2.11 Dado um tubo circular e outro não circular, ambos tendo o mesmo perímetro P , para um escoamento turbulento de um líquido de viscosidade cinemática
e vazão Q em ambos os tubos, mostre que:
a) o número de Reynolds é o mesmo em ambas as situações, e dado por Rey
b) a perda de carga unitária no tubo não circular é relacionada à perda de carga unitária no tubo circular, pela expressão:
a) o número de Reynolds é o mesmo em ambas as situações, e dado por Rey
b) a perda de carga unitária no tubo não circular é relacionada à perda de carga unitária no tubo circular, pela expressão:
Passo 1
O enunciado dá duas tubulações internas: uma circular e outra não circular. Ambas têm o mesmo perímetro externo
. Em ambos os tubos há escoamento turbulento de um líquido com vazão volumétrica
e viscosidade cinemática
. O problema pede duas coisas:
- Mostrar que o número de Reynolds é o mesmo para os dois tubos e que ele vale
. - Mostrar que a perda de carga unitária no tubo não circular
está relacionada com a perda de carga unitária no tubo circular pela fórmula
Informações e notação que vamos usar (fornecidas ou naturais a partir do enunciado):
-
: perímetro comum das duas seções transversais. -
: vazão volumétrica, igual nos dois tubos. -
: viscosidade cinemática do fluido. -
: área da seção do tubo circular (uso o subíndice para “equivalente/circular”). -
: área da seção do tubo não circular. -
e : fator de atrito (Darcy) do tubo circular e do não circular, respectivamente. -
e : perda de carga por unidade de comprimento nos tubos circular e não circular, respectivamente.
Não começarei a manipular as fórmulas ainda; apenas enumerei o que é pedido e as quantidades dadas.
Passo 2
Definição do diâmetro hidráulico e da velocidade média — conceitos que usaremos.
- O diâmetro hidráulico
é definido por
onde
é a área da seção transversal e
o perímetro molhado. Explicação: essa definição generaliza o diâmetro para seções não circulares de modo que a fórmula de atrito (Darcy–Weisbach) mantenha forma semelhante à do tubo circular.
- A velocidade média
numa seção é dada por vazão dividida pela área:
Explicação: vazão é volume por unidade de tempo; dividindo pelo area obtemos a média da velocidade ao longo da seção.
Passo 3
Fórmula do número de Reynolds que vamos usar e substituições.
- O número de Reynolds baseado no diâmetro hidráulico é
onde
é a viscosidade cinemática. Aqui
é a velocidade média e
o diâmetro hidráulico.
- Substituímos
e na expressão de . Façamos isso passo a passo:
Passo 4
Simplificação algébrica para obter a expressão de
.
- Na expressão anterior os fatores
no numerador e denominador se cancelam:
- Conclusão imediata: a expressão obtida não depende de
. Como os dois tubos têm o mesmo , e , ambos têm o mesmo número de Reynolds dado por . Isso responde a parte (a).
Passo 5
Introdução da fórmula de perda de carga unitária (Darcy–Weisbach) usada para a parte (b).
- A perda de carga por unidade de comprimento
(ou gradiente de carga) pela fórmula de Darcy–Weisbach é
onde:
-
é o fator de atrito de Darcy (adimensional), -
é o diâmetro hidráulico, -
é a velocidade média, -
é a aceleração da gravidade. - Observação didática:
depende de e da rugosidade relativa; em escoamento turbulento ele pode variar com forma da seção, por isso usamos e .
Passo 6
Escrever
em função de
,
e
para uma seção genérica (isso facilita comparação).
- Começamos com
- Substituímos
e :
- Simplificando passo a passo:
Explicação: agrupei os fatores e cancelei potências de
corretamente; o resultado mostra que
é proporcional a
e inversamente proporcional a
(mantendo
e
fixos).
Passo 7
Formar a razão
usando a expressão encontrada.
- Para o tubo não circular:
- Para o tubo circular (escrevo com subíndice
para a área circular):
- Fazemos a razão:
- Cancelam-se os fatores idênticos
, restando
Isso é exatamente a expressão pedida na parte (b).
Passo 8
Comentário final (didático e motivador).
- Resumindo: a igualdade do número de Reynolds decorreu do uso consistente do diâmetro hidráulico
e da definição de velocidade média , o que eliminou a dependência em . A relação entre perdas de carga surge da fórmula de Darcy–Weisbach e da substituição das mesmas expressões de e em termos de , e . - Bom trabalho por ter chegado até aqui — essa é uma fórmula útil em hidráulica de condutos não circulares. Se quiser, a gente pode aplicar isso a um exemplo numérico para fixar.