27^{\circ} ) Dada a função f(x, y)=x^{2}-y. Mostre que a curva de nível de f que passa pelo ponto (2,4) é perpendicular ao gradiente de f no ponto (2,4).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x^{2}-y
e pede para mostrar que a curva de nível de f que passa por (2,4) é perpendicular ao gradiente de f nesse ponto.
Conteúdo: gradiente e curvas de nível (orto-gonalidade). Vamos achar o nível c, a equação da curva de nível, o vetor gradiente e o vetor tangente, e mostrar que seu produto escalar é zero.

Passo 2

Calcular o valor de c=f(2,4):
c=f(2,4)=2^{2}-4=4-4=0.
Logo, a curva de nível é o conjunto
\{(x,y)\mid x^{2}-y=0\},
isto é,
y=x^{2}.

Passo 3

Parametrizamos a curva y=x^{2} por
\gamma(t)=(t,\;t^{2}),
de modo que \gamma(2)=(2,4).

Passo 4

O vetor tangente à curva em t é
\gamma'(t)=(1,\;2t),
logo em t=2 temos
v=\gamma'(2)=(1,\;4).

Passo 5

O gradiente de f é
\nabla f(x,y)=\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x},\,\frac{\partial f}{\partial y}\Bigr) =(2x,\,-1).
Em (2,4) isso vale
\nabla f(2,4)=(4,\,-1).

Passo 6

Calculamos o produto escalar entre \nabla f(2,4) e v:
\nabla f(2,4)\cdot v =(4,\,-1)\cdot(1,\,4) =4\cdot1+(-1)\cdot4 =4-4=0.
Produto nulo indica ortogonalidade.

Resposta

A curva de nível x^{2}-y=0 em (2,4) é perpendicular ao gradiente \nabla f(2,4).

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