1.27** A marca de um referencial inercial é que qualquer objeto que esteja sujeito a uma força resultante nula irá percorrer uma trajetória retilínea com velocidade constante. Para ilustrar isso, considere o seguinte experimento: estou em pé no chão (que devemos considerar como sendo um referencial inercial) ao lado de uma mesa giratória horizontal perfeitamente plana, girando com uma velocidade angular constante
. Eu me inclino e atiro um bloco sem atrito de
modo que ele desliza direto através do centro sobre a mesa giratória. O bloco está sujeito a uma força resultante nula e, como visto de um referencial inercial, desloca-se em uma reta. Descreva a trajetória do bloco quando observada por alguém que esteja sentado em repouso sobre a mesa. Isso requer pensar com atenção, mas você deve ser capaz de obter uma visão qualitativa. Para uma visão quantitativa, auxilia usar coordenadas polares; veja o Problema 1.46.
modo que ele desliza direto através do centro sobre a mesa giratória. O bloco está sujeito a uma força resultante nula e, como visto de um referencial inercial, desloca-se em uma reta. Descreva a trajetória do bloco quando observada por alguém que esteja sentado em repouso sobre a mesa. Isso requer pensar com atenção, mas você deve ser capaz de obter uma visão qualitativa. Para uma visão quantitativa, auxilia usar coordenadas polares; veja o Problema 1.46.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o quê:
- Informação: há uma mesa giratória horizontal que roda com velocidade angular constante
. - Informação: eu (no chão, referencial inercial) atiro um bloco sem atrito de modo que ele desliza em linha reta que atravessa exatamente o centro da mesa. No referencial inercial (o chão) a força resultante sobre o bloco é nula, então ele descreve uma reta com velocidade constante.
- Pedido: descrever a trajetória do bloco vista por alguém sentado em repouso sobre a mesa (isto é, em um referencial que gira com velocidade angular
). O enunciado pede visão qualitativa e sugere que usar coordenadas polares ajuda para obter visão quantitativa.
Passo 1 terminou: temos trajetória retilínea no referencial inercial (reta passando pelo centro) e queremos a curva que o observador giratório vê.
Passo 2
Primeira coisa didática: coordenadas polares e mudança de referência.
- Em coordenadas polares um ponto no plano é dado por dois números: o raio
(distância ao centro) e o ângulo (a direção medida a partir de algum eixo fixo). Ou seja, um ponto tem coordenadas . - Se um observador está em repouso no referencial inercial, chamarei o ângulo medido por ele de
. Se um observador está na mesa girando com velocidade angular , o ângulo medido por ele será . Como a mesa gira, os dois ângulos ficam relacionados por uma rotação uniforme:
Isto significa: o ângulo no referencial da mesa é o ângulo no referencial inercial menos o giro da mesa
. (Todas as variáveis são funções do tempo
.)
Passo 3
Descrevendo a trajetória no referencial inercial (base do cálculo).
- Porque o bloco passa pelo centro e se move retilineamente no referencial inercial, a reta passa pelo centro: isso é exatamente uma trajetória radial em coordenadas polares. Logo o ângulo inercial é constante ao longo do movimento:
- A distância ao centro varia linearmente com o tempo porque a velocidade é constante ao longo da reta. Chamemos
a distância inicial (no instante ) e a velocidade com que o bloco se aproxima do centro (tomando para o movimento em direção ao centro). Então, enquanto o bloco se aproxima do centro,
Esse
continua a variar depois que cruza o centro (vai aumentar novamente), mas começamos pela fase de aproximação.
Passo 4
Passando para o referencial que gira: eliminar o tempo para achar a relação
versus
.
- Do passo anterior temos
. Isolando obtemos
- Também temos a relação entre ângulos (Passo 2) com
, portanto
- Substituindo
obtido na expressão de , ficamos com uma relação entre e (eliminando ):
Agora reorganizamos essa equação para escrever
em função de
. Multiplicando e isolando
dá
Passo 5
Interpretação da relação obtida: é um espiral de Arquimedes.
- A equação
é a equação de uma espiral do tipo “Archimedeana” (ou espiral de Arquimedes):
, com
e
. Uma característica dessa espiral é que o raio cresce linearmente com o ângulo. Isso significa que, ao invés de ver uma reta, o observador que gira verá o bloco descrevendo uma curva em espiral que roda ao redor do centro à medida que o bloco se aproxima. O parâmetro
é a “inclinação” da espiral: quanto maior
(partícula rápida) ou menor
(mesa lenta), mais aberta é a espiral; quanto maior
, mais apertada a espiral.
- No momento em que o bloco alcança o centro,
. Nesse instante a representação em coordenadas polares precisa tratar o salto de rótulo do ângulo (o bloco passa por e sai do outro lado). A expressão acima vale para a fase de aproximação até . Depois que o bloco atravessa o centro e se afasta do outro lado, o mesmo tipo de relação linear entre e se mantém, mas com um “deslocamento” de na componente angular (o bloco agora está na direção oposta no referencial inercial). Em termos qualitativos: a espiral continua do outro lado, formando uma única curva que atravessa o centro e segue para fora, mudando de ramo no ponto . - Observação sobre o sentido: se
então, enquanto o bloco avança em linha reta no inercial, o observador na mesa verá o ângulo diminuir linearmente com o tempo (porque ), isto é, a espiral será desenhada num sentido (por exemplo, horário). Se tiver sinal oposto, o sentido da espiral inverte.
Passo 6
Visão qualitativa, física e intuitiva (para a prova — como explicar rapidamente):
- Intuitivamente: no solo eu vejo o bloco seguir uma reta. Quem está sobre a mesa gira junto com a mesa, então, enquanto o bloco vai reto, a direção de referência da pessoa giratória está girando sob a trajetória do bloco. Isso transforma a linha reta vista por mim em uma curva que parece “rodar” em torno do centro — exatamente uma espiral.
- Outra maneira de falar (forças aparentes): no referencial girante aparecem forças aparentes como a força de Coriolis que deflete o movimento. Essa força lateral faz com que o bloco pareça descrever uma curva para o observador girante; a derivação em coordenadas polares que fizemos dá precisamente a curva resultante (a espiral). Porém para resolver a questão não precisamos aplicar explicitamente as fórmulas de Coriolis: basta usar a relação geométrica entre ângulos do referencial inercial e girante e a reta no inercial, como fizemos.
- Comportamento final: o bloco entra descrevendo um ramo da espiral, passa pelo centro (ponto onde a representação angular tem cuidado especial), e sai descrevendo o ramo oposto da espiral. A distância radial varia linearmente com o ângulo observado na mesa.
Resposta
A trajetória vista por quem está sobre a mesa é uma espiral de Arquimedes, dada (na fase de aproximação ao centro) por
onde
e
são a distância e o ângulo iniciais (em
) e
é a velocidade radial do bloco no referencial inercial. Qualitativamente: o bloco parece descrever uma curva em espiral que atravessa o centro e sai pelo lado oposto (a direção do enrolamento depende do sinal de
).