4.27** Suponha que a força \mathbf{F}(\mathbf{r}, t) dependa do tempo t, mas ainda satisfaça \mathbf{\nabla} \times \mathbf{F}=0. É um fato matemático (relativo ao teorema de Stokes, como discutido no Problema 4.25) que a integral do trabalho \int_{1}^{2} \mathbf{F}(\mathbf{r}, t) \cdot d \mathbf{r} (calculada em qualquer instante t ) é independente do caminho considerado entre os pontos 1 e 2 . Use isso para mostrar que a EP dependente do tempo definida em (4.48), para um tempo t fixo qualquer, possui a propriedade conhecida \mathbf{F}(\mathbf{r}, t)= -\nabla U(\mathbf{r}, t). Você consegue observar o que está errado com o argumento de leva à Equação (4.19), isto é, a conservação da energia?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo claramente):
  • A força \mathbf{F}(\mathbf{r},t) depende do tempo t, mas para cada instante fixo t satisfaz \mathbf{\nabla}\times\mathbf{F}=0.
  • É um fato que, para um t fixo, a integral do trabalho entre dois pontos 1 e 2,
\int_{1}^{2}\mathbf{F}(\mathbf{r},t)\cdot d\mathbf{r},
é independente do caminho escolhido entre 1 e 2.
  • A energia potencial dependente do tempo é definida (como em (4.48)) por integrar a força com t fixo; isto é, para um ponto de referência \mathbf{r}_0 fixo e para cada t define-se
U(\mathbf{r},t) = -\int_{\mathbf{r}_0}^{\mathbf{r}} \mathbf{F}(\mathbf{r}',t)\cdot d\mathbf{r}',
com a integral sendo tomada mantendo t fixo.
  • O que se pede:
    1. Mostrar que, para cada t fixo, vale \mathbf{F}(\mathbf{r},t) = -\nabla U(\mathbf{r},t).
    2. Explicar onde está o erro do argumento que conduz à conservação da energia (Equação (4.19)) quando a potencial depende de t.

Passo 2

Entendendo bem a definição de U(\mathbf{r},t) e porque ela está bem definida:
  • Como foi dito, para cada t fixo a integral de linha \int_{\mathbf{r}_0}^{\mathbf{r}} \mathbf{F}(\mathbf{r}',t)\cdot d\mathbf{r}' é independente do caminho (isto decorre de \mathbf{\nabla}\times\mathbf{F}=0 e do teorema de Stokes). Portanto U(\mathbf{r},t) é bem definida: não importa qual curva se escolha de \mathbf{r}_0 até \mathbf{r}, o valor será o mesmo.
  • A interpretação prática: para cada instante t existe uma “paisagem” espacial de energia potencial U(\cdot,t). Essa paisagem pode mudar com o tempo, mas em um dado instante ela é uma função espacial bem definida.

Passo 3

Provar que \mathbf{F}(\mathbf{r},t) = -\nabla U(\mathbf{r},t) (passo a passo, bem didático).
  • Tome uma posição \mathbf{r} e faça um deslocamento infinitesimal \delta\mathbf{r}. Calcule a diferença
U(\mathbf{r}+\delta\mathbf{r},t)-U(\mathbf{r},t).
  • Usando a definição por integral de linha (mantendo t fixo) pode-se construir uma curva do ponto \mathbf{r}_0 até \mathbf{r}+\delta\mathbf{r} que passa por \mathbf{r}. Pela independência do caminho, a contribuição extra ao integrar até \mathbf{r}+\delta\mathbf{r} vem apenas do pequeno trecho de \mathbf{r} até \mathbf{r}+\delta\mathbf{r}. Assim, para \delta\mathbf{r} pequeno,
U(\mathbf{r}+\delta\mathbf{r},t)-U(\mathbf{r},t) = -\int_{\mathbf{r}}^{\mathbf{r}+\delta\mathbf{r}} \mathbf{F}(\mathbf{r}',t)\cdot d\mathbf{r}'.
  • Se escolhermos o trajeto reto \mathbf{r}+\lambda\delta\mathbf{r} com \lambda\in[0,1], para pequeno \delta\mathbf{r} podemos aproximar \mathbf{F}(\mathbf{r}',t)\approx\mathbf{F}(\mathbf{r},t) ao longo do trecho. Então
U(\mathbf{r}+\delta\mathbf{r},t)-U(\mathbf{r},t)\approx -\mathbf{F}(\mathbf{r},t)\cdot\delta\mathbf{r}.
  • Pela definição de derivada direcional, isto mostra que o diferencial de U é
dU = \nabla U(\mathbf{r},t)\cdot \delta\mathbf{r} \approx -\mathbf{F}(\mathbf{r},t)\cdot\delta\mathbf{r}.
  • Como essa identidade vale para todo \delta\mathbf{r}, concluímos
\nabla U(\mathbf{r},t) = -\mathbf{F}(\mathbf{r},t).
  • Observação importante (didática): aqui \nabla U é o gradiente espacial de U tomado com t mantido fixo. A derivação usou mudanças espaciais infinitesimais, não mudanças no tempo.

Passo 4

Explicando por que isso não implica conservação da energia. Primeiro escrevemos o que seria o argumento (errado) que leva à conservação:
  • Começa-se com a segunda lei de Newton
m\frac{d\mathbf{v}}{dt} = \mathbf{F}(\mathbf{r}(t),t).
  • Faz-se o produto escalar com \mathbf{v} e usa-se \mathbf{F}=-\nabla U (obtido no passo anterior) para escrever
m\frac{d\mathbf{v}}{dt}\cdot\mathbf{v} = -\nabla U\cdot\mathbf{v}.
  • Identificando \dfrac{d}{dt}\!\left(\tfrac{1}{2}m v^2\right)= m\frac{d\mathbf{v}}{dt}\cdot\mathbf{v} e assumindo (aqui é que muitos fazem o salto) que -\nabla U\cdot\mathbf{v} = -\dfrac{d}{dt}U(\mathbf{r}(t),t), concluem que
\frac{d}{dt}\!\left(\tfrac{1}{2}m v^2 + U\right)=0,
ou seja, energia mecânica conservada. Esse é o erro — por que?

Passo 5

Aplico a regra da cadeia corretamente e mostro a identidade certa (passo a passo).
  • A derivada total no tempo da função U(\mathbf{r}(t),t) é, pela regra da cadeia,
\frac{d}{dt}U(\mathbf{r}(t),t) = \frac{\partial U}{\partial t}(\mathbf{r}(t),t) + \nabla U(\mathbf{r}(t),t)\cdot\mathbf{v}(t).
  • Rearranjando,
\nabla U\cdot\mathbf{v} = \frac{dU}{dt} - \frac{\partial U}{\partial t}.
  • Substituindo \nabla U = -\mathbf{F} e voltando à equação para a potência:
\mathbf{F}\cdot\mathbf{v} = -\nabla U\cdot\mathbf{v} = -\frac{dU}{dt} + \frac{\partial U}{\partial t}.
  • Agora relate isso à energia cinética T=\tfrac{1}{2}mv^2. Tem-se dT/dt = m\frac{d\mathbf{v}}{dt}\cdot\mathbf{v} = \mathbf{F}\cdot\mathbf{v}. Logo
\frac{dT}{dt} = -\frac{dU}{dt} + \frac{\partial U}{\partial t}.
  • Reorganizando,
\frac{d}{dt}(T+U) = \frac{\partial U}{\partial t}.
  • Conclusão: a variação temporal da energia mecânica T+U é dada por \partial U/\partial t. Só quando \partial U/\partial t=0 (potencial independente do tempo) a energia mecânica é conservada. Portanto o passo errado no argumento que leva à (4.19) foi igualar -\nabla U\cdot\mathbf{v} diretamente a -dU/dt; isso só é correto se U não depende explicitamente do tempo (ou seja, se \partial U/\partial t=0).

Passo 6

Interpretação física e um exemplo concreto (para fixar a ideia, bem passo a passo):
  • Física: quando o potencial muda no tempo, o “campo” está fazendo trabalho adicional ou tirando energia do sistema por causa dessa variação explícita — a energia mecânica do corpo não precisa se conservar porque a fonte/estrutura que faz o potencial variar pode injetar ou drenar energia.
  • Exemplo simples em uma dimensão: tome
U(x,t)=\tfrac{1}{2}k(t)\,x^2,
onde k(t) é uma constante elástica que varia com o tempo. Então
F(x,t)=-\frac{\partial U}{\partial x} = -k(t)x.
Calcule a taxa de variação da energia mecânica:
\frac{\partial U}{\partial t} = \tfrac{1}{2}\dot{k}(t)\,x^2,
logo pelo resultado do passo anterior
\frac{d}{dt}(T+U) = \tfrac{1}{2}\dot{k}(t)\,x^2.
Se \dot{k}(t)\neq 0, a energia mecânica muda: aumenta se \dot{k}>0 e diminui se \dot{k}<0. Isto ilustra concretamente por que não se pode alegar conservação quando U depende de t.

Resposta

\mathbf{F}(\mathbf{r},t) = -\nabla U(\mathbf{r},t)\
O erro no argumento que leva à conservação (Equação (4.19)) é ter usado -\nabla U\cdot\mathbf{v} = -\dfrac{d}{dt}U(\mathbf{r}(t),t). Para U dependente do tempo vale a regra da cadeia \dfrac{d}{dt}U = \dfrac{\partial U}{\partial t} + \nabla U\cdot\mathbf{v}, logo
\frac{d}{dt}(T+U) = \frac{\partial U}{\partial t},
e somente se \partial U/\partial t=0 a energia mecânica é conservada.

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