1.27** A marca de um referencial inercial é que qualquer objeto que esteja sujeito a uma força resultante nula irá percorrer uma trajetória retilínea com velocidade constante. Para ilustrar isso, considere o seguinte experimento: estou em pé no chão (que devemos considerar como sendo um referencial inercial) ao lado de uma mesa giratória horizontal perfeitamente plana, girando com uma velocidade angular constante \omega. Eu me inclino e atiro um bloco sem atrito de
modo que ele desliza direto através do centro sobre a mesa giratória. O bloco está sujeito a uma força resultante nula e, como visto de um referencial inercial, desloca-se em uma reta. Descreva a trajetória do bloco quando observada por alguém que esteja sentado em repouso sobre a mesa. Isso requer pensar com atenção, mas você deve ser capaz de obter uma visão qualitativa. Para uma visão quantitativa, auxilia usar coordenadas polares; veja o Problema 1.46.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o quê:
  • Informação: há uma mesa giratória horizontal que roda com velocidade angular constante \omega.
  • Informação: eu (no chão, referencial inercial) atiro um bloco sem atrito de modo que ele desliza em linha reta que atravessa exatamente o centro da mesa. No referencial inercial (o chão) a força resultante sobre o bloco é nula, então ele descreve uma reta com velocidade constante.
  • Pedido: descrever a trajetória do bloco vista por alguém sentado em repouso sobre a mesa (isto é, em um referencial que gira com velocidade angular \omega). O enunciado pede visão qualitativa e sugere que usar coordenadas polares ajuda para obter visão quantitativa.
Passo 1 terminou: temos trajetória retilínea no referencial inercial (reta passando pelo centro) e queremos a curva que o observador giratório vê.

Passo 2

Primeira coisa didática: coordenadas polares e mudança de referência.
  • Em coordenadas polares um ponto no plano é dado por dois números: o raio r (distância ao centro) e o ângulo \theta (a direção medida a partir de algum eixo fixo). Ou seja, um ponto tem coordenadas (r,\theta).
  • Se um observador está em repouso no referencial inercial, chamarei o ângulo medido por ele de \theta_{\mathrm{in}}. Se um observador está na mesa girando com velocidade angular \omega, o ângulo medido por ele será \theta. Como a mesa gira, os dois ângulos ficam relacionados por uma rotação uniforme:
\theta(t)=\theta_{\mathrm{in}}(t)-\omega t.
Isto significa: o ângulo no referencial da mesa é o ângulo no referencial inercial menos o giro da mesa \omega t. (Todas as variáveis são funções do tempo t.)

Passo 3

Descrevendo a trajetória no referencial inercial (base do cálculo).
  • Porque o bloco passa pelo centro e se move retilineamente no referencial inercial, a reta passa pelo centro: isso é exatamente uma trajetória radial em coordenadas polares. Logo o ângulo inercial é constante ao longo do movimento:
\theta_{\mathrm{in}}(t)=\theta_0\quad\text{(constante).}
  • A distância ao centro varia linearmente com o tempo porque a velocidade é constante ao longo da reta. Chamemos r_0 a distância inicial (no instante t=0) e v a velocidade com que o bloco se aproxima do centro (tomando v>0 para o movimento em direção ao centro). Então, enquanto o bloco se aproxima do centro,
r(t)=r_0 - v t.
Esse r(t) continua a variar depois que cruza o centro (vai aumentar novamente), mas começamos pela fase de aproximação.

Passo 4

Passando para o referencial que gira: eliminar o tempo para achar a relação r versus \theta.
  • Do passo anterior temos r(t)=r_0 - v t. Isolando t obtemos
t=\frac{r_0-r}{v}.
  • Também temos a relação entre ângulos (Passo 2) com \theta_{\mathrm{in}}=\theta_0, portanto
\theta(t)=\theta_0-\omega t.
  • Substituindo t obtido na expressão de \theta, ficamos com uma relação entre r e \theta (eliminando t):
\theta=\theta_0-\omega\frac{r_0-r}{v}.
Agora reorganizamos essa equação para escrever r em função de \theta. Multiplicando e isolando r
r=r_0+\frac{v}{\omega}\,(\theta-\theta_0).

Passo 5

Interpretação da relação obtida: é um espiral de Arquimedes.
  • A equação
r=r_0+\frac{v}{\omega}\,(\theta-\theta_0)
é a equação de uma espiral do tipo “Archimedeana” (ou espiral de Arquimedes): r=a+b\theta, com a=r_0-b\theta_0 e b=\dfrac{v}{\omega}. Uma característica dessa espiral é que o raio cresce linearmente com o ângulo. Isso significa que, ao invés de ver uma reta, o observador que gira verá o bloco descrevendo uma curva em espiral que roda ao redor do centro à medida que o bloco se aproxima. O parâmetro b=\dfrac{v}{\omega} é a “inclinação” da espiral: quanto maior v (partícula rápida) ou menor \omega (mesa lenta), mais aberta é a espiral; quanto maior \omega, mais apertada a espiral.
  • No momento em que o bloco alcança o centro, r=0. Nesse instante a representação em coordenadas polares precisa tratar o salto de rótulo do ângulo (o bloco passa por r=0 e sai do outro lado). A expressão acima vale para a fase de aproximação até r=0. Depois que o bloco atravessa o centro e se afasta do outro lado, o mesmo tipo de relação linear entre r e \theta se mantém, mas com um “deslocamento” de \pi na componente angular (o bloco agora está na direção oposta no referencial inercial). Em termos qualitativos: a espiral continua do outro lado, formando uma única curva que atravessa o centro e segue para fora, mudando de ramo no ponto r=0.
  • Observação sobre o sentido: se \omega>0 então, enquanto o bloco avança em linha reta no inercial, o observador na mesa verá o ângulo \theta diminuir linearmente com o tempo (porque \theta=\theta_0-\omega t), isto é, a espiral será desenhada num sentido (por exemplo, horário). Se \omega tiver sinal oposto, o sentido da espiral inverte.

Passo 6

Visão qualitativa, física e intuitiva (para a prova — como explicar rapidamente):
  • Intuitivamente: no solo eu vejo o bloco seguir uma reta. Quem está sobre a mesa gira junto com a mesa, então, enquanto o bloco vai reto, a direção de referência da pessoa giratória está girando sob a trajetória do bloco. Isso transforma a linha reta vista por mim em uma curva que parece “rodar” em torno do centro — exatamente uma espiral.
  • Outra maneira de falar (forças aparentes): no referencial girante aparecem forças aparentes como a força de Coriolis que deflete o movimento. Essa força lateral faz com que o bloco pareça descrever uma curva para o observador girante; a derivação em coordenadas polares que fizemos dá precisamente a curva resultante (a espiral). Porém para resolver a questão não precisamos aplicar explicitamente as fórmulas de Coriolis: basta usar a relação geométrica entre ângulos do referencial inercial e girante e a reta no inercial, como fizemos.
  • Comportamento final: o bloco entra descrevendo um ramo da espiral, passa pelo centro (ponto onde a representação angular tem cuidado especial), e sai descrevendo o ramo oposto da espiral. A distância radial varia linearmente com o ângulo observado na mesa.

Resposta

A trajetória vista por quem está sobre a mesa é uma espiral de Arquimedes, dada (na fase de aproximação ao centro) por
r=r_0+\frac{v}{\omega}\,(\theta-\theta_0),
onde r_0 e \theta_0 são a distância e o ângulo iniciais (em t=0) e v é a velocidade radial do bloco no referencial inercial. Qualitativamente: o bloco parece descrever uma curva em espiral que atravessa o centro e sai pelo lado oposto (a direção do enrolamento depende do sinal de \omega).

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