2.27 Mostre que a série de Fourier para uma onda quadrada periódica é
onde
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra mostrar que a onda quadrada
se escreve como série de Fourier
Isso é conteúdo de “séries de Fourier” para funções periódicas de período
.
O que a gente vai precisar:
O que a gente vai precisar:
- A definição geral da série de Fourier (coeficientes
e ). - As fórmulas de integração para calcular esses coeficientes.
- Conhecer um pouco de ortogonalidade de seno e cosseno.
Passo 2
Primeiro, a gente escreve a forma geral da série para período
:
onde
Agora a gente vai calcular
, depois
e
.
Passo 3
Cálculo de
:
Como a onda passa igual tempo em +1 e em –1, a área líquida é zero:
Passo 4
Cálculo de
(coeficiente dos cossenos):
Mas
é função ímpar em relação ao ponto médio do período (metade do tempo é +1, metade é –1), e
é par, então a área positiva cancela a negativa.
Isso dá para todo
.
Isso dá
Passo 5
Cálculo de
(coeficiente dos senos):
Como
, escrevemos o integral em duas partes:
- Para
até :
- Para
até :
Então o integral total é
Logo
Repare que se
é par,
e
. Se
é ímpar,
e
, então
Passo 6
Juntando tudo: só sobram os termos de seno de ordem ímpar. A série fica
que é exatamente