27{ }^{\text {a }} Questão Encontre \frac{d y}{d x} derivando implicitamente.
x y=\cot g(x y)

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita
x y = \cot\bigl(g(xy)\bigr)
onde y é função de x (ou seja, y=y(x)) e g é uma função diferenciável. A tarefa é encontrar \dfrac{dy}{dx} derivando implicitamente. Informações importantes que temos:
\,x e \,y são variáveis relacionadas pela igualdade acima;
\,g é diferenciável (logo g' existe);
queremos a derivada de y em relação a x, isto é \dfrac{dy}{dx} (que também chamarei de y').

Passo 2

Vou listar as regras de diferenciação que vamos usar (explicadas devagar e com exemplo curto):
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, \dfrac{d}{dx}[u v]=u'\,v+u\,v'. Exemplo: \dfrac{d}{dx}[x\cdot e^x]=1\cdot e^x + x\cdot e^x.
  • Regra da cadeia: se h(x)=f(\varphi(x)), então h'(x)=f'(\varphi(x))\cdot\varphi'(x). Exemplo: se h(x)=\sin(x^2), então h'(x)=\cos(x^2)\cdot 2x.
  • Derivada de \cot u: \dfrac{d}{dx}\cot u = -\csc^2 u\cdot u' (aqui \csc u = 1/\sin u).
    No nosso caso combinaremos produto (para x y) e cadeia (para \cot(g(xy))). Lembre que sempre que aparece y devemos tratar y como função de x, então \dfrac{d}{dx}y = y'.

Passo 3

Diferencio o lado esquerdo \,x y usando a regra do produto:
\frac{d}{dx}[x y] = \frac{d}{dx}[x]\cdot y + x\cdot \frac{d}{dx}[y] = 1\cdot y + x\cdot y' = y + x y'.

Passo 4

Agora diferencio o lado direito \,\cot\bigl(g(xy)\bigr).
Usando a regra da cadeia em duas camadas:
  • primeiro, para \cot(u) temos \dfrac{d}{dx}\cot(u) = -\csc^2(u)\cdot u';
  • aqui u(x)=g(xy). Então preciso de u'(x)=g'(xy)\cdot \dfrac{d}{dx}(xy) (novamente cadeia).
  • e \dfrac{d}{dx}(xy)=y + x y' (produto como no Passo 3).
    Portanto:
\frac{d}{dx}\Bigl[\cot\bigl(g(xy)\bigr)\Bigr] = -\csc^2\bigl(g(xy)\bigr)\cdot g'(xy)\cdot (y + x y').

Passo 5

Agora igualo as derivadas dos dois lados (derivada do lado esquerdo = derivada do lado direito):
y + x y' = -\csc^2\bigl(g(xy)\bigr)\, g'(xy)\, (y + x y').

Passo 6

Reorganizo essa equação para isolar y'. Primeiro passo: somo o termo do lado direito para o lado esquerdo:
y + x y' + \csc^2\bigl(g(xy)\bigr)\, g'(xy)\, (y + x y') = 0.
Agora fatoro o fator comum (y + x y'):
\bigl(y + x y'\bigr)\left[1 + \csc^2\bigl(g(xy)\bigr)\, g'(xy)\right] = 0.

Passo 7

Da igualdade produto = 0 temos duas possibilidades:
  1. \,y + x y' = 0. Nesse caso podemos isolar y':
y + x y' = 0 \quad\Longrightarrow\quad y' = -\dfrac{y}{x},
desde que x\neq 0. Esta é a expressão de \dfrac{dy}{dx} quando o outro fator não se anula (ver abaixo).
2. \,1 + \csc^2\bigl(g(xy)\bigr)\, g'(xy) = 0. Se isso ocorre em algum ponto (x,y), então a equação diferencial obtida pela diferenciação implícita fica identicamente satisfeita (pois o produto é zero para qualquer valor de (y + x y')), ou seja, a igualdade não impõe uma condição que permita resolver y' explicitamente a partir desta equação. Em termos da teoria: nesses pontos falha a hipótese do teorema da função implícita (o coeficiente que multiplicaria y' pode anular), então a derivada pode não ser determinada por este único passo — seria preciso analisar mais (por exemplo resolver explicitamente ou usar outro critério).

Resposta

\displaystyle y' = -\dfrac{y}{x}, desde que \displaystyle 1 + \csc^2\bigl(g(xy)\bigr)\, g'(xy)\neq 0.\n
Se \displaystyle 1 + \csc^2\bigl(g(xy)\bigr)\, g'(xy)=0 em um ponto, a diferenciação implícita acima não determina y' nesse ponto (é necessário análise adicional).

Exercícios relacionados