P2.25 A energia potencial para a força existente entre dois átomos, numa molécula diatômica, tem a seguinte forma aproximada,
onde
é a distância entre os átomos e
e
são constantes positivas.
a. Determine a força.
b. Supondo-se que um dos átomos seja muito pesado e permaneça em repouso enquanto o outro se move ao longo de uma linha reta, descreva os movimentos possíveis.
c. Determine a distância de equilibrio e o periodo para pequenas oscilações, em torno da posição de equilibrio, se a masssa do átomo mais leve for
.
a. Determine a força.
b. Supondo-se que um dos átomos seja muito pesado e permaneça em repouso enquanto o outro se move ao longo de uma linha reta, descreva os movimentos possíveis.
c. Determine a distância de equilibrio e o periodo para pequenas oscilações, em torno da posição de equilibrio, se a masssa do átomo mais leve for
Passo 1
Beleza, vamos ter um potencial entre dois átomos dado por
onde
é a distância entre eles e
.
Conteúdo: mecânica clássica – de potencial a força, análise de movimentos e pequena oscilação.
O que vamos usar:
Conteúdo: mecânica clássica – de potencial a força, análise de movimentos e pequena oscilação.
O que vamos usar:
- A relação força-potential
. - Energia para ver se fica preso ou escapa.
- Expandir
em torno do equilíbrio e usar o modelo de oscilador harmônico para achar o período.
Passo 2
(a) Determinar a força.
Teoria rápida: a força é o negativo da derivada do potencial, ou seja
Teoria rápida: a força é o negativo da derivada do potencial, ou seja
Vamos derivar
Então
Passo 3
(b) Que tipo de movimento rola?
Teoria: o formato de diverge para
em
e tende a zero (por baixo) em
. Tem um mínimo, logo:
Teoria: o formato de
- Se a energia total
, o átomo fica preso oscilando ao redor do mínimo (movimento ligado). - Se
, ele “escapa” indo para (movimento de espalhamento). - Se
, é o caso limite (separatriz).
Passo 4
(c1) Distância de equilíbrio
.
No equilíbrio a força é zero:
No equilíbrio a força é zero:
Passo 5
(c2) Período para pequenas oscilações.
Teoria: em torno de a gente faz expansão em Taylor até segunda ordem
Teoria: em torno de
e aí é um oscilador harmônico com constante efetiva
. Logo
Vamos achar
:
Em
, usando
, dá
Então
Como
, fica
Resposta
a)
b) Se : movimento ligado (oscilatório);
: espalhamento (atomos se afastam);
: caso crítico.
c)
.
b) Se
c)