5.27 O acoplamento é usado para acoplar dois eixos. Supondo que a tensão de cisalhamento nos parafusos seja uniforme, determinar o número de parafusos necessários para que a tensão de cisalhamento máxima no eixo seja igual à tensão de cisalhamento nos parafusos. Cada parafuso tem diâmetro d.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o número de parafusos n necessário para que a tensão de cisalhamento máxima no eixo seja igual à tensão de cisalhamento nos parafusos. Do enunciado temos apenas que cada parafuso tem diâmetro d.
Para poder relacionar as tensões precisamos também introduzir as grandezas geométricas e de carregamento envolvidas (essas são necessárias para formular o problema):
  • T: torque transmitido pelo acoplamento (momento torsor).
  • D: diâmetro do eixo (eixo maciço).
  • r: raio da linha de ação dos parafusos em relação ao eixo (ou seja, raio da “circunferência” onde os parafusos estão montados — meio do parafuso até o centro do eixo).
  • d: diâmetro de cada parafuso (dado).
  • n: número de parafusos (incógnita que queremos achar).
Resumo do que nos pediram e o que sabemos:
  • Pedido: achar n tal que \tau_{\text{eixo, max}}=\tau_{\text{parafuso}}.
  • Dados explícitos: d.
  • Dados necessários a incluir para a modelagem: T,\;D,\;r (não fornecidos no enunciado, portanto a resposta será uma fórmula em função dessas grandezas).

Passo 2

Equilíbrio de momentos (torque) entre eixo e parafusos.
Explicação física e fórmula:
  • O torque T transmitido pelo acoplamento é equilibrado pelas forças de cisalhamento F que atuam em cada parafuso aplicadas a uma distância r do eixo. Se todos os parafusos compartilham igualmente o torque e cada um fornece uma força tangencial F, então o somatório dos momentos é
T = n\,F\,r.
  • Isolando F:
F=\frac{T}{n\,r}.
Observação didática: o raciocínio vem de momento = força × braço e somando para todos os parafusos; a hipótese de compartilhamento igual é a hipótese do enunciado (tensão uniforme nos parafusos).

Passo 3

Cisalhamento nos parafusos: relação força / área.
Explicação e fórmulas:
  • A tensão de cisalhamento média em um parafuso é a força de cisalhamento dividida pela área da seção transversal do parafuso.
  • Área da seção circular do parafuso:
A_b=\frac{\pi d^2}{4},
onde d é o diâmetro do parafuso.
  • Logo a tensão de cisalhamento no parafuso é
\tau_{\text{parafuso}}=\frac{F}{A_b}=\frac{F}{\pi d^2/4}=\frac{4F}{\pi d^2}.
  • Substituindo F=\dfrac{T}{n r}:
\tau_{\text{parafuso}}=\frac{4}{\pi d^2}\cdot\frac{T}{n r}=\frac{4T}{\pi d^2\, n r}.

Passo 4

Cisalhamento máximo no eixo devido ao torque (tensão de torção).
Explicação e fórmulas:
  • Para um eixo circular maciço submetido ao torque T, a distribuição de tensões de cisalhamento é linear com o raio, e a máxima tensão de cisalhamento ocorre na superfície do eixo.
  • A relação geral é \tau=\dfrac{T\,c}{J}, onde:
    • c é o raio externo do eixo, aqui c=\dfrac{D}{2}.
    • J é o momento polar de inércia da seção circular maciça; para círculo de diâmetro D,
    J=\frac{\pi D^4}{32}.
  • Substituindo esses valores:
\tau_{\text{eixo,max}}=\frac{T\,c}{J}=\frac{T\cdot (D/2)}{\pi D^4/32}.
  • Simplificando a fração:
\tau_{\text{eixo,max}}=\frac{T\,(D/2)\,32}{\pi D^4}=\frac{16T}{\pi D^3}.
Comentário didático: esta fórmula é muito usada em resistência dos materiais para eixos circulares; ela relaciona diretamente torque e tensão de cisalhamento máxima na superfície.

Passo 5

Igualando as tensões e resolvendo para n.
Montagem da equação pedida:
\tau_{\text{parafuso}}=\tau_{\text{eixo,max}}.
Substituindo as expressões das etapas 3 e 4:
\frac{4T}{\pi d^2\, n r}=\frac{16T}{\pi D^3}.
Agora simplificamos passo a passo:
  1. Ambos os lados têm T e \pi; como T\neq0 podemos cancelar T e \pi:
\frac{4}{d^2\, n r}=\frac{16}{D^3}.
  1. Isolando n:
\frac{4}{d^2 r}\cdot\frac{1}{n}=\frac{16}{D^3} \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{n}=\frac{16}{D^3}\cdot\frac{d^2 r}{4}=\frac{4 d^2 r}{D^3}.
  1. Portanto
n=\frac{D^3}{4 d^2 r}.
Interpretação: o número de parafusos cresce com o cubo do diâmetro do eixo (eixo maior exige mais parafusos) e decresce com o quadrado do diâmetro dos parafusos e com o braço r.

Passo 6

Observações práticas e arredondamento.
  • n obtido pela fórmula \dfrac{D^3}{4 d^2 r} pode não ser inteiro; na prática deve-se escolher o menor inteiro maior ou igual a esse valor (ou seja, usar teto, \lceil\cdot\rceil), porque não se pode ter fração de parafuso.
  • Também considerar fatores práticos: segurança, ajuste de folgas, resistência dos materiais, comportamento em fadiga e se os parafusos trabalham em cisalhamento simples ou duplo (se houver lâminas que causem cisalhamento em duas seções, a fórmula muda). Aqui assumimos cisalhamento simples por parafuso, tensão uniforme e compartilhamento igual — conforme o enunciado.

Resposta

n=\frac{D^3}{4 d^2 r}
\text{(em prática escolher }n=\left\lceil\frac{D^3}{4 d^2 r}\right\rceil\text{, inteiro)}á

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