A haste cônica tem raio
e está submetida a uma carga distribuída
. Determinar a tensão normal média no centro da haste.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo com calma para não nos perder):
- Raio da seção transversal da haste em função da coordenada
: cm. - Carga distribuída axial (força por comprimento) ao longo da haste:
N/cm. - Pede-se: a tensão normal média (tensão axial média) no centro da haste.
Observações importantes que extraio do enunciado: a fórmula de
indica que
quando
cm. Isso sugere que a haste vai de
(raio máximo
cm) até
cm (ponta com
), portanto o comprimento total é
cm. Assim o centro da haste corresponde a
cm. (Estou usando essa interpretação porque a expressão de
naturalmente define o final da haste em
.)
Passo 2
Estratégia (sem resolver ainda, só explicando o que vamos usar e por quê):
- A tensão normal média em uma seção é a força normal interna nessa seção dividida pela área da seção:
. Aqui é a força axial interna resultante que atravessa a seção considerada e é a área da seção transversal naquele . - A força
numa seção em é obtida somando (integrando) a carga distribuída axial ao longo do trecho da haste que está de um lado da seção até a extremidade livre (a direção depende de como a carga age, mas numericamente teremos o valor absoluto do resultante). No nosso caso, para a seção no centro ( cm) a força interna é a resultante da carga no segmento de até . Matematicamente: . - A área da seção num
é a área de um círculo de raio : . Para o centro usaremos .
Vou agora aplicar essas fórmulas passo a passo, explicando cada operação.
Passo 3
Cálculo da força axial interna na seção central (
cm). Primeiro escrevo o integral que dá
:
Explicando:
é a variável de integração (posição ao longo da haste). A primitiva de
é
porque
e
.
Agora avalio o integral entre 30 e 60:
Faço as contas passo a passo:
Logo
Portanto a força axial que atravessa a seção central é
N.
Passo 4
Cálculo da área da seção no centro (
cm). Primeiro o raio:
Área do círculo:
Numéricamente,
, mas vou manter a forma exata por enquanto e só avaliar quando calcular a tensão.
Passo 5
Agora aplico a definição de tensão média:
Vamos avaliar numericamente. Primeiro calculei
. Então
Passo 6
Interpretação em unidades usuais (MPa). Lembrete de conversão:
. Então para passar de
para MPa multiplicamos por
. Assim
Arredondando de forma razoável para duas casas decimais:
.
Passo 7
Resumo do raciocínio (curtinho, tipo “cola” para a prova): para a seção central
computei a resultante da carga distribuída do lado direito até a ponta:
N; a área da seção central é
; a tensão média é
. Você pode reproduzir isso na prova explicando por que integramos (resultante de uma distribuição de força) e lembrando a fórmula da área do círculo.