2.27 Mostre que a série de Fourier para uma onda quadrada periódica é
f(t)=4pi(sen(omega t)+13 sen(3 omega t)+15 sen(5 omega t)+ldots)
onde
& f(t)=+1 para 0

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra mostrar que a onda quadrada
f(t)= +1,&0
se escreve como série de Fourier
Isso é conteúdo de “séries de Fourier” para funções periódicas de período f(t)=4pil(sen(omega t)+tfrac13sen(3omega t)+tfrac15sen(5omega t)+cdotsr) .
O que a gente vai precisar:
  • A definição geral da série de Fourier (coeficientes e ).
  • As fórmulas de integração para calcular esses coeficientes.
  • Conhecer um pouco de ortogonalidade de seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, a gente escreve a forma geral da série para período f(t)=a02+sumn=1^inftyl[ancos(nomega t)+bnsen(nomega t)r], :
onde
Agora a gente vai calcular an=2Tintegral0^Tf(t)cos(nomega t),dt, bn=2Tintegral0^Tf(t)sen(nomega t),dt , depois e .

Passo 3

Cálculo de a0=2Tintegral0^T f(t),dt :
integral0^T f(t),dt=0 Longrightarrow a0=0
Como a onda passa igual tempo em +1 e em –1, a área líquida é zero:

Passo 4

Cálculo de an=2Tintegral0^T f(t)cos(nomega t),dt (coeficiente dos cossenos):
Mas é função ímpar em relação ao ponto médio do período (metade do tempo é +1, metade é –1), e é par, então a área positiva cancela a negativa.
Isso dá para todo .

Passo 5

Cálculo de bn=2Tintegral0^T f(t),sen(nomega t),dt (coeficiente dos senos):
Como integral0^T f(t)sen(nomega t),dt =integral0^pi/omega(+1)sen(nomega t),dt +integralpi/omega^2pi/omega(-1)sen(nomega t),dt , escrevemos o integral em duas partes:
  1. Para I1=integral0^pi/omegasen(nomega t),dt =l[-tfrac1nomegacos(nomega t)r]0^pi/omega =-tfrac1nomegal[cos(npi)-cos0r] =tfrac1nomegal(1-(-1)^nr) até I2=integralpi/omega^2pi/omegasen(nomega t),dt =l[-tfrac1nomegacos(nomega t)r]pi/omega^2pi/omega =-tfrac1nomegal[cos(2npi)-cos(npi)r] =-tfrac1nomegal(1-(-1)^nr) :
  1. Para I1 - I2 =tfrac1nomega(1-(-1)^n);-;l[-tfrac1nomega(1-(-1)^n)r] =tfrac2nomegal(1-(-1)^nr) até bn=2T,I =22pi/omegacdot2nomega(1-(-1)^n) =2omega2picdot2nomega(1-(-1)^n) =2pi nl(1-(-1)^nr) :
Então o integral total é
bn=4pi n, n=1,3,5,dots
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Repare que se é par, e . Se é ímpar, e , então

Passo 6

Juntando tudo: só sobram os termos de seno de ordem ímpar. A série fica
que é exatamente

Resposta

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