2.11 Dado um tubo circular e outro não circular, ambos tendo o mesmo perímetro P , para um escoamento turbulento de um líquido de viscosidade cinemática v e vazão Q em ambos os tubos, mostre que:
a) o número de Reynolds é o mesmo em ambas as situações, e dado por Rey =4 \mathrm{Q} /(\mathrm{P} v) ;
b) a perda de carga unitária no tubo não circular é relacionada à perda de carga unitária no tubo circular, pela expressão:
\frac{J_{n}}{J_{c}}=\frac{f_{n}}{f_{c}}\left(\frac{A_{e}}{A_{n}}\right)^{3}

Passo 1

O enunciado dá duas tubulações internas: uma circular e outra não circular. Ambas têm o mesmo perímetro externo P. Em ambos os tubos há escoamento turbulento de um líquido com vazão volumétrica Q e viscosidade cinemática \nu. O problema pede duas coisas:
  1. Mostrar que o número de Reynolds é o mesmo para os dois tubos e que ele vale \displaystyle \mathrm{Rey}=\frac{4Q}{P\nu}.
  2. Mostrar que a perda de carga unitária no tubo não circular J_{n} está relacionada com a perda de carga unitária no tubo circular J_{c} pela fórmula
\frac{J_{n}}{J_{c}}=\frac{f_{n}}{f_{c}}\left(\frac{A_{e}}{A_{n}}\right)^{3}.
Informações e notação que vamos usar (fornecidas ou naturais a partir do enunciado):
  • P: perímetro comum das duas seções transversais.
  • Q: vazão volumétrica, igual nos dois tubos.
  • \nu: viscosidade cinemática do fluido.
  • A_{e}: área da seção do tubo circular (uso o subíndice e para “equivalente/circular”).
  • A_{n}: área da seção do tubo não circular.
  • f_{c} e f_{n}: fator de atrito (Darcy) do tubo circular e do não circular, respectivamente.
  • J_{c} e J_{n}: perda de carga por unidade de comprimento nos tubos circular e não circular, respectivamente.
    Não começarei a manipular as fórmulas ainda; apenas enumerei o que é pedido e as quantidades dadas.

Passo 2

Definição do diâmetro hidráulico e da velocidade média — conceitos que usaremos.
  • O diâmetro hidráulico D_h é definido por
D_h=\frac{4A}{P},
onde A é a área da seção transversal e P o perímetro molhado. Explicação: essa definição generaliza o diâmetro para seções não circulares de modo que a fórmula de atrito (Darcy–Weisbach) mantenha forma semelhante à do tubo circular.
  • A velocidade média U numa seção é dada por vazão dividida pela área:
U=\frac{Q}{A}.
Explicação: vazão é volume por unidade de tempo; dividindo pelo area obtemos a média da velocidade ao longo da seção.

Passo 3

Fórmula do número de Reynolds que vamos usar e substituições.
  • O número de Reynolds baseado no diâmetro hidráulico é
\mathrm{Re}=\frac{U D_h}{\nu},
onde \nu é a viscosidade cinemática. Aqui U é a velocidade média e D_h o diâmetro hidráulico.
  • Substituímos U=\dfrac{Q}{A} e D_h=\dfrac{4A}{P} na expressão de \mathrm{Re}. Façamos isso passo a passo:
\mathrm{Re}=\frac{U D_h}{\nu}=\frac{\left(\dfrac{Q}{A}\right)\left(\dfrac{4A}{P}\right)}{\nu}.

Passo 4

Simplificação algébrica para obter a expressão de \mathrm{Re}.
  • Na expressão anterior os fatores A no numerador e denominador se cancelam:
\mathrm{Re}=\frac{Q}{A}\cdot\frac{4A}{P}\cdot\frac{1}{\nu} =\frac{4Q}{P\nu}.
  • Conclusão imediata: a expressão obtida não depende de A. Como os dois tubos têm o mesmo Q, P e \nu, ambos têm o mesmo número de Reynolds dado por \displaystyle \mathrm{Re}=\frac{4Q}{P\nu}. Isso responde a parte (a).

Passo 5

Introdução da fórmula de perda de carga unitária (Darcy–Weisbach) usada para a parte (b).
  • A perda de carga por unidade de comprimento J (ou gradiente de carga) pela fórmula de Darcy–Weisbach é
J=\frac{f}{D_h}\cdot\frac{U^{2}}{2g},
onde:
  • f é o fator de atrito de Darcy (adimensional),
  • D_h é o diâmetro hidráulico,
  • U é a velocidade média,
  • g é a aceleração da gravidade.
  • Observação didática: f depende de \mathrm{Re} e da rugosidade relativa; em escoamento turbulento ele pode variar com forma da seção, por isso usamos f_n e f_c.

Passo 6

Escrever J em função de Q, P e A para uma seção genérica (isso facilita comparação).
  • Começamos com
J=\frac{f}{D_h}\cdot\frac{U^{2}}{2g}.
  • Substituímos U=\dfrac{Q}{A} e D_h=\dfrac{4A}{P}:
J=\frac{f}{\dfrac{4A}{P}}\cdot\frac{\left(\dfrac{Q}{A}\right)^{2}}{2g}.
  • Simplificando passo a passo:
J=f\cdot\frac{P}{4A}\cdot\frac{Q^{2}}{A^{2}}\cdot\frac{1}{2g} = \frac{f\,Q^{2}P}{8g\,A^{3}}.
Explicação: agrupei os fatores e cancelei potências de A corretamente; o resultado mostra que J é proporcional a f e inversamente proporcional a A^{3} (mantendo Q e P fixos).

Passo 7

Formar a razão J_{n}/J_{c} usando a expressão encontrada.
  • Para o tubo não circular:
J_{n}=\frac{f_{n}\,Q^{2}P}{8g\,A_{n}^{3}}.
  • Para o tubo circular (escrevo com subíndice e para a área circular):
J_{c}=\frac{f_{c}\,Q^{2}P}{8g\,A_{e}^{3}}.
  • Fazemos a razão:
\frac{J_{n}}{J_{c}}=\frac{\dfrac{f_{n}\,Q^{2}P}{8g\,A_{n}^{3}}}{\dfrac{f_{c}\,Q^{2}P}{8g\,A_{e}^{3}}}.
  • Cancelam-se os fatores idênticos Q^{2}P/(8g), restando
\frac{J_{n}}{J_{c}}=\frac{f_{n}}{f_{c}}\cdot\frac{A_{e}^{3}}{A_{n}^{3}} =\frac{f_{n}}{f_{c}}\left(\frac{A_{e}}{A_{n}}\right)^{3}.
Isso é exatamente a expressão pedida na parte (b).

Passo 8

Comentário final (didático e motivador).
  • Resumindo: a igualdade do número de Reynolds decorreu do uso consistente do diâmetro hidráulico \left(D_h=4A/P\right) e da definição de velocidade média U=Q/A, o que eliminou a dependência em A. A relação entre perdas de carga surge da fórmula de Darcy–Weisbach e da substituição das mesmas expressões de U e D_h em termos de Q, P e A.
  • Bom trabalho por ter chegado até aqui — essa é uma fórmula útil em hidráulica de condutos não circulares. Se quiser, a gente pode aplicar isso a um exemplo numérico para fixar.

Resposta

\displaystyle \mathrm{Rey}=\frac{4Q}{P\nu}\newline
\displaystyle \frac{J_{n}}{J_{c}}=\frac{f_{n}}{f_{c}}\left(\frac{A_{e}}{A_{n}}\right)^{3}

Exercícios relacionados