2.27 Considere o escoamento de água em um conduto forçado de seção quadrada de lado
. Para uma determinada vazão, determine a relação entre o fator de atrito f da fórmula universal e o coeficiente C de rugosidade da fórmula de Hazen-Williams, para que a perda de carga unitária seja a mesma nas duas formulações. Utilize o conceito de diâmetro hidráulico nas duas equações.
Passo 1
O enunciado pede: para um conduto forçado de seção quadrada de lado
, e para uma vazão determinada, obter a relação entre o fator de atrito
(fórmula universal — Darcy–Weisbach) e o coeficiente de rugosidade
(fórmula de Hazen–Williams), de modo que a perda de carga por unidade de comprimento seja a mesma nas duas fórmulas. Informações dadas e o que vamos usar explicitamente:
- lado do quadrado:
(unidades de comprimento, ex.: m); - vazão dada:
(unidades de volume por tempo, ex.: m^3/s); - coeficiente de Hazen–Williams:
(adimensional, empírico); - fator de atrito Darcy:
(adimensional); - usar o diâmetro hidráulico nas duas equações.
Passo 2
Definição e cálculo do diâmetro hidráulico para a seção quadrada. O diâmetro hidráulico é definido por
onde
é a área da seção molhada e
é o perímetro molhado. Para a seção quadrada de lado
:
Substituindo,
Portanto, para esta seção, o diâmetro hidráulico é
. Vou usar isso nas fórmulas.
Passo 3
Escrever a fórmula de Darcy–Weisbach para perda de carga por unidade de comprimento em função da vazão
. A forma usual em velocidade média
é
Como a vazão é a grandeza dada e
, escrevemos em termos de
. Substituindo
e
e
:
Assim, a perda de carga por unidade de comprimento segundo Darcy–Weisbach, para esta seção quadrada, é
Passo 4
Escrever a fórmula de Hazen–Williams para perda de carga por unidade de comprimento em função de
e usando
. A forma empírica em SI (altura em metros,
em m^3/s,
em m) é
Substituindo
(do Passo 2):
Passo 5
Impor igualdade das perdas por unidade de comprimento (condição do enunciado) e montar a equação para relacionar
e
. Igualando as expressões dos Passos 3 e 4:
Passo 6
Isolar
na equação do Passo 5. Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Agrupando constantes e potências de
e
:
Calculemos as subtrações dos expoentes:
Portanto
Passo 7
Comentários sobre a expressão e forma alternativa. A equação do Passo 6 dá a relação desejada entre
e
para que as perdas coincidam, para uma vazão
dada e lado
. Podemos escrever de modo mais explícito:
Se quisermos um coeficiente numérico (assumindo
), o fator
vale aproximadamente
. Assim
Além disso, se preferir isolar
em função de
:
Resposta
(Assumindo