Calcule
\iiint_{R} x y z^{2} d V
onde
R é o paralelepípedo retângulo dado por
R=\left{(x, y, z) \in I R^{3}: 0 \leq x \leq 1 ; 0 \leq y \leq 2 ; 1 \leq z \leq 3\right}
\iiint_{R} x y z^{2} d V
onde
R é o paralelepípedo retângulo dado por
R=\left{(x, y, z) \in I R^{3}: 0 \leq x \leq 1 ; 0 \leq y \leq 2 ; 1 \leq z \leq 3\right}
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
onde o domínio
é o paralelepípedo retângulo
Informações relevantes dadas:
- A função a integrar é
. - Os limites para
são de a . - Os limites para
são de a . - Os limites para
são de a .
A tarefa é obter o valor numérico exato da integral tripla acima.
Passo 2
Entendendo o que vamos usar (explicação didática):
- Para integrais múltiplas sobre um paralelepípedo retângulo podemos aplicar o teorema de Fubini: a integral tripla pode ser calculada como uma integral iterada, por exemplo
ou em qualquer ordem de
. Aqui
são os limites do retângulo em cada coordenada.
- No nosso caso, a função é um produto de funções que dependem de variáveis diferentes:
. Isso facilita porque, ao integrar em uma variável, as outras são constantes naquele passo. - Regra prática: para integrar em ordem
, tratamos e como constantes ao calcular a primitiva em . Depois integramos o resultado em , tratando como constante, e por fim em .
Vou aplicar essa ideia passo a passo, mostrando as primitivas e avaliações em cada limite.
Passo 3
Escrevendo a integral como iterada (escolhi a ordem
):
Observação: dentro da integral em
,
e
são constantes, então podemos fatorá-los:
Passo 4
Calcular a primitiva em
:
- A primitiva (antiderivada) de
em relação a é , porque derivando obtemos .
Portanto,
Multiplicando pelo
que estava fatorado,
Passo 5
Agora integramos em
:
A primitiva de
em relação a
é
. Avaliando:
Portanto
Passo 6
Finalmente integramos em
:
A primitiva de
é
. Avaliando no intervalo
:
Portanto
Passo 7
Comentário final e verificação rápida:
- O valor encontrado é
. - Como checagem rápida: devido à separabilidade de
e do domínio retangular, poderíamos também escrever a integral como produto de integrais unidimensionais:
o que coincide com o resultado anterior. Isso dá mais confiança que o cálculo está correto. Força aí — você já domina a técnica!