) Dada a função
. Mostre que a curva de nível de
que passa pelo ponto
é perpendicular ao gradiente de
no ponto
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para mostrar que a curva de nível de
que passa por
é perpendicular ao gradiente de
nesse ponto.
Conteúdo: gradiente e curvas de nível (orto-gonalidade). Vamos achar o nível , a equação da curva de nível, o vetor gradiente e o vetor tangente, e mostrar que seu produto escalar é zero.
Conteúdo: gradiente e curvas de nível (orto-gonalidade). Vamos achar o nível
Passo 2
Calcular o valor de
:
Logo, a curva de nível é o conjunto
isto é,
Passo 3
Parametrizamos a curva
por
de modo que
.
Passo 4
O vetor tangente à curva em
é
logo em
temos
Passo 5
O gradiente de
é
Em
isso vale
Passo 6
Calculamos o produto escalar entre
e
:
Produto nulo indica ortogonalidade.
Resposta
A curva de nível
em
é perpendicular ao gradiente
.