P2.27 Uma partícula de massa m move-se num poço de potencial dado por
V(x)=-Vo a^2(a^2+x^2)8 a^4+x^4
a. Esquematize V(x) e F(x).
b. Discuta os movimentos que podem ocorrer. Localize todos os pontos de equilibrio e determine a frequência para pequenas oscilações em torno de qualquer um dos pontos de equilibrio estável.
c. Uma partícula inicia o seu movimento a uma grande distância do poço de potencial com velocidade v0, em direção ao poço. Quando passa pelo ponto x=a, sofre uma colisão com outro partícula, durante a qual ela perde uma fração alpha de sua energia cinética. Qual deve ser o valor de alpha para que a partícula seja aprisionada num dos lados do poço de potencial? Determine os pontos de retorno do novo movimento se alpha=1.

Passo 1

O enunciado pede para a gente estudar uma partícula de massa V(x)= -,V0,a^2,(a^2+x^2)8,a^4+x^4 que se move num potencial
Temos três itens:
a) desenhar e a força ,
b) achar e classificar os pontos de equilíbrio e calcular a frequência das pequenas oscilações em torno de qualquer ponto de equilíbrio estável,
c) imaginar que a partícula chega de longe com velocidade , perde uma fração da energia cinética e ver para que ela fica presa num dos poços. Depois, para , achar os pontos de retorno.
Para isso a gente vai precisar de:
  • derivar o potencial para achar e os equilíbrios,
  • expandir em série ou usar derivadas segundas para ver estabilidade e achar ,
  • usar conservação de energia para o item ©.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a força:
F(x) ;=;-,dVdx ;=;-2,V0,a^2,x,(x^4+2a^2x^2-8a^4)l(8a^4+x^4r)^2
Geometricamente:
  • V(0)=-V0a^2,l(a^2+0r)8a^4+0=-V08, é simétrica ( ), tem um máximo em dado por e dois poços (mínimos) simétricos em .
  • é ímpar ( ), muda de sinal nos equilíbrios e aponta sempre “puxando” para os mínimos de .
Se você fizesse o esboço, veria um “vale” em cada lado de , com topo de montanha em .

Passo 3

Equilíbrio ocorre quando x,(x^4+2a^2x^2-8a^4)=0 ;Longrightarrow; x=0 ou x^4+2a^2x^2-8a^4=0 , ou seja o numerador de x=0, x=pmraiz2,a zera:
omega =raizV''(pmraiz2a)m =raizV03,m,a^2,
Se a gente põe , fica , com solução positiva . Logo
Para ver estabilidade, usamos :
  • Em , → equilíbrio instável (topo de montanha).
  • Em , → equilíbrios estáveis (fundo de poço).
A frequência de pequenas oscilações em é

Passo 4

Antes de bater, o total de energia (vindo de longe onde E0=tfrac12,m,v0^2 ) é
V(a)=-V0,a^2,(a^2+a^2)8a^4+a^4 =-2,V09
Quando a partícula chega em Krm após=(1-alpha),tfrac12,m,v0^2, E1=Krm após+V(a) =(1-alpha)tfrac12m v0^2-2V09 , a energia potencial é
(1-alpha)tfrac12m v0^2-2V09< -V08 Longrightarrow alpha>;1;-;7,V036,m,v0^2
Na colisão ela perde fração da energia cinética , então sobra
óó
Para ficar presa num dos poços, tem que ser menor que a altura do “muro” em , ou seja menor que . Então

Passo 5

Se E1=V(a)=-2V09 , toda a cinética some em -V0a^2(a^2+x^2)8a^4+x^4 =-2V09 ;Longrightarrow; 2x^4-9a^2x^2+7a^4=0 , ficando
u=a^2 ou u=tfrac72,a^2,
Os pontos de retorno satisfazem x=pm a e x=pm araiztfrac72 , i.e.
Chamando , isso vira com raízes
logo

Resposta

a) omega=raizV03,m,a^2 tem um máximo em alpha>1-7V036,m,v0^2 ( x=pm a e x=pm araiztfrac72 ) e mínimos em ( ). A força é ímpar e aponta para os poços.
b) Pontos de equilíbrio: (instável), (estáveis). Frequência de pequenas oscilações em :
c) Para aprisionar a partícula depois da colisão em :
Se , os pontos de retorno são

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