2.27 Considere o escoamento de água em um conduto forçado de seção quadrada de lado \underline{a}. Para uma determinada vazão, determine a relação entre o fator de atrito f da fórmula universal e o coeficiente C de rugosidade da fórmula de Hazen-Williams, para que a perda de carga unitária seja a mesma nas duas formulações. Utilize o conceito de diâmetro hidráulico nas duas equações.

Passo 1

O enunciado pede: para um conduto forçado de seção quadrada de lado \underline{a}, e para uma vazão determinada, obter a relação entre o fator de atrito \,f (fórmula universal — Darcy–Weisbach) e o coeficiente de rugosidade C (fórmula de Hazen–Williams), de modo que a perda de carga por unidade de comprimento seja a mesma nas duas fórmulas. Informações dadas e o que vamos usar explicitamente:
  • lado do quadrado: \,a (unidades de comprimento, ex.: m);
  • vazão dada: \,Q (unidades de volume por tempo, ex.: m^3/s);
  • coeficiente de Hazen–Williams: \,C (adimensional, empírico);
  • fator de atrito Darcy: \,f (adimensional);
  • usar o diâmetro hidráulico nas duas equações.

Passo 2

Definição e cálculo do diâmetro hidráulico para a seção quadrada. O diâmetro hidráulico é definido por
D_h=\frac{4A}{P},
onde A é a área da seção molhada e P é o perímetro molhado. Para a seção quadrada de lado \,a:
A=a^{2},\qquad P=4a.
Substituindo,
D_h=\frac{4a^{2}}{4a}=a.
Portanto, para esta seção, o diâmetro hidráulico é \,D_h=a. Vou usar isso nas fórmulas.

Passo 3

Escrever a fórmula de Darcy–Weisbach para perda de carga por unidade de comprimento em função da vazão \,Q. A forma usual em velocidade média V é
\frac{h_f}{L}=f\frac{V^{2}}{2gD_h}.
Como a vazão é a grandeza dada e V=Q/A, escrevemos em termos de Q. Substituindo V=Q/A e A=a^{2} e D_h=a:
\frac{h_f}{L}=f\frac{(Q/A)^{2}}{2gD_h} = f\frac{Q^{2}}{2gA^{2}D_h} = f\frac{Q^{2}}{2g\,a^{4}\,a} = f\frac{Q^{2}}{2g\,a^{5}}.
Assim, a perda de carga por unidade de comprimento segundo Darcy–Weisbach, para esta seção quadrada, é
\frac{h_f}{L} = f\frac{Q^{2}}{2g\,a^{5}}.

Passo 4

Escrever a fórmula de Hazen–Williams para perda de carga por unidade de comprimento em função de Q e usando D_h. A forma empírica em SI (altura em metros, Q em m^3/s, D em m) é
\frac{h_f}{L}=10{,}67\;\frac{Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\,D_h^{4{,}8704}}.
Substituindo D_h=a (do Passo 2):
\frac{h_f}{L}=10{,}67\;\frac{Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\,a^{4{,}8704}}.

Passo 5

Impor igualdade das perdas por unidade de comprimento (condição do enunciado) e montar a equação para relacionar f e C. Igualando as expressões dos Passos 3 e 4:
f\frac{Q^{2}}{2g\,a^{5}} \;=\; 10{,}67\;\frac{Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\,a^{4{,}8704}}.

Passo 6

Isolar f na equação do Passo 5. Multiplicando ambos os lados por \dfrac{2g\,a^{5}}{Q^{2}} obtemos
f = \frac{2g\,a^{5}}{Q^{2}}\; \cdot\; 10{,}67\;\frac{Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\,a^{4{,}8704}}.
Agrupando constantes e potências de a e Q:
f = 2\cdot 10{,}67\; g \; \frac{a^{5-4{,}8704}\; Q^{1{,}852-2}}{C^{1{,}852}}.
Calculemos as subtrações dos expoentes:
5-4{,}8704 = 0{,}1296,\qquad 1{,}852-2 = -0{,}148.
Portanto
f = 21{,}34\, g\; \frac{a^{0{,}1296}\;Q^{-0{,}148}}{C^{1{,}852}}.

Passo 7

Comentários sobre a expressão e forma alternativa. A equação do Passo 6 dá a relação desejada entre f e C para que as perdas coincidam, para uma vazão Q dada e lado a. Podemos escrever de modo mais explícito:
\boxed{\,f = 21{,}34\;g\;a^{0{,}1296}\;Q^{-0{,}148}\;C^{-1{,}852}\,}
Se quisermos um coeficiente numérico (assumindo g=9{,}81\\ \text{m/s}^{2}), o fator 21{,}34\,g vale aproximadamente 21{,}34\times 9{,}81\approx 209{,}4. Assim
f \approx 209{,}4\; a^{0{,}1296}\; Q^{-0{,}148}\; C^{-1{,}852}.
Além disso, se preferir isolar C em função de f:
C = \left(21{,}34\;g\;a^{0{,}1296}\;Q^{-0{,}148}\; /\, f\right)^{1/1{,}852}.

Resposta

f = 21{,}34\;g\;a^{0{,}1296}\;Q^{-0{,}148}\;C^{-1{,}852}.
(Assumindo g=9{,}81\\ \text{m/s}^{2}: f \approx 209{,}4\; a^{0{,}1296}\; Q^{-0{,}148}\; C^{-1{,}852}.)

Exercícios relacionados