30^{\circ} ) Determine os máximos e mínimos das funções abaixo, caso existam.
(x, y)=4-x^{2}-y^{2}

Passo 1

O enunciado pede os extremos (máximos e mínimos) da função de duas variáveis
f(x,y)=4 - x^{2} - y^{2},
definida em \mathbb{R}^{2}. Vamos usar o método das derivadas parciais para encontrar pontos críticos e depois a matriz Hessiana para classificá-los.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
\frac{\partial f}{\partial x} = -2x,\quad \frac{\partial f}{\partial y} = -2y.
Resolvendo
-2x = 0,\quad -2y = 0
obtém-se o único ponto crítico (x,y)=(0,0).

Passo 3

Formamos a matriz Hessiana, que é constante:
H(f)(x,y) = \begin{pmatrix} \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} & \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y} \\[6pt] \frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x} & \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\[3pt] 0 & -2 \end{pmatrix}.
O determinante de H é \det(H)=(-2)\cdot(-2)-0=4>0 e seu traço é -4<0, logo H é definida negativa. Isso indica que (0,0) é um ponto de máximo local. Como f(x,y)\to -\infty quando \|(x,y)\|\to\infty, esse máximo local é também máximo global e não existem mínimos.]

Resposta

Máximo global em (0,0) com valor f(0,0)=4.
Não há mínimo (nem local nem global).

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