1.26** A marca de um referencial inercial é que qualquer objeto que esteja sujeito a uma força resultante nula irá percorrer uma trajetória retilínea com velocidade constante. Para ilustrar isso, considere o seguinte: estou em pé no plano da origem de um referencial inercial S e chuto um bloco sem atrito na direção norte ao longo do plano. (a) Escreva as coordenadas x e y do bloco como função do tempo de acordo com o referencial inercial. (Use os eixos x e y apontando para leste e norte, respectivamente.) Agora, considere dois observadores, o primeiro em repouso no sistema S^{\prime} que se desloca com velocidade constante v na direção leste com respeito a \delta, o segundo em repouso no sistema \delta^{\prime \prime} que se desloca com aceleração constante na direção leste com respeito a S. (Os três sistemas coincidem no momento em que eu chuto o bloco e \delta^{\prime \prime} está em repouso relativo a \delta naquele exato momento.) (b) Determine as coordenadas x^{\prime}, y^{\prime} do bloco e descreva a trajetória do bloco conforme visto de S^{\prime}. (c) Faça o mesmo para S^{\prime \prime}. Qual dos referenciais é inercial?

Passo 1

O enunciado pede três coisas distintas e dá certas informações iniciais. Vou listar explicitamente cada pergunta e os dados que temos, sem começar a resolver ainda.
Perguntas do enunciado:
  1. (a) Escrever as coordenadas x e y do bloco como função do tempo segundo o referencial S.
  2. (b) Determinar as coordenadas x' e y' do bloco e descrever a trajetória do bloco conforme visto de S', que se desloca com velocidade constante v na direção leste em relação a S.
  3. (c) Fazer o mesmo para S'', que se desloca com aceleração constante a na direção leste em relação a S. Dizer qual dos referenciais é inercial.
Informações e condições dadas:
  • Os eixos x e y apontam para leste e norte, respectivamente.
  • Eu estou em pé na origem do referencial S e, no instante t=0, chuto um bloco na direção norte (isto é, na direção do eixo y).
  • Não há atrito atuando no bloco.
  • No instante t=0 todos os três referenciais S, S' e S'' coincidem (origens coincidentes) e, nesse instante, S'' está instantaneamente em repouso relativo a S.
  • Vou chamar a velocidade inicial do bloco na direção norte de \,v_0 (um número positivo). O referencial S' se move para leste com velocidade constante \,v em relação a S. O referencial S'' tem aceleração constante \,a para leste em relação a S.
  • Tempo t contado desde o instante do chute, com t\ge 0.

Passo 2

Entendendo o que significa “sem atrito” e “força resultante nula” para as coordenadas em S.
Conceito usado (explicado de forma didática): quando a força resultante sobre um objeto é nula, a velocidade do objeto é constante (tanto em módulo quanto em direção). Aqui o bloco recebeu um chute no instante t=0 e depois não há forças horizontais nem verticais (sem atrito, sem empuxos adicionais), então sua velocidade depois do chute permanece constante. Essa velocidade tem apenas componente na direção norte (eixo y), igual a \,v_0. A componente na direção leste-oeste (eixo x) é zero.
Variáveis que vou usar:
  • \,v_0: velocidade inicial do bloco para norte (componente y).
  • \,t: tempo contado desde o chute.

Passo 3

Resolver (a): coordenadas x(t) e y(t) no referencial S.
Cálculo e explicação passo a passo:
  • Como não há componente leste-oeste da velocidade do bloco, a posição na direção x permanece fixa em zero (partiu da origem e não se move em x). Portanto
x(t)=0.
  • Na direção y, o bloco tem velocidade constante \,v_0. A posição y como função do tempo para movimento retilíneo uniforme é a posição inicial (zero) mais velocidade vezes tempo. Assim
y(t)=v_0\,t.
  • Aqui cada símbolo significa: x(t) é a coordenada leste-oeste do bloco no tempo t; y(t) é a coordenada norte do bloco no tempo t; v_0 é a velocidade para norte que recebeu no chute.
Resumo do item (a):
x(t)=0,\qquad y(t)=v_0\,t.

Passo 4

Preparando a transformação para o caso do referencial S' (que tem velocidade constante relativa a S). Vamos escrever a transformação de coordenadas usada e explicar por quê.
Conceito usado (explicado): quando dois referenciais estão em movimento retilíneo uniforme um em relação ao outro (velocidade relativa constante), a transformação entre as coordenadas é a transformação de Galileu simples. Ela diz, com as origens coincidentes em t=0 e eixos paralelos:
t' = t,
x' = x - v\,t,
y' = y,
onde \,v é a velocidade do referencial S' em relação a S ao longo do eixo x. Aqui x',y' são as coordenadas medidas em S'. Explico: a posição que o observador em S' atribui a um ponto é a posição em S menos a posição da origem de S' em S, e a origem de S' em S se desloca como x_{\text{origem }S'}=v\,t.

Passo 5

Aplicar a transformação de Galileu para obter x'(t) e y'(t) e descrever a trajetória vista de S'.
Cálculo:
  • Substituo x(t)=0 e y(t)=v_0 t nas fórmulas:
x'(t)=0 - v\,t = -v\,t,
y'(t)=v_0\,t.
Interpretação da trajetória:
  • Ambas as coordenadas x'(t) e y'(t) dependem linearmente de t, então o movimento em S' é também retilíneo com velocidade constante (componentes constantes). Podemos escrever a relação direta entre y' e x' eliminando t: de x'(t)=-v t segue t = -\dfrac{x'}{v} (para v\neq 0), então
y' = v_0\,t = v_0\left(-\frac{x'}{v}\right) = -\frac{v_0}{v}\,x'.
Isto é uma equação de reta no plano (x',y'): y' = -\dfrac{v_0}{v}\,x'. Portanto o observador em S' também vê o bloco descrevendo uma linha reta com velocidade constante, apenas com componentes diferentes: componente em x' igual a -v (o bloco parece se mover para oeste em S') e componente em y' igual a v_0.
Velocidade e aceleração em S':
  • Velocidade em S' (componentes): v_x' = \dfrac{dx'}{dt} = -v, v_y' = \dfrac{dy'}{dt} = v_0. A velocidade resultante tem módulo
|\vec{v}'|=\sqrt{v^2+v_0^2}.
  • Aceleração em S': como \dfrac{d^2 x'}{dt^2}=0 e \dfrac{d^2 y'}{dt^2}=0, a aceleração é nula. Isso mostra que S' é um referencial onde a lei (objeto sem força resultante segue com velocidade constante) continua válida.

Passo 6

Passando para o referencial S'' que se desloca com aceleração constante \,a para leste em relação a S. Vou construir a transformação de coordenadas entre S e S'' e explicar a razão.
Conceito usado (explicado): quando um referencial S'' tem origem que se desloca em S com posição X_{\text{origem }S''}(t), a coordenada x'' de um ponto é
x'' = x - X_{\text{origem }S''}(t).
O tempo é o mesmo ( t''=t) na mecânica clássica não relativística. Se a origem de S'' parte do repouso em t=0 e tem aceleração constante a para leste, então sua posição no referencial S é (cinemática básica)
X_{\text{origem }S''}(t)=\tfrac{1}{2}\,a\,t^2,
pois posição inicial é zero e velocidade inicial zero (foi dito que em t=0 S'' estava em repouso relativo a S). Não há deslocamento em y para a origem, então y''=y.

Passo 7

Aplicar a transformação para obter x''(t) e y''(t).
Substituindo x(t)=0 e y(t)=v_0 t e X_{\text{origem }S''}(t)=\tfrac{1}{2}a t^2, temos:
x''(t)=0-\tfrac{1}{2}a\,t^2 = -\tfrac{1}{2}a\,t^2,
y''(t)=v_0\,t.
Interpretação imediata:
  • A coordenada x''(t) é negativa para t>0 (se a>0), o que significa que, para o observador em S'', o bloco se encontra cada vez mais para o lado oeste do seu referencial (o quadro acelerou para leste e o bloco ficou para trás).
  • A coordenada y''(t) é a mesma função linear em t que tínhamos antes.

Passo 8

Obter a trajetória geométrica do bloco em S'' eliminando o tempo e interpretar a curvatura.
Eliminação do tempo:
  • De x''(t) = -\tfrac{1}{2}a t^2 segue t^2 = -\dfrac{2x''}{a} (isto é consistente porque x''\le 0 para t\ge0 quando a>0).
  • Daí, usando y''(t)=v_0 t, obtemos
y''^2 = v_0^2 t^2 = v_0^2\left(-\frac{2x''}{a}\right) = -\frac{2v_0^2}{a}\,x''.
Rearranjando,
x'' = -\frac{a}{2v_0^2}\,y''^2.
Isto é a equação de uma parábola no plano (x'',y''): a coordenada x'' é proporcional a -y''^2, ou seja, a parábola abre para a esquerda (direção negativa de x'').
Conclusão física:
  • Para S'' o bloco não se move em linha reta: sua trajetória é curvada (parabólica) e o observador de S'' mede uma aceleração do bloco. De fato, derivando duas vezes x''(t) obtemos
\frac{d^2 x''}{dt^2} = -a,\qquad \frac{d^2 y''}{dt^2}=0.
Logo, o bloco apresenta uma aceleração constante -a na direção x'' vista por S''. Essa aceleração aparente é justamente a aceleração do referencial, com sinal contrário.
Interpretação com força fictícia (explicação didática):
  • Em um referencial acelerado (não-inercial) aparece uma força fictícia (ou inercial) que age sobre os corpos como se fosse real e igual a m(-a) na direção oposta à aceleração do referencial. Essa força fictícia faz com que, no referencial S'', o bloco pareça ter aceleração horizontal -a mesmo na ausência de forças reais nessa direção.

Passo 9

Responder qual dos referenciais é inercial e justificar brevemente.
  • S: é inercial por hipótese do enunciado (é o referencial em que enunciam a lei: se força resultante nula, movimento retilíneo uniforme). Além disso, no cálculo vimos que no referencial S o bloco tem aceleração zero como esperado.
  • S': move-se com velocidade constante em relação a S. Transformações de Galileu mostram que acelerações são invariantes sob mudança para um referencial em movimento retilíneo uniforme; portanto um objeto com aceleração nula em S também tem aceleração nula em S'. Logo S' é também um referencial inercial.
  • S'': tem aceleração não nula em relação a S, e observamos que em S'' o bloco apresenta aceleração -a. Assim S'' é um referencial não-inercial.

Resposta

(a) x(t)=0, y(t)=v_0\,t
(b) x'(t)=-v\,t, y'(t)=v_0\,t. Trajetória em S': reta dada por y'=-\dfrac{v_0}{v}\,x'. Aceleração em S' é nula (referencial inercial).
(c) x''(t)=-\tfrac{1}{2}a\,t^2, y''(t)=v_0\,t. Trajetória em S'': parábola dada por y''^2=-\dfrac{2v_0^2}{a}\,x''. S'' é não-inercial.

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