P2.25 A energia potencial para a força existente entre dois átomos, numa molécula diatômica, tem a seguinte forma aproximada,
V(x)=-ax^6+bx^12
onde x é a distância entre os átomos e a e b são constantes positivas.
a. Determine a força.
b. Supondo-se que um dos átomos seja muito pesado e permaneça em repouso enquanto o outro se move ao longo de uma linha reta, descreva os movimentos possíveis.
c. Determine a distância de equilibrio e o periodo para pequenas oscilações, em torno da posição de equilibrio, se a masssa do átomo mais leve for m.

Passo 1

Beleza, vamos ter um potencial entre dois átomos dado por
V(x) = -ax^6 + bx^12,,
onde é a distância entre eles e .
Conteúdo: mecânica clássica – de potencial a força, análise de movimentos e pequena oscilação.
O que vamos usar:
  1. A relação força-potential .
  2. Energia para ver se fica preso ou escapa.
  3. Expandir em torno do equilíbrio e usar o modelo de oscilador harmônico para achar o período.

Passo 2

(a) Determinar a força.
Teoria rápida: a força é o negativo da derivada do potencial, ou seja
F(x) = -dVdx,
Vamos derivar
V(x)=-a,x^-6+b,x^-12 Longrightarrow dVdx= -6(-a),x^-7 ;+;-12b,x^-13 =6a,x^-7-12b,x^-13
Então
F(x)=-l(6a,x^-7-12b,x^-13r) =-6,ax^7+12,bx^13

Passo 3

(b) Que tipo de movimento rola?
Teoria: o formato de diverge para em e tende a zero (por baixo) em . Tem um mínimo, logo:
  • Se a energia total , o átomo fica preso oscilando ao redor do mínimo (movimento ligado).
  • Se , ele “escapa” indo para (movimento de espalhamento).
  • Se , é o caso limite (separatriz).

Passo 4

(c1) Distância de equilíbrio F(x0)=0 ;Longrightarrow; -6,ax0^7+12,bx0^13=0 ;Longrightarrow; 12,bx0^13=6,ax0^7 ;Longrightarrow; 2b = a,x0^6 ;Longrightarrow; x0 = l(2bar)^1/6 .
No equilíbrio a força é zero:

Passo 5

(c2) Período para pequenas oscilações.
Teoria: em torno de V(x)approx V(x0)+12,V''(x0),(x-x0)^2, a gente faz expansão em Taylor até segunda ordem
omega = raizkm e T = 2piomega=2piraizmV''(x0)
e aí é um oscilador harmônico com constante efetiva V'(x)=6a,x^-7-12b,x^-13, V''(x)=-42a,x^-8+156b,x^-14 . Logo
V''(x0) =-42,ax0^8+156,bx0^14 =-42a+78ax0^8 =36ax0^8
Vamos achar T=2piraizm36a/x0^8 =2pix0^46raizma =pi3,x0^4raizma :
T=pi3,(2b/a)^2/3raizma =pi,2^2/33, l(bar)^2/3raizma
Em , usando , dá
Então
Como , fica

Resposta

a)
b) Se : movimento ligado (oscilatório);
: espalhamento (atomos se afastam);
: caso crítico.
c)

.

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