obter o torque total sobre a barra, integra-se
de
a
, mas aqui a questão pedia apenas o termo infinitesimal.