Calcule
\iint_{R}\left(x{2}+y{2}\right) d A
onde
R é o retângulo dado por
R=\left{(x, y) \in I R^{2}: 0 \leq x \leq 1 ; 0 \leq y \leq 2\right}
\iint_{R}\left(x{2}+y{2}\right) d A
onde
R é o retângulo dado por
R=\left{(x, y) \in I R^{2}: 0 \leq x \leq 1 ; 0 \leq y \leq 2\right}
Passo 1
O enunciado pede que calculemos a integral dupla
onde a região
é o retângulo dado por
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Podemos escrever a integral dupla como uma integral iterada porque o integrando
é contínuo no retângulo
. Escolhemos a ordem de integração
. Assim:
Explicação rápida (didática): integrar em ordem
significa que, para cada
fixo entre
e
, calculamos a integral da função em
de
a
, obtendo uma função de
; depois integramos essa função em
de
a
.
Passo 3
Usamos a linearidade da integral para separar a soma:
Regra usada (didática):
. Também, quando integramos em
, uma expressão que depende só de
é constante em relação a
.
Passo 4
Calcule a primeira integral interna
. Aqui
é constante em relação a
, logo
Didática: sempre que tivermos
com
constante (ou função de outra variável), o resultado é
.
Passo 5
Calcule a segunda integral interna
. Usamos a regra da potência para primitivas:
Aplicando com
:
Passo 6
Substituímos os resultados das integrais internas na integral em
:
Explicação: a integral interna em
transformou o integrando numa função de
, que agora integraremos de
a
.
Passo 7
Separe e calcule as duas integrais em
:
Didática: novamente usamos a regra da potência para integrar
.
Passo 8
Calcule a outra integral:
Explicação: constante em
sai da integral e multiplica o comprimento do intervalo.
Passo 9
Some os dois resultados:
Opcional (verificação rápida): se trocássemos a ordem e fizéssemos
obtendríamos o mesmo valor — Fubini garante que para funções contínuas em retângulos a ordem pode ser trocada.