1.24* Caso você não tenha estudado nada sobre equações diferenciais anteriormente, introduzirei as ideias necessárias à medida das necessidades. Aqui, temos um simples exercício para você iniciar: determine a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
para uma função desconhecida
. [Há várias formas de se fazer isso. Uma é reescrever a equação como
e então integrar ambos os lados.] Quantas constantes arbitrárias a solução geral contém? [Sua resposta deve ilustrar o importante teorema de que a solução para qualquer equação diferencial de ordem
(para uma classe muita ampla de equações “razoáveis”) contém
constantes arbitrárias.]
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
para a função desconhecida
. Pergunta adicional: quantas constantes arbitrárias a solução geral contém?
Informações dadas:
.
O enunciado sugere uma forma de resolver: reescrever como e integrar ambos os lados.
O enunciado sugere uma forma de resolver: reescrever como
Passo 2
Ideia básica (separação de variáveis): queremos isolar os termos que dependem de
de um lado e os que dependem de
do outro. Se
fosse zero em todo um intervalo, isso já seria uma solução (veremos isso depois). Supondo que
num intervalo, podemos escrever
Explicação curta do porquê: a notação
significa que a taxa de variação de
em relação a
é igual a
. Multiplicando ambos os lados por
e dividindo por
(quando permitido) obtemos
. Esta manipulação é padrão em equações separáveis.
Passo 3
Integração de ambos os lados: agora integramos em relação a
(ou, mais formalmente, em
no lado esquerdo e em
no lado direito). A integral da esquerda é a integral de
em relação a
; a integral da direita é a integral de
em relação a
. Escrevendo isso:
Conhecimento necessário: para
usamos que a derivada de
é
. Portanto
onde
é a constante de integração (uma constante arbitrária que surge por integrar).
Passo 4
Resolver para
: agora exponenciamos ambos os lados para “desfazer” o logaritmo. Exponenciando:
Usamos propriedades de exponenciais para separar a constante:
Denotando
(uma constante positiva), temos
. Para remover o valor absoluto, permitimos que a constante multiplicativa seja qualquer número real (positivo, negativo ou zero): escrevemos
(qualquer constante real) tal que
Observação importante: a solução identicamente nula
corresponde ao caso
. Assim a expressão
com
descreve todas as soluções.
Passo 5
Verificação rápida: devemos checar que a família encontrada realmente satisfaz a equação original. Calcule a derivada:
Como isso é exatamente
, temos
. Portanto toda função da forma
é solução, e já vimos que não existem outras (a integração introduziu uma única constante de integração que cobre todas as possibilidades).
Passo 6
Explicação didática do porquê há uma constante arbitrária: ao integrar uma equação diferencial uma vez nós introduzimos uma constante de integração. Como este é um problema de primeira ordem (envolve a primeira derivada
), integramos uma vez e por isso aparece exatamente uma constante arbitrária na solução geral. Intuitivamente, para especificar uma solução única você precisa de uma condição inicial do tipo
— essa condição determina o valor da constante
.
Passo 7
Comentário sobre o teorema geral (intuição, sem prova formal completa): para uma equação diferencial de ordem
“razoável” (por exemplo, com funções contínuas que garantem existência e unicidade), ao resolver a equação você geralmente precisa integrar
vezes, e cada integração adiciona uma constante de integração. Por isso a solução geral contém
constantes arbitrárias. Outra forma de ver isso: uma equação de ordem
precisa de
condições iniciais (valores de
e de suas primeiras
derivadas em um ponto) para determinar uma solução única, então a família de soluções gerais deve ter
graus de liberdade (constantes).