P2.27 Uma partícula de massa
move-se num poço de potencial dado por
a. Esquematize
e
.
b. Discuta os movimentos que podem ocorrer. Localize todos os pontos de equilibrio e determine a frequência para pequenas oscilações em torno de qualquer um dos pontos de equilibrio estável.
c. Uma partícula inicia o seu movimento a uma grande distância do poço de potencial com velocidade
, em direção ao poço. Quando passa pelo ponto
, sofre uma colisão com outro partícula, durante a qual ela perde uma fração
de sua energia cinética. Qual deve ser o valor de
para que a partícula seja aprisionada num dos lados do poço de potencial? Determine os pontos de retorno do novo movimento se
.
b. Discuta os movimentos que podem ocorrer. Localize todos os pontos de equilibrio e determine a frequência para pequenas oscilações em torno de qualquer um dos pontos de equilibrio estável.
c. Uma partícula inicia o seu movimento a uma grande distância do poço de potencial com velocidade
Passo 1
O enunciado pede para a gente estudar uma partícula de massa
que se move num potencial
Temos três itens:
a) desenhar e a força
,
b) achar e classificar os pontos de equilíbrio e calcular a frequência das pequenas oscilações em torno de qualquer ponto de equilíbrio estável,
c) imaginar que a partícula chega de longe com velocidade , perde uma fração da energia cinética e ver para que
ela fica presa num dos poços. Depois, para
, achar os pontos de retorno.
a) desenhar
b) achar e classificar os pontos de equilíbrio e calcular a frequência das pequenas oscilações em torno de qualquer ponto de equilíbrio estável,
c) imaginar que a partícula chega de longe com velocidade , perde uma fração
Para isso a gente vai precisar de:
- derivar o potencial para achar
e os equilíbrios, - expandir em série ou usar derivadas segundas para ver estabilidade e achar
, - usar conservação de energia para o item ©.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a força:
Geometricamente:
-
é simétrica ( ), tem um máximo em dado por e dois poços (mínimos) simétricos em . -
é ímpar ( ), muda de sinal nos equilíbrios e aponta sempre “puxando” para os mínimos de .
Se você fizesse o esboço, veria um “vale” em cada lado de
, com topo de montanha em
.
Passo 3
Equilíbrio ocorre quando
, ou seja o numerador de
zera:
Se a gente põe
, fica
, com solução positiva
. Logo
Para ver estabilidade, usamos
:
- Em
, → equilíbrio instável (topo de montanha). - Em
, → equilíbrios estáveis (fundo de poço).
A frequência de pequenas oscilações em
é
Passo 4
Antes de bater, o total de energia (vindo de longe onde
) é
Quando a partícula chega em
, a energia potencial é
Na colisão ela perde fração
da energia cinética
, então sobra
Para ficar presa num dos poços,
tem que ser menor que a altura do “muro” em
, ou seja menor que
. Então
Passo 5
Se
, toda a cinética some em
, ficando
Os pontos de retorno satisfazem
, i.e.
Chamando
, isso vira
com raízes
logo
Resposta
a)
tem um máximo em
(
) e mínimos em
(
). A força
é ímpar e aponta para os poços.
b) Pontos de equilíbrio: (instável),
(estáveis). Frequência de pequenas oscilações em
:
b) Pontos de equilíbrio:
c) Para aprisionar a partícula depois da colisão em
:
Se
, os pontos de retorno são