1. 27.70 Uma barra uniforme de comprimento L , conduz uma corrente i na direção do ponto a ao ponto b. A barra está em um campo magnético uniforme, no sentido de fora para dentro da página. Considere o torque em torno de um eixo perpendicular à barra no campo a, que se deve à força que o campo magnético exerce sobre a barra.
a) Suponha que uma seçăo infinitesimal da barra tenha comprimento dx e esteja localizada a uma distância x do ponto a. Calcule o torque d \tau e torno do ponto a decorrente da força magnética nessa seção infinitesimal.

Passo 1

O enunciado pede que se calcule o torque infinitesimal devido à força magnética numa seção infinitesimal da barra. Informações dadas:
  • Há uma barra uniforme de comprimento L que conduz uma corrente i do ponto a para o ponto b.
  • A barra está num campo magnético uniforme \vec{B} apontando para dentro da página (representado por cruzes).
  • Considera-se uma seção infinitesimal da barra de comprimento \mathrm{d}x localizada a uma distância x do ponto a.
  • É pedido o torque diferencial \mathrm{d}\tau em torno de um eixo perpendicular à barra passando por a, causado pela força magnética sobre essa seção infinitesimal.

Passo 2

Apresentar a expressão da força magnética sobre um elemento de corrente. Para um elemento de fio de comprimento vetorial \mathrm{d}\vec{\ell} percor­rido por corrente i em um campo magnético \vec{B}, a força magnética é dada por:
\mathrm{d}\vec{F}=i\,\mathrm{d}\vec{\ell}\times\vec{B}.
Explicando cada símbolo:
  • \mathrm{d}\vec{F} é o vetor força sobre o elemento \mathrm{d}\vec{\ell}.
  • i é a corrente (escalar, mesmo sinal em todo o elemento).
  • \mathrm{d}\vec{\ell} é o vetor de comprimento do elemento orientado no sentido da corrente (magnitude \mathrm{d}x).
  • \vec{B} é o campo magnético (vetor).
    A origem desta fórmula vem da força de Lorentz sobre cargas móveis e da definição de corrente i=\mathrm{d}q/\mathrm{d}t; não precisa decorar o derivativo aqui, basta saber que essa é a lei que relaciona corrente, elemento de fio e campo magnético.

Passo 3

Calcular a magnitude da força no elemento. Na figura \mathrm{d}\vec{\ell} está ao longo da barra e \vec{B} é perpendicular ao plano da barra (entrando na página), portanto o ângulo entre \mathrm{d}\vec{\ell} e \vec{B} é 90^\circ. Assim a magnitude de \mathrm{d}\vec{F} é:
\lvert \mathrm{d}\vec{F}\rvert = i\,\lvert \mathrm{d}\vec{\ell}\rvert\,\lvert \vec{B}\rvert\sin 90^\circ = i\,B\,\mathrm{d}x.
Aqui:
  • \lvert \mathrm{d}\vec{\ell}\rvert=\mathrm{d}x é o comprimento escalar do pedaço.
  • B=\lvert\vec{B}\rvert.
    Portanto a força sobre o elemento tem magnitude iB\,\mathrm{d}x e é dirigida perpendicular tanto à barra quanto a \vec{B} (direção dada pela regra da mão direita).

Passo 4

Escrever a definição do torque infinitesimal em relação ao ponto a. O torque vetorial de uma força é
\mathrm{d}\vec{\tau}=\vec{r}\times\mathrm{d}\vec{F},
onde \vec{r} é o vetor que vai do ponto a (ponto de rotação) até o ponto onde a força age. No nosso caso \vec{r} aponta ao longo da barra e tem magnitude x: \lvert\vec{r}\rvert=x. Note que \vec{r} é paralelo a \mathrm{d}\vec{\ell}.

Passo 5

Calcular a magnitude do torque diferencial. Como \vec{r} é paralelo a \mathrm{d}\vec{\ell} e \mathrm{d}\vec{F} é perpendicular a \mathrm{d}\vec{\ell}, o ângulo entre \vec{r} e \mathrm{d}\vec{F} é 90^\circ. Então a magnitude do torque é
\mathrm{d}\tau=\lvert \vec{r}\times\mathrm{d}\vec{F}\rvert = \lvert\vec{r}\rvert\,\lvert\mathrm{d}\vec{F}\rvert\sin 90^\circ = x\cdot (iB\,\mathrm{d}x).
Portanto:
\mathrm{d}\tau = i\,B\,x\,\mathrm{d}x.

Passo 6

Interpretação rápida (para lembrar na prova): \mathrm{d}\tau é o torque escalar (magnitude) dado pelo momento da força iB\,\mathrm{d}x em relação ao ponto a. Se for preciso obter o torque total sobre a barra, integra-se \mathrm{d}\tau de x=0 a x=L, mas aqui a questão pedia apenas o termo infinitesimal.

Resposta

\mathrm{d}\tau = i\,B\,x\,\mathrm{d}x

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