Conservação de Momento e Energia (Colisão Elástica Bidimensional). Dois discos de hóquei deslizam sem atrito. O disco A ( m_{A}=0,20 k g ) move-se com \vec{v}_{A i}=5 \hat{\imath} m / s e colide elasticamente com o disco B ( m_{A}=0,30 \mathrm{~kg} ) em repouso. Após a colisão, \vec{v}_{A f}=2 \hat{\imath}+3 \hat{\jmath} \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
a) Determine \vec{v}_{B f}.
b) Verifique se a energia cinética total é conservada.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Massa do disco A: m_A=0{,}20\\ \mathrm{kg}.
  • Massa do disco B: m_B=0{,}30\\ \mathrm{kg}.
  • Velocidade inicial do disco A: \vec{v}_{Ai}=5\hat{\imath}\\ \mathrm{m/s}.
  • Disco B inicialmente em repouso: \vec{v}_{Bi}=0.
  • Velocidade final do disco A: \vec{v}_{Af}=2\hat{\imath}+3\hat{\jmath}\\ \mathrm{m/s}.
O que o problema pede:
a) Determinar \vec{v}_{Bf} (velocidade final do disco B).
b) Verificar se a energia cinética total é conservada (comparar energia cinética total antes e depois da colisão).

Passo 2

Princípio que vamos usar (descrição e fórmula): conservação do momento linear do sistema formado pelos dois discos durante a colisão isolada. Escrevendo vetorialmente:
m_A\vec{v}_{Ai}+m_B\vec{v}_{Bi}=m_A\vec{v}_{Af}+m_B\vec{v}_{Bf}.
Explicando as letras:
  • m_A e m_B são as massas dos discos A e B.
  • \vec{v}_{Ai} e \vec{v}_{Bi} são as velocidades iniciais.
  • \vec{v}_{Af} e \vec{v}_{Bf} são as velocidades finais.
    Aqui sabemos que \vec{v}_{Bi}=0, então a equação fica mais simples e podemos isolar \vec{v}_{Bf}.

Passo 3

Isolando \vec{v}_{Bf} a partir da conservação do momento:
m_B\vec{v}_{Bf}=m_A\vec{v}_{Ai}-m_A\vec{v}_{Af}.
Logo
\vec{v}_{Bf}=\frac{m_A}{m_B}\bigl(\vec{v}_{Ai}-\vec{v}_{Af}\bigr).
Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro calculamos a diferença vetorial:
\vec{v}_{Ai}-\vec{v}_{Af}=(5\hat{\imath})-(2\hat{\imath}+3\hat{\jmath})=(5-2)\hat{\imath}+(0-3)\hat{\jmath}=3\hat{\imath}-3\hat{\jmath}.
A razão das massas é
\frac{m_A}{m_B}=\frac{0{,}20}{0{,}30}=\frac{2}{3}.
Multiplicando:
\vec{v}_{Bf}=\frac{2}{3}\bigl(3\hat{\imath}-3\hat{\jmath}\bigr)=2\hat{\imath}-2\hat{\jmath}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Agora verificamos a conservação da energia cinética. Fórmula da energia cinética de um corpo de massa m e velocidade \vec{v}:
K=\tfrac{1}{2}m\|\vec{v}\|^2,
onde \|\vec{v}\|^2 é o quadrado da magnitude da velocidade (soma dos quadrados das componentes).
Calculamos energia cinética inicial total ( K_i):
K_i=\tfrac{1}{2}m_A\|\vec{v}_{Ai}\|^2+\tfrac{1}{2}m_B\|\vec{v}_{Bi}\|^2.
Como \vec{v}_{Bi}=0,
K_i=\tfrac{1}{2}(0{,}20)(5^2)=0{,}10\cdot25=2{,}5\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Calculamos a energia cinética final total ( K_f):
Para A:
\|\vec{v}_{Af}\|^2=2^2+3^2=4+9=13,
K_{Af}=\tfrac{1}{2}m_A\|\vec{v}_{Af}\|^2=\tfrac{1}{2}(0{,}20)(13)=0{,}10\cdot13=1{,}3\\ \mathrm{J}.
Para B (usando o \vec{v}_{Bf} obtido):
\|\vec{v}_{Bf}\|^2=2^2+(-2)^2=4+4=8,
K_{Bf}=\tfrac{1}{2}m_B\|\vec{v}_{Bf}\|^2=\tfrac{1}{2}(0{,}30)(8)=0{,}15\cdot8=1{,}2\\ \mathrm{J}.
Somando:
K_f=K_{Af}+K_{Bf}=1{,}3+1{,}2=2{,}5\\ \mathrm{J}.
Comparando K_i=2{,}5\\ \mathrm{J} com K_f=2{,}5\\ \mathrm{J}, vemos que a energia cinética total foi conservada (dentro dos números dados).

Passo 6

Resumo interpretativo e checagens rápidas:
  • A velocidade final de B tem componentes simétricas resultantes da diferença de momento transferido por A.
  • A igualdade numérica entre K_i e K_f confirma que a colisão é elasticamente consistente com os dados fornecidos.

Resposta

\vec{v}_{Bf}=2\hat{\imath}-2\hat{\jmath}\\ \mathrm{m/s}
Energia cinética: conservada, K_i=K_f=2{,}5\\ \mathrm{J}

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