P2.24 Uma partícula de massa
está sujeita à ação de uma força dada por
A partícula desloca-se somente ao longo do eixo dos
positivos.
a. Determine e esboce a energia potencial. (
e
são positivos)
b. Descreva os tipos de movimento que podem ocorrer. Localize todas as porções de equilíbrio e determine a frequência para pequenas oscilações, em torno de qualquer um dos pontos de equilíbrio estável.
c. Uma partícula inicia seu movimento em
com velocidade
, onde
é positivo. Qual o menor valor de
para qual a partícula eventualmente pode escapar para uma distância muito grande? Descreva o movimento neste caso. Qual é a velocidade máxima que a partícula terá? Qual a sua velocidade em um ponto muito afastado do ponto de partida?
a. Determine e esboce a energia potencial. (
b. Descreva os tipos de movimento que podem ocorrer. Localize todas as porções de equilíbrio e determine a frequência para pequenas oscilações, em torno de qualquer um dos pontos de equilíbrio estável.
c. Uma partícula inicia seu movimento em
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem uma partícula de massa
que se move só em
sob a força
onde
e
são positivos.
Conteúdo: energia potencial, equilíbrio, oscilações pequenas e conservação de energia.
O que precisamos:
Conteúdo: energia potencial, equilíbrio, oscilações pequenas e conservação de energia.
O que precisamos:
- Saber que
para achar . - Encontrar pontos de equilíbrio resolvendo
e checar estabilidade via . - Usar
para pequenas oscilações. - Empregar conservação de energia
para achar velocidade mínima de escape.
Passo 2
Parte (a): achar e esboçar
.
Como , vem
Como
Integramos termo a termo (e escolhemos
como constante):
Logo
Esboço qualitativo:
- Para
, . - Para
, . - Há um mínimo e um máximo internos que a gente vai achar no próximo passo.
Passo 3
Parte (b): tipos de movimento e pontos de equilíbrio.
Equilíbrio acontece quando , ou
Equilíbrio acontece quando
Definindo
, dá
, cujas raízes são
Então
e
.
Para ver se é estável, calculamos
Para ver se é estável, calculamos
- Em
: ⇒ ponto estável (mínimo). - Em
: ⇒ ponto instável (máximo).
Movimentos possíveis:
- Se
, a partícula fica presa numa região ao redor de (oscilação ou rotação limitada). - Se
, ela chega assintoticamente ao topo . - Se
, ela supera a barreira e escapa para .
Frequência de oscilações pequenas em
:
Passo 4
Parte ©: velocidade mínima de escape saindo de
com
.
Energia inicial
Energia inicial
Para escapar precisa
. Logo
Assim
Movimento crítico (
): ela vai de
para
e leva tempo infinito pra chegar lá.
Velocidade máxima ocorre no mínimo
, usando
:
Em
,
e
, então
Resposta
Temos então:
a)
, vai de
em
a 0 em
, com um mínimo em
e um máximo em
.
a)
b) Pontos de equilíbrio:
(estável),
(instável). Oscilações pequenas em
:
.
c) Velocidade de escape mínima:
.
Caso crítico, ela chega assintoticamente a .
Velocidade máxima em :
.
Velocidade final em :
.
Caso crítico, ela chega assintoticamente a
Velocidade máxima em
Velocidade final em