7.27 Duas impedâncias \mathbf{Z}_{1}=4 /-30^{\circ} e \mathbf{Z}_{2}=5 / 60^{\circ} estão em paralelo submetidas ao fasor \mathbf{V}=20 / 0^{\circ}. Determinar o triângulo das potôncias de cada ramo e combi-ná-los para obter o triângulo total.
Resp.: P=126,6 \mathrm{~W} ; Q=19,3 VARS atrasado; \cos \varphi=0,99 atrasado.

Passo 1

O enunciado dá duas impedâncias em paralelo e uma tensão aplicada a elas, e pede o triângulo das potências de cada ramo e o triângulo total. Dados fornecidos (vou listar exatamente como estão no enunciado):
\mathbf{Z}_{1}=4\\ /\\\ -30^{\circ},\qquad \mathbf{Z}_{2}=5\\ /\\\ 60^{\circ},\qquad \mathbf{V}=20\\ /\\\ 0^{\circ}.
Perguntas que o enunciado faz:
\text{(a) determinar o triângulo de potências de cada ramo (ou seja, }P\text{ e }Q\text{ de cada ramo);}\\\ \text{(b) combinar esses triângulos para obter o triângulo total (ou seja, }P_{\text{total}},Q_{\text{total}},\text{ e fator de potência).}âêââê

Passo 2

Conceito-chave (explicação didática curta): em circuitos em paralelo a tensão nos ramos é a mesma. Logo podemos calcular a corrente em cada ramo por
\mathbf{I}=\frac{\mathbf{V}}{\mathbf{Z}}.
Aqui usamos forma fasorial/polar: se \mathbf{V}=V\angle\theta_V e \mathbf{Z}=Z\angle\theta_Z, então
\mathbf{I}=\frac{V}{Z}\angle(\theta_V-\theta_Z).
Vou aplicar isso diretamente aos dois ramos.

Passo 3

Calcular a corrente em cada ramo (passo-a-passo):
Para o ramo 1,
\mathbf{I}_1=\frac{\mathbf{V}}{\mathbf{Z}_1} =\frac{20\\ /\\\ 0^{\circ}}{4\\ /\\\ -30^{\circ}} =\frac{20}{4}\angle(0^\circ-(-30^\circ)) =5\\ /\\\ 30^{\circ}.
Para o ramo 2,
\mathbf{I}_2=\frac{\mathbf{V}}{\mathbf{Z}_2} =\frac{20\\ /\\\ 0^{\circ}}{5\\ /\\\ 60^{\circ}} =\frac{20}{5}\angle(0^\circ-60^\circ) =4\\ /\\\ -60^{\circ}.
Comentário amigável: as magnitudes são simples divisões e o argumento (ângulo) é a diferença dos ângulos (tensão menos impedância).

Passo 4

Fórmula da potência complexa (aula curta): a potência complexa por fase/ramo é
\mathbf{S}=\mathbf{V}\,\mathbf{I}^*,
onde \mathbf{I}^* é o conjugado complexo da fasor corrente. Em polar, se \mathbf{V}=V\angle 0^\circ e \mathbf{I}=I\angle\phi_I, então \mathbf{I}^*=I\angle(-\phi_I) e
\mathbf{S}=V I \angle(-\phi_I).
Uma forma equivalente (muito útil) é
\mathbf{S}=\frac{V^2}{\mathbf{Z}^*},
mas aqui vou calcular usando \mathbf{S}=\mathbf{V}\mathbf{I}^* porque já tenho \mathbf{I}.

Passo 5

Calcular \mathbf{S}_1 usando \mathbf{I}_1:
\mathbf{I}_1=5\\ /\\\ 30^{\circ}\quad\Rightarrow\quad \mathbf{I}_1^*=5\\ /\\\ -30^{\circ}.
Logo
\mathbf{S}_1=\mathbf{V}\,\mathbf{I}_1^*= (20\\ /\\\ 0^{\circ})\,(5\\ /\\\ -30^{\circ}) =100\\ /\\\ -30^{\circ}.
Interpretação em componentes reais (potência ativa P e reativa Q): usando trigonometria,
P_1 = 100\cos(-30^\circ)=100\cos(30^\circ)=100\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=86{,}602540\\ \text{W},
Q_1 = 100\sin(-30^\circ)=100\cdot(-\tfrac{1}{2})=-50\\ \text{VAR}.
Comentário: Q_1 negativo indica que o ramo 1 fornece reativo (comportamento capacitivo ou leading).

Passo 6

Calcular \mathbf{S}_2 usando \mathbf{I}_2:
\mathbf{I}_2=4\\ /\\\ -60^{\circ}\quad\Rightarrow\quad \mathbf{I}_2^*=4\\ /\\\ 60^{\circ}.
Logo
\mathbf{S}_2=\mathbf{V}\,\mathbf{I}_2^*=(20\\ /\\\ 0^{\circ})(4\\ /\\\ 60^{\circ})=80\\ /\\\ 60^{\circ}.
Componentes:
P_2 = 80\cos(60^\circ)=80\cdot\tfrac{1}{2}=40\\ \text{W},
Q_2 = 80\sin(60^\circ)=80\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=69{,}282032\\ \text{VAR}.
Comentário: Q_2 positivo significa reativo indutivo (lagging).

Passo 7

Construir os triângulos individuais de potência (explicação prática): cada \mathbf{S}_k pode ser representada por um vetor num plano P (horizontal) e Q (vertical). Já temos para ramo 1:
\mathbf{S}_1=100\\ /\\\ -30^{\circ}\quad\Rightarrow\quad P_1=86{,}602540\\ \text{W},\\ Q_1=-50\\ \text{VAR}.
E para ramo 2:
\mathbf{S}_2=80\\ /\\\ 60^{\circ}\quad\Rightarrow\quad P_2=40\\ \text{W},\\ Q_2=69{,}282032\\ \text{VAR}.
Pequeno exemplo mental: o triângulo do ramo 1 tem hipotenusa |\mathbf{S}_1|=100 e ângulo -30^\circ abaixo do eixo P; o ramo 2 tem hipotenusa |\mathbf{S}_2|=80 e ângulo 60^\circ acima do eixo P.

Passo 8

Somar as potências ativas e reativas para obter o total (porque potências complexas somam como vetores):
P_{\text{total}}=P_1+P_2=86{,}602540+40=126{,}602540\\ \text{W}.
Q_{\text{total}}=Q_1+Q_2=-50+69{,}282032=19{,}282032\\ \text{VAR}.
Interpretação do sinal: Q_{\text{total}}>0 significa que o total é reativo indutivo (atrasado, ou “lagging” / “atrasado”).

Passo 9

Calcular a potência aparente total e o fator de potência:
A potência aparente total é
|\mathbf{S}_{\text{total}}|=\sqrt{P_{\text{total}}^{2}+Q_{\text{total}}^{2}}.
Usando os valores numéricos:
|\mathbf{S}_{\text{total}}|=\sqrt{(126{,}602540)^{2}+(19{,}282032)^{2}}\approx128{,}06\\ \text{VA}.
O fator de potência (cosseno do ângulo de fase \varphi) é
\cos\varphi=\frac{P_{\text{total}}}{|\mathbf{S}_{\text{total}}|} =\frac{126{,}602540}{128{,}06}\approx0{,}9899\approx0{,}99.
O sinal de Q_{\text{total}} positivo indica que esse \cos\varphi é atrasado.

Passo 10

Resumo interpretativo e checagem rápida: os triângulos individuais e o triângulo total fazem sentido numericamente e geometricamente — o ramo 1 tinha reativo negativo (leading) e o ramo 2 reativo positivo (lagging); somando obtemos pequeno reativo positivo. Os valores numéricos arredondados coincidem com a resposta do enunciado.

Resposta

P=126{,}6\\ \text{W}
Q=19{,}3\\ \text{VAR}\\ \text{atrasado}
\cos\varphi=0{,}99\\ \text{atrasado}

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