30^{\circ} ) Determine os máximos e mínimos das funções abaixo, caso existam.
(x, y)=4-x^{2}-y^{2}

Passo 1

O enunciado pede para determinar os extremos (máximos e mínimos) da função de duas variáveis
f(x,y)=4 - x^{2} - y^{2}.
O conteúdo envolvido é otimização de funções de várias variáveis, usando gradiente, pontos críticos e matriz Hessiana para classificar extremos.

Passo 2

Calculamos o gradiente de f:
\nabla f(x,y) = \bigl(\tfrac{\partial f}{\partial x},\,\tfrac{\partial f}{\partial y}\bigr) = (-2x,\,-2y).
Para achar pontos críticos, igualamos \nabla f=0, o que leva a
-2x=0,\quad -2y=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0,\;y=0.
Logo, o único ponto crítico é (0,0).

Passo 3

Para classificar esse ponto, montamos a matriz Hessiana:
H = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \\[6pt] \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\[4pt] 0 & -2 \end{pmatrix}.
Os autovalores de H são -2 e -2, ambos negativos, o que mostra que H é negativa definida. Portanto, f tem um máximo local em (0,0).]

Passo 4

Como
f(x,y)=4 - x^{2} - y^{2}\longrightarrow -\infty \quad\text{quando}\quad \sqrt{x^{2}+y^{2}}\to\infty,
não existe valor mínimo global (a função não é limitada inferiormente). Já o máximo local em (0,0) é também máximo global.

Resposta

O único extremo é um máximo global em (0,0) com valor
f(0,0)=4.
Não existe mínimo.

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