1.24* Caso você não tenha estudado nada sobre equações diferenciais anteriormente, introduzirei as ideias necessárias à medida das necessidades. Aqui, temos um simples exercício para você iniciar: determine a solução geral da equação diferencial de primeira ordem d f / d t=f para uma função desconhecida f(t). [Há várias formas de se fazer isso. Uma é reescrever a equação como d f / f=d t e então integrar ambos os lados.] Quantas constantes arbitrárias a solução geral contém? [Sua resposta deve ilustrar o importante teorema de que a solução para qualquer equação diferencial de ordem n (para uma classe muita ampla de equações “razoáveis”) contém n constantes arbitrárias.]

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial de primeira ordem \dfrac{d f}{d t}=f para a função desconhecida f(t). Pergunta adicional: quantas constantes arbitrárias a solução geral contém?
Informações dadas:
\dfrac{d f}{d t}=f.
O enunciado sugere uma forma de resolver: reescrever como \dfrac{d f}{f}=d t e integrar ambos os lados.

Passo 2

Ideia básica (separação de variáveis): queremos isolar os termos que dependem de f de um lado e os que dependem de t do outro. Se f(t) fosse zero em todo um intervalo, isso já seria uma solução (veremos isso depois). Supondo que f(t)\neq 0 num intervalo, podemos escrever
\frac{d f}{f}=d t.
Explicação curta do porquê: a notação \dfrac{d f}{d t}=f significa que a taxa de variação de f em relação a t é igual a f. Multiplicando ambos os lados por d t e dividindo por f (quando permitido) obtemos \dfrac{d f}{f}=d t. Esta manipulação é padrão em equações separáveis.

Passo 3

Integração de ambos os lados: agora integramos em relação a t (ou, mais formalmente, em f no lado esquerdo e em t no lado direito). A integral da esquerda é a integral de 1/f em relação a f; a integral da direita é a integral de 1 em relação a t. Escrevendo isso:
\int \frac{d f}{f}=\int d t.
Conhecimento necessário: para \displaystyle\int \frac{d f}{f} usamos que a derivada de \ln|f| é \dfrac{1}{f}. Portanto
\ln|f| = t + C,
onde C é a constante de integração (uma constante arbitrária que surge por integrar).

Passo 4

Resolver para f: agora exponenciamos ambos os lados para “desfazer” o logaritmo. Exponenciando:
|f| = e^{t+C}.
Usamos propriedades de exponenciais para separar a constante:
|f| = e^{C}e^{t}.
Denotando A_0=e^{C}>0 (uma constante positiva), temos |f|=A_0 e^{t}. Para remover o valor absoluto, permitimos que a constante multiplicativa seja qualquer número real (positivo, negativo ou zero): escrevemos A (qualquer constante real) tal que
f(t)=A e^{t}.
Observação importante: a solução identicamente nula f(t)=0 corresponde ao caso A=0. Assim a expressão f(t)=A e^{t} com A\in\mathbb{R} descreve todas as soluções.

Passo 5

Verificação rápida: devemos checar que a família encontrada realmente satisfaz a equação original. Calcule a derivada:
\frac{d}{d t}\big(A e^{t}\big)=A e^{t}.
Como isso é exatamente f(t), temos \dfrac{d f}{d t}=f. Portanto toda função da forma f(t)=A e^{t} é solução, e já vimos que não existem outras (a integração introduziu uma única constante de integração que cobre todas as possibilidades).

Passo 6

Explicação didática do porquê há uma constante arbitrária: ao integrar uma equação diferencial uma vez nós introduzimos uma constante de integração. Como este é um problema de primeira ordem (envolve a primeira derivada \dfrac{d f}{d t}), integramos uma vez e por isso aparece exatamente uma constante arbitrária na solução geral. Intuitivamente, para especificar uma solução única você precisa de uma condição inicial do tipo f(t_0)=f_0 — essa condição determina o valor da constante A.

Passo 7

Comentário sobre o teorema geral (intuição, sem prova formal completa): para uma equação diferencial de ordem n “razoável” (por exemplo, com funções contínuas que garantem existência e unicidade), ao resolver a equação você geralmente precisa integrar n vezes, e cada integração adiciona uma constante de integração. Por isso a solução geral contém n constantes arbitrárias. Outra forma de ver isso: uma equação de ordem n precisa de n condições iniciais (valores de f e de suas primeiras n-1 derivadas em um ponto) para determinar uma solução única, então a família de soluções gerais deve ter n graus de liberdade (constantes).

Resposta

\displaystyle f(t)=A e^{t},\\ \text{com }A\in\mathbb{R}.
\displaystyle 1 constante arbitrária.

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