P2.31 Um projétil é disparado verticalmente para cima com velocidade
. Determine seu movimento, admitindo a existência de um atrito de arrastamento proporcional ao quadrado da velocidade. Considere
constante.
- Determine a velocidade de escape de um projétil lançado verticalmente desconsiderando a resistência do ar. (problema adicional)
Passo 1
Beleza, o enunciado extra pede pra gente achar a “velocidade de escape” de um projétil lançado verticalmente, desconsiderando resistência do ar e assumindo gravidade constante
. Isso é um problema de cinemática básica com aceleração constante. Vamos usar as equações do movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV):
-
(a aceleração é constante e aponta pra baixo) -
e via integrações
Passo 2
Escrevendo a equação da velocidade em função do tempo:
Integramos em
(com condição inicial
):
Passo 3
Agora a posição
, tomando
:
Passo 4
O projétil sobe até a velocidade ficar nula (
). Isso ocorre em
Substituindo em
para achar a altura máxima
:
Passo 5
Para “escapar” o projétil teria de alcançar
. Pela fórmula acima, isso exige
Ou seja, com
constante em qualquer altitude, não há velocidade inicial finita que leve a uma altura infinita.
Resposta
Não existe uma velocidade de escape finita se
for constante para sempre. Matemáticamente, seria
.