P2.31 Um projétil é disparado verticalmente para cima com velocidade v0. Determine seu movimento, admitindo a existência de um atrito de arrastamento proporcional ao quadrado da velocidade. Considere g constante.
  1. Determine a velocidade de escape de um projétil lançado verticalmente desconsiderando a resistência do ar. (problema adicional)

Passo 1

Beleza, o enunciado extra pede pra gente achar a “velocidade de escape” de um projétil lançado verticalmente, desconsiderando resistência do ar e assumindo gravidade constante . Isso é um problema de cinemática básica com aceleração constante. Vamos usar as equações do movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV):
  • (a aceleração é constante e aponta pra baixo)
  • e via integrações

Passo 2

Escrevendo a equação da velocidade em função do tempo:
dvdt = -g
Integramos em v(t) = v0 - g,t (com condição inicial ):

Passo 3

Agora a posição dzdt = v(t) = v0 - g,t Longrightarrow z(t) = integral0^t (v0 - g,t'),dt' = v0,t - 12g,t^2 , tomando :

Passo 4

O projétil sobe até a velocidade ficar nula ( 0 = v0 - g,tmax Longrightarrow tmax = v0g ). Isso ocorre em
zmax = v0!(v0g) - 12g!(v0g)^!2 = v0^22g
Substituindo em para achar a altura máxima :

Passo 5

Para “escapar” o projétil teria de alcançar v0^22g to infty Longrightarrow v0 to infty . Pela fórmula acima, isso exige
Ou seja, com constante em qualquer altitude, não há velocidade inicial finita que leve a uma altura infinita.

Resposta

Não existe uma velocidade de escape finita se for constante para sempre. Matemáticamente, seria .

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