5.27 O acoplamento é usado para acoplar dois eixos. Supondo que a tensão de cisalhamento nos parafusos seja uniforme, determinar o número de parafusos necessários para que a tensão de cisalhamento máxima no eixo seja igual à tensão de cisalhamento nos parafusos. Cada parafuso tem diâmetro
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o número de parafusos
necessário para que a tensão de cisalhamento máxima no eixo seja igual à tensão de cisalhamento nos parafusos. Do enunciado temos apenas que cada parafuso tem diâmetro
.
Para poder relacionar as tensões precisamos também introduzir as grandezas geométricas e de carregamento envolvidas (essas são necessárias para formular o problema):
-
: torque transmitido pelo acoplamento (momento torsor). -
: diâmetro do eixo (eixo maciço). -
: raio da linha de ação dos parafusos em relação ao eixo (ou seja, raio da “circunferência” onde os parafusos estão montados — meio do parafuso até o centro do eixo). -
: diâmetro de cada parafuso (dado). -
: número de parafusos (incógnita que queremos achar).
Resumo do que nos pediram e o que sabemos:
- Pedido: achar
tal que . - Dados explícitos:
. - Dados necessários a incluir para a modelagem:
(não fornecidos no enunciado, portanto a resposta será uma fórmula em função dessas grandezas).
Passo 2
Equilíbrio de momentos (torque) entre eixo e parafusos.
Explicação física e fórmula:
- O torque
transmitido pelo acoplamento é equilibrado pelas forças de cisalhamento que atuam em cada parafuso aplicadas a uma distância do eixo. Se todos os parafusos compartilham igualmente o torque e cada um fornece uma força tangencial , então o somatório dos momentos é
- Isolando
:
Observação didática: o raciocínio vem de momento = força × braço e somando para todos os parafusos; a hipótese de compartilhamento igual é a hipótese do enunciado (tensão uniforme nos parafusos).
Passo 3
Cisalhamento nos parafusos: relação força / área.
Explicação e fórmulas:
- A tensão de cisalhamento média em um parafuso é a força de cisalhamento dividida pela área da seção transversal do parafuso.
- Área da seção circular do parafuso:
onde
é o diâmetro do parafuso.
- Logo a tensão de cisalhamento no parafuso é
- Substituindo
:
Passo 4
Cisalhamento máximo no eixo devido ao torque (tensão de torção).
Explicação e fórmulas:
- Para um eixo circular maciço submetido ao torque
, a distribuição de tensões de cisalhamento é linear com o raio, e a máxima tensão de cisalhamento ocorre na superfície do eixo. - A relação geral é
, onde: -
é o raio externo do eixo, aqui . -
é o momento polar de inércia da seção circular maciça; para círculo de diâmetro ,
-
- Substituindo esses valores:
- Simplificando a fração:
Comentário didático: esta fórmula é muito usada em resistência dos materiais para eixos circulares; ela relaciona diretamente torque e tensão de cisalhamento máxima na superfície.
Passo 5
Igualando as tensões e resolvendo para
.
Montagem da equação pedida:
Substituindo as expressões das etapas 3 e 4:
Agora simplificamos passo a passo:
- Ambos os lados têm
e ; como podemos cancelar e :
- Isolando
:
- Portanto
Interpretação: o número de parafusos cresce com o cubo do diâmetro do eixo (eixo maior exige mais parafusos) e decresce com o quadrado do diâmetro dos parafusos e com o braço
.
Passo 6
Observações práticas e arredondamento.
-
obtido pela fórmula pode não ser inteiro; na prática deve-se escolher o menor inteiro maior ou igual a esse valor (ou seja, usar teto, ), porque não se pode ter fração de parafuso. - Também considerar fatores práticos: segurança, ajuste de folgas, resistência dos materiais, comportamento em fadiga e se os parafusos trabalham em cisalhamento simples ou duplo (se houver lâminas que causem cisalhamento em duas seções, a fórmula muda). Aqui assumimos cisalhamento simples por parafuso, tensão uniforme e compartilhamento igual — conforme o enunciado.