P2.24 Uma partícula de massa m está sujeita à ação de uma força dada por
F=B(a^2x^2-28 a^5x^5+27 a^8x^8)
A partícula desloca-se somente ao longo do eixo dos x positivos.
a. Determine e esboce a energia potencial. ( B e a são positivos)
b. Descreva os tipos de movimento que podem ocorrer. Localize todas as porções de equilíbrio e determine a frequência para pequenas oscilações, em torno de qualquer um dos pontos de equilíbrio estável.
c. Uma partícula inicia seu movimento em x=3 a / 2 com velocidade v=-v0, onde v0 é positivo. Qual o menor valor de v0 para qual a partícula eventualmente pode escapar para uma distância muito grande? Descreva o movimento neste caso. Qual é a velocidade máxima que a partícula terá? Qual a sua velocidade em um ponto muito afastado do ponto de partida?

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem uma partícula de massa F(x)=Bl(a^2x^2-28,a^5x^5+27,a^8x^8r), que se move só em sob a força
onde e são positivos.
Conteúdo: energia potencial, equilíbrio, oscilações pequenas e conservação de energia.
O que precisamos:
  • Saber que para achar .
  • Encontrar pontos de equilíbrio resolvendo e checar estabilidade via .
  • Usar para pequenas oscilações.
  • Empregar conservação de energia para achar velocidade mínima de escape.

Passo 2

Parte (a): achar e esboçar U(x)=-integral F(x),dx =-B!integral!l(a^2x^2-28a^5x^5+27a^8x^8r)dx .
Como integral a^2x^2dx=-a^2x, integral -28a^5x^5dx=+7a^5x^4, integral 27a^8x^8dx=-277a^8x^7 , vem
U(x) =,Bl(a^2x-7a^5x^4+277a^8x^7r)
Integramos termo a termo (e escolhemos como constante):
Logo
Esboço qualitativo:
  • Para , .
  • Para , .
  • Há um mínimo e um máximo internos que a gente vai achar no próximo passo.

Passo 3

Parte (b): tipos de movimento e pontos de equilíbrio.
Equilíbrio acontece quando a^2x^2-28a^5x^5+27a^8x^8=0 ;Longrightarrow; x^6-28a^3x^3+27a^6=0 , ou
y1=27a^3 (Rightarrow x1=3a), y2=a^3 (Rightarrow x2=a)
Definindo U''(x)=-F'(x) =Bl(2a^2x^3-140a^5x^6+216a^8x^9r) , dá omega0=raizU''(a)m =raiz78Ba,m, T=2piomega0 , cujas raízes são
Então e .
Para ver se é estável, calculamos
  • Em : ⇒ ponto estável (mínimo).
  • Em : ⇒ ponto instável (máximo).
Movimentos possíveis:
  • Se , a partícula fica presa numa região ao redor de (oscilação ou rotação limitada).
  • Se , ela chega assintoticamente ao topo .
  • Se , ela supera a barreira e escapa para .
Frequência de oscilações pequenas em :

Passo 4

Parte ©: velocidade mínima de escape saindo de E0=tfrac12m v0^2+Ul(3a/2r) com tfrac12m v0^2>= U(3a)-Ul(3a/2r) =419567Ba .
Energia inicial
v0^min =raiz2m,419567Ba =raiz838567,Bam
Para escapar precisa vmax =raiz2ml[U(3a)-U(a)r] =raiz904189,Bam . Logo
v(infty) =raiz2,U(3a)m =raiz94189,Bam
Assim
Movimento crítico ( ): ela vai de para e leva tempo infinito pra chegar lá.
Velocidade máxima ocorre no mínimo , usando :
Em , e , então

Resposta

Temos então:
a)
, vai de em a 0 em , com um mínimo em e um máximo em .
b) Pontos de equilíbrio: (estável), (instável). Oscilações pequenas em :
.
c) Velocidade de escape mínima:
.
Caso crítico, ela chega assintoticamente a .
Velocidade máxima em :
.
Velocidade final em :
.

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