Calcule
\iint_{R}\left(x{2}+y{2}\right) d A
onde
R é o retângulo dado por
R=\left{(x, y) \in I R^{2}: 0 \leq x \leq 1 ; 0 \leq y \leq 2\right}

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a integral dupla
\iint_{R}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dA
onde a região R é o retângulo dado por
R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 0\le x\le 1,\; 0\le y\le 2\}.
Informações relevantes fornecidas:
\text{integrando: }x^{2}+y^{2},\qquad x\text{ varia em }[0,1],\qquad y\text{ varia em }[0,2].

Passo 2

Podemos escrever a integral dupla como uma integral iterada porque o integrando x^{2}+y^{2} é contínuo no retângulo R. Escolhemos a ordem de integração dy\,dx. Assim:
\iint_{R}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dA = \int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{2}(x^{2}+y^{2})\,dy\right)dx.
Explicação rápida (didática): integrar em ordem dy\,dx significa que, para cada x fixo entre 0 e 1, calculamos a integral da função em y de 0 a 2, obtendo uma função de x; depois integramos essa função em x de 0 a 1.

Passo 3

Usamos a linearidade da integral para separar a soma:
\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{2}(x^{2}+y^{2})\,dy\right)dx = \int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{2}x^{2}\,dy\right)dx + \int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{2}y^{2}\,dy\right)dx.
Regra usada (didática): \int (f+g) = \int f + \int g. Também, quando integramos em y, uma expressão que depende só de x é constante em relação a y.

Passo 4

Calcule a primeira integral interna \int_{0}^{2}x^{2}\,dy. Aqui x^{2} é constante em relação a y, logo
\int_{0}^{2}x^{2}\,dy = x^{2}\int_{0}^{2}1\,dy = x^{2}\cdot(2-0)=2x^{2}.
Didática: sempre que tivermos \int_{a}^{b} c\,dy com c constante (ou função de outra variável), o resultado é c(b-a).

Passo 5

Calcule a segunda integral interna \int_{0}^{2}y^{2}\,dy. Usamos a regra da potência para primitivas:
\int y^{n}\,dy = \frac{y^{n+1}}{n+1} + C.
Aplicando com n=2:
\int_{0}^{2}y^{2}\,dy = \left[\frac{y^{3}}{3}\right]_{0}^{2} = \frac{2^{3}}{3}-0 = \frac{8}{3}.

Passo 6

Substituímos os resultados das integrais internas na integral em x:
\iint_{R}(x^{2}+y^{2})\,dA = \int_{0}^{1}\left(2x^{2} + \frac{8}{3}\right)dx.
Explicação: a integral interna em y transformou o integrando numa função de x, que agora integraremos de 0 a 1.

Passo 7

Separe e calcule as duas integrais em x:
\int_{0}^{1}2x^{2}\,dx = 2\int_{0}^{1}x^{2}\,dx = 2\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = 2\cdot\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.
Didática: novamente usamos a regra da potência para integrar x^{2}.

Passo 8

Calcule a outra integral:
\int_{0}^{1}\frac{8}{3}\,dx = \frac{8}{3}\int_{0}^{1}1\,dx = \frac{8}{3}\cdot(1-0)=\frac{8}{3}.
Explicação: constante em x sai da integral e multiplica o comprimento do intervalo.

Passo 9

Some os dois resultados:
\frac{2}{3} + \frac{8}{3} = \frac{10}{3}.
Opcional (verificação rápida): se trocássemos a ordem e fizéssemos \int_{0}^{2}\left(\int_{0}^{1}(x^{2}+y^{2})\,dx\right)dy obtendríamos o mesmo valor — Fubini garante que para funções contínuas em retângulos a ordem pode ser trocada.

Resposta

\dfrac{10}{3}

Exercícios relacionados