Questão Encontre
derivando implicitamente.
x y=\cot g(x y)
x y=\cot g(x y)
Passo 1
O enunciado dá a equação implícita
onde
é função de
(ou seja,
) e
é uma função diferenciável. A tarefa é encontrar
derivando implicitamente. Informações importantes que temos:
e
são variáveis relacionadas pela igualdade acima;
é diferenciável (logo
existe);
queremos a derivada de em relação a
, isto é
(que também chamarei de
).
queremos a derivada de
Passo 2
Vou listar as regras de diferenciação que vamos usar (explicadas devagar e com exemplo curto):
- Regra do produto: se
e são funções, . Exemplo: . - Regra da cadeia: se
, então . Exemplo: se , então . - Derivada de
: (aqui ).
No nosso caso combinaremos produto (para) e cadeia (para ). Lembre que sempre que aparece devemos tratar como função de , então .
Passo 3
Diferencio o lado esquerdo
usando a regra do produto:
Passo 4
Agora diferencio o lado direito
.
Usando a regra da cadeia em duas camadas:
Usando a regra da cadeia em duas camadas:
- primeiro, para
temos ; - aqui
. Então preciso de (novamente cadeia). - e
(produto como no Passo 3).
Portanto:
Passo 5
Agora igualo as derivadas dos dois lados (derivada do lado esquerdo = derivada do lado direito):
Passo 6
Reorganizo essa equação para isolar
. Primeiro passo: somo o termo do lado direito para o lado esquerdo:
Agora fatoro o fator comum
:
Passo 7
Da igualdade produto = 0 temos duas possibilidades:
-
. Nesse caso podemos isolar :
desde que
. Esta é a expressão de
quando o outro fator não se anula (ver abaixo).
2. . Se isso ocorre em algum ponto
, então a equação diferencial obtida pela diferenciação implícita fica identicamente satisfeita (pois o produto é zero para qualquer valor de
), ou seja, a igualdade não impõe uma condição que permita resolver
explicitamente a partir desta equação. Em termos da teoria: nesses pontos falha a hipótese do teorema da função implícita (o coeficiente que multiplicaria
pode anular), então a derivada pode não ser determinada por este único passo — seria preciso analisar mais (por exemplo resolver explicitamente ou usar outro critério).
2.
Resposta
Se