Calcule
\iiint_{R} x y z^{2} d V
onde
R é o paralelepípedo retângulo dado por
R=\left{(x, y, z) \in I R^{3}: 0 \leq x \leq 1 ; 0 \leq y \leq 2 ; 1 \leq z \leq 3\right}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{R} x y z^{2}\, dV
onde o domínio R é o paralelepípedo retângulo
R=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 : 0\le x\le 1,\; 0\le y\le 2,\; 1\le z\le 3\}.
Informações relevantes dadas:
  • A função a integrar é f(x,y,z)=x y z^{2}.
  • Os limites para \,x são de 0 a 1.
  • Os limites para \,y são de 0 a 2.
  • Os limites para \,z são de 1 a 3.
    A tarefa é obter o valor numérico exato da integral tripla acima.

Passo 2

Entendendo o que vamos usar (explicação didática):
  • Para integrais múltiplas sobre um paralelepípedo retângulo podemos aplicar o teorema de Fubini: a integral tripla pode ser calculada como uma integral iterada, por exemplo
\iiint_{R} f(x,y,z)\,dV = \int_{x=a}^{b}\int_{y=c}^{d}\int_{z=e}^{f} f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx,
ou em qualquer ordem de x,y,z. Aqui a,b,c,d,e,f são os limites do retângulo em cada coordenada.
  • No nosso caso, a função é um produto de funções que dependem de variáveis diferentes: f(x,y,z)=x\cdot y\cdot z^{2}. Isso facilita porque, ao integrar em uma variável, as outras são constantes naquele passo.
  • Regra prática: para integrar em ordem dz\,dy\,dx, tratamos x e y como constantes ao calcular a primitiva em z. Depois integramos o resultado em y, tratando x como constante, e por fim em x.
    Vou aplicar essa ideia passo a passo, mostrando as primitivas e avaliações em cada limite.

Passo 3

Escrevendo a integral como iterada (escolhi a ordem dz\,dy\,dx):
\iiint_{R} x y z^{2}\, dV = \int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{2}\int_{z=1}^{3} x y z^{2}\, dz\, dy\, dx.
Observação: dentro da integral em z, x e y são constantes, então podemos fatorá-los:
\int_{z=1}^{3} x y z^{2}\, dz = x y \int_{z=1}^{3} z^{2}\, dz.

Passo 4

Calcular a primitiva em z:
  • A primitiva (antiderivada) de z^{2} em relação a z é \dfrac{z^{3}}{3}, porque derivando \dfrac{z^{3}}{3} obtemos z^{2}.
    Portanto,
\int_{z=1}^{3} z^{2}\, dz = \left[\dfrac{z^{3}}{3}\right]_{1}^{3} = \dfrac{3^{3}}{3} - \dfrac{1^{3}}{3} = \dfrac{27}{3} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{26}{3}.
Multiplicando pelo x y que estava fatorado,
\int_{z=1}^{3} x y z^{2}\, dz = x y \cdot \dfrac{26}{3} = \dfrac{26}{3}\, x y.

Passo 5

Agora integramos em y:
\int_{y=0}^{2} \dfrac{26}{3}\, x y \, dy = \dfrac{26}{3}\, x \int_{y=0}^{2} y\, dy.
A primitiva de y em relação a y é \dfrac{y^{2}}{2}. Avaliando:
\int_{y=0}^{2} y\, dy = \left[\dfrac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{2} = \dfrac{2^{2}}{2} - 0 = \dfrac{4}{2} = 2.
Portanto
\int_{y=0}^{2} \dfrac{26}{3}\, x y \, dy = \dfrac{26}{3}\, x \cdot 2 = \dfrac{52}{3}\, x.

Passo 6

Finalmente integramos em x:
\int_{x=0}^{1} \dfrac{52}{3}\, x \, dx = \dfrac{52}{3} \int_{x=0}^{1} x\, dx.
A primitiva de x é \dfrac{x^{2}}{2}. Avaliando no intervalo [0,1]:
\int_{x=0}^{1} x\, dx = \left[\dfrac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = \dfrac{1^{2}}{2} - 0 = \dfrac{1}{2}.
Portanto
\int_{x=0}^{1} \dfrac{52}{3}\, x \, dx = \dfrac{52}{3} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{52}{6} = \dfrac{26}{3}.

Passo 7

Comentário final e verificação rápida:
  • O valor encontrado é \dfrac{26}{3}.
  • Como checagem rápida: devido à separabilidade de x y z^{2} e do domínio retangular, poderíamos também escrever a integral como produto de integrais unidimensionais:
\left(\int_{0}^{1} x\,dx\right)\left(\int_{0}^{2} y\,dy\right)\left(\int_{1}^{3} z^{2}\,dz\right) = \left(\dfrac{1}{2}\right)\left(2\right)\left(\dfrac{26}{3}\right)=\dfrac{26}{3},
o que coincide com o resultado anterior. Isso dá mais confiança que o cálculo está correto. Força aí — você já domina a técnica!

Resposta

\dfrac{26}{3}

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