4.27** Suponha que a força
dependa do tempo
, mas ainda satisfaça
. É um fato matemático (relativo ao teorema de Stokes, como discutido no Problema 4.25) que a integral do trabalho
(calculada em qualquer instante
) é independente do caminho considerado entre os pontos 1 e 2 . Use isso para mostrar que a EP dependente do tempo definida em (4.48), para um tempo
fixo qualquer, possui a propriedade conhecida
. Você consegue observar o que está errado com o argumento de leva à Equação (4.19), isto é, a conservação da energia?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo claramente):
- A força
depende do tempo , mas para cada instante fixo satisfaz . - É um fato que, para um
fixo, a integral do trabalho entre dois pontos 1 e 2,
é independente do caminho escolhido entre 1 e 2.
- A energia potencial dependente do tempo é definida (como em (4.48)) por integrar a força com
fixo; isto é, para um ponto de referência fixo e para cada define-se
com a integral sendo tomada mantendo
fixo.
- O que se pede:
- Mostrar que, para cada
fixo, vale . - Explicar onde está o erro do argumento que conduz à conservação da energia (Equação (4.19)) quando a potencial depende de
.
- Mostrar que, para cada
Passo 2
Entendendo bem a definição de
e porque ela está bem definida:
- Como foi dito, para cada
fixo a integral de linha é independente do caminho (isto decorre de e do teorema de Stokes). Portanto é bem definida: não importa qual curva se escolha de até , o valor será o mesmo. - A interpretação prática: para cada instante
existe uma “paisagem” espacial de energia potencial . Essa paisagem pode mudar com o tempo, mas em um dado instante ela é uma função espacial bem definida.
Passo 3
Provar que
(passo a passo, bem didático).
- Tome uma posição
e faça um deslocamento infinitesimal . Calcule a diferença
- Usando a definição por integral de linha (mantendo
fixo) pode-se construir uma curva do ponto até que passa por . Pela independência do caminho, a contribuição extra ao integrar até vem apenas do pequeno trecho de até . Assim, para pequeno,
- Se escolhermos o trajeto reto
com , para pequeno podemos aproximar ao longo do trecho. Então
- Pela definição de derivada direcional, isto mostra que o diferencial de
é
- Como essa identidade vale para todo
, concluímos
- Observação importante (didática): aqui
é o gradiente espacial de tomado com mantido fixo. A derivação usou mudanças espaciais infinitesimais, não mudanças no tempo.
Passo 4
Explicando por que isso não implica conservação da energia. Primeiro escrevemos o que seria o argumento (errado) que leva à conservação:
- Começa-se com a segunda lei de Newton
- Faz-se o produto escalar com
e usa-se (obtido no passo anterior) para escrever
- Identificando
e assumindo (aqui é que muitos fazem o salto) que , concluem que
ou seja, energia mecânica conservada. Esse é o erro — por que?
Passo 5
Aplico a regra da cadeia corretamente e mostro a identidade certa (passo a passo).
- A derivada total no tempo da função
é, pela regra da cadeia,
- Rearranjando,
- Substituindo
e voltando à equação para a potência:
- Agora relate isso à energia cinética
. Tem-se . Logo
- Reorganizando,
- Conclusão: a variação temporal da energia mecânica
é dada por . Só quando (potencial independente do tempo) a energia mecânica é conservada. Portanto o passo errado no argumento que leva à (4.19) foi igualar diretamente a ; isso só é correto se não depende explicitamente do tempo (ou seja, se ).
Passo 6
Interpretação física e um exemplo concreto (para fixar a ideia, bem passo a passo):
- Física: quando o potencial muda no tempo, o “campo” está fazendo trabalho adicional ou tirando energia do sistema por causa dessa variação explícita — a energia mecânica do corpo não precisa se conservar porque a fonte/estrutura que faz o potencial variar pode injetar ou drenar energia.
- Exemplo simples em uma dimensão: tome
onde
é uma constante elástica que varia com o tempo. Então
Calcule a taxa de variação da energia mecânica:
logo pelo resultado do passo anterior
Se
, a energia mecânica muda: aumenta se
e diminui se
. Isto ilustra concretamente por que não se pode alegar conservação quando
depende de
.
Resposta
O erro no argumento que leva à conservação (Equação (4.19)) é ter usado
e somente se
a energia mecânica é conservada.