A haste cônica tem raio \mathrm{r}=(5-\mathrm{x} / 12) \mathrm{cm} e está submetida a uma carga distribuída \mathrm{w}=(60+40 \mathrm{x}) \mathrm{N} / \mathrm{cm}. Determinar a tensão normal média no centro da haste.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo com calma para não nos perder):
  • Raio da seção transversal da haste em função da coordenada x: \displaystyle r(x)=\bigl(5-\tfrac{x}{12}\bigr) cm.
  • Carga distribuída axial (força por comprimento) ao longo da haste: \displaystyle w(x)=\bigl(60+40x\bigr) N/cm.
  • Pede-se: a tensão normal média (tensão axial média) no centro da haste.
Observações importantes que extraio do enunciado: a fórmula de r(x) indica que r=0 quando 5-\tfrac{x}{12}=0\Rightarrow x=60 cm. Isso sugere que a haste vai de x=0 (raio máximo 5 cm) até x=60 cm (ponta com r=0), portanto o comprimento total é L=60 cm. Assim o centro da haste corresponde a x=\tfrac{L}{2}=30 cm. (Estou usando essa interpretação porque a expressão de r(x) naturalmen­te define o final da haste em x=60.)

Passo 2

Estratégia (sem resolver ainda, só explicando o que vamos usar e por quê):
  • A tensão normal média em uma seção é a força normal interna nessa seção dividida pela área da seção: \displaystyle \sigma_{\text{média}}=\dfrac{N}{A}é. Aqui N é a força axial interna resultante que atravessa a seção considerada e A é a área da seção transversal naquele x.
  • A força N numa seção em x é obtida somando (integrando) a carga distribuída axial w(s) ao longo do trecho da haste que está de um lado da seção até a extremidade livre (a direção depende de como a carga age, mas numericamente teremos o valor absoluto do resultante). No nosso caso, para a seção no centro ( x=30 cm) a força interna é a resultante da carga w no segmento de x=30 até x=60. Matematicamente: \displaystyle N(30)=\int_{30}^{60} w(s)\,ds.
  • A área da seção num x é a área de um círculo de raio r(x): \displaystyle A(x)=\pi\,r(x)^2. Para o centro usaremos r(30).
Vou agora aplicar essas fórmulas passo a passo, explicando cada operação.

Passo 3

Cálculo da força axial interna na seção central ( x=30 cm). Primeiro escrevo o integral que dá N(30):
N(30)=\int_{30}^{60} \bigl(60+40s\bigr)\,ds.
Explicando: \,s é a variável de integração (posição ao longo da haste). A primitiva de 60+40s é 60s+20s^2 porque \int 60\,ds=60s e \int 40s\,ds=40\cdot \tfrac{s^2}{2}=20s^2.
Agora avalio o integral entre 30 e 60:
N(30)=\bigl[60s+20s^2\bigr]_{30}^{60} = \bigl(60\cdot 60 + 20\cdot 60^2\bigr) - \bigl(60\cdot 30 + 20\cdot 30^2\bigr).
Faço as contas passo a passo:
60\cdot 60 = 3600,\qquad 20\cdot 60^2 = 20\cdot 3600 = 72000,
60\cdot 30 = 1800,\qquad 20\cdot 30^2 = 20\cdot 900 = 18000.
Logo
N(30) = (3600+72000)-(1800+18000)=75600-19800=55800\\ \text{N}.
Portanto a força axial que atravessa a seção central é \displaystyle N(30)=55800 N.

Passo 4

Cálculo da área da seção no centro ( x=30 cm). Primeiro o raio:
r(30)=5-\tfrac{30}{12}=5-2{,}5=2{,}5\\ \text{cm}.
Área do círculo:
A(30)=\pi\,r(30)^2=\pi\,(2{,}5)^2=\pi\cdot 6{,}25=6{,}25\pi\\ \text{cm}^2.
Numérica­mente, 6{,}25\pi\approx 19{,}634954\\ \text{cm}^2, mas vou manter a forma exata por enquanto e só avaliar quando calcular a tensão.

Passo 5

Agora aplico a definição de tensão média:
\bar{\sigma}=\dfrac{N(30)}{A(30)}=\dfrac{55800}{6{,}25\pi}\\ \text{N/cm}^2.
Vamos avaliar numericamente. Primeiro calculei 6{,}25\pi\approx 19{,}634954. Então
\bar{\sigma}\approx \dfrac{55800}{19{,}634954}\approx 2842{,}717\\ \text{N/cm}^2.

Passo 6

Interpretação em unidades usuais (MPa). Lembrete de conversão: 1\\ \text{N/cm}^2 = 10^4\\ \text{N/m}^2 = 10^4\\ \text{Pa} = 0{,}01\\ \text{MPa}. Então para passar de \text{N/cm}^2 para MPa multiplicamos por 0{,}01. Assim
\bar{\sigma}\approx 2842{,}717\\ \text{N/cm}^2 = 2842{,}717\times 0{,}01\\ \text{MPa}\approx 28{,}427\\ \text{MPa}.
Arredondando de forma razoável para duas casas decimais: \bar{\sigma}\approx 28{,}43\\ \text{MPa}.

Passo 7

Resumo do raciocínio (curtinho, tipo “cola” para a prova): para a seção central x=30 computei a resultante da carga distribuída do lado direito até a ponta: \displaystyle N=\int_{30}^{60}(60+40x)\,dx=55800 N; a área da seção central é \displaystyle A=\pi(2{,}5)^2=6{,}25\pi\\ \text{cm}^2; a tensão média é \displaystyle \bar{\sigma}=N/A\approx 28{,}43\\ \text{MPa}. Você pode reproduzir isso na prova explicando por que integramos (resultante de uma distribuição de força) e lembrando a fórmula da área do círculo.

Resposta

\bar{\sigma}\approx 28{,}43\\ \mathrm{MPa}

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