Calcule as integrais indefinidas abaixo:
Para cada integral indefinida calculada, encontre a derivada da primitiva obtida e verifique que ela é igual à função que foi integrada.

Passo 1

O enunciado pede: “Calcule as integrais indefinidas abaixo” e, para cada integral, encontrar a derivada da primitiva obtida e verificar que ela é igual à função integrada. Informações dadas: nenhuma integral explícita foi enviada no enunciado que você me passou — ou seja, não há expressões matemáticas para integrar.

Passo 2

Consequência lógica do passo anterior: não é possível calcular integrais específicas nem verificar as derivadas das primitivas porque as funções a serem integradas não foram fornecidas. Sem a expressão da integranda não há como produzir uma resposta única e correta para o enunciado tal como ele está.

Passo 3

Mesmo assim, vou aproveitar para te ensinar, de forma didática e passo a passo, os métodos básicos que costumam aparecer em provas e mostrar exemplos completos (onde eu calculo a integral e verifico a primitiva derivando). Assim, quando você me mandar as integrais reais ou as vir na prova, você vai saber qual técnica usar. Vou ser bem tranquilo e amigável — pensa que eu estou do seu lado explicando tudo calmamente.

Passo 4

Fórmula essencial: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é a constante de integração. Aqui x é a variável e n é um número real diferente de -1.
Exemplo e verificação:
Calcule \displaystyle \int x^{3}\,dx.
Aplicando a fórmula com n=3,
\text{primitiva: }\;F(x)=\frac{x^{4}}{4}+C.
Verificação derivando F:
F'(x)=\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{4}}{4}+C\right)=\frac{4x^{3}}{4}=x^{3},
que coincide com a integranda. Pronto.

Passo 5

Regra: \displaystyle \int e^{ax}\,dx=\frac{1}{a}e^{ax}+C, para a\neq 0. Aqui a é constante.
Exemplo e verificação:
Calcule \displaystyle \int e^{2x}\,dx.
Primitiva:
F(x)=\frac{1}{2}e^{2x}+C.
Verificação:
F'(x)=\frac{1}{2}\cdot 2e^{2x}=e^{2x}.

Passo 6

Ideia: quando a integranda é de forma f(g(x))g'(x), uma substituição u=g(x) reduz a integral a \int f(u)\,du. Isso facilita muito.
Exemplo e verificação:
Calcule \displaystyle \int 2x\cos(x^{2})\,dx.
Observação: a parte 2x é exatamente a derivada de x^{2}. Fazemos u=x^{2}, então du=2x\,dx.
A integral vira
\int \cos(u)\,du=\sin(u)+C=\sin(x^{2})+C.
Verificação:
\frac{d}{dx}\sin(x^{2})=\cos(x^{2})\cdot 2x,
que é a integranda original.

Passo 7

Fórmula: para funções u(x) e v(x) com derivadas apropriadas,
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Escolhemos u para simplificar ao derivá-lo e dv para integrar facilmente.
Exemplo e verificação:
Calcule \displaystyle \int x e^{x}\,dx.
Escolha u=x (assim du=dx) e dv=e^{x}dx (assim v=e^{x}). Então
\int x e^{x}dx = x e^{x} - \int e^{x}dx = x e^{x} - e^{x} + C = e^{x}(x-1)+C.
Verificação:
\frac{d}{dx}\big(e^{x}(x-1)\big) = e^{x}(x-1)+e^{x}\cdot 1 = e^{x}x,
pois e^{x}(x-1)+e^{x}=e^{x}x. Confere.

Passo 8

Quando a integranda é uma fração racional \displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)} com grau de P menor que grau de Q, fatoramos Q e decompondo em frações simples fica fácil integrar cada termo (logaritmos e arctangentes podem aparecer).
Exemplo e verificação:
Calcule \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}-1}\,dx.
Fatoramos x^{2}-1=(x-1)(x+1) e usamos decomposição
\frac{1}{x^{2}-1}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}.
Resolvendo 1=A(x+1)+B(x-1). Igualando coeficientes ou plugando valores:
para x=1: 1= A(2)\Rightarrow A=\tfrac{1}{2}. Para x=-1: 1=B(-2)\Rightarrow B=-\tfrac{1}{2}.
Logo
\int \frac{1}{x^{2}-1}dx = \frac{1}{2}\int\frac{1}{x-1}dx - \frac{1}{2}\int\frac{1}{x+1}dx
= \frac{1}{2}\ln|x-1| - \frac{1}{2}\ln|x+1| + C.
Podemos juntar num só logaritmo, mas não é necessário aqui. Verificação derivando:
\frac{d}{dx}\!\left(\tfrac{1}{2}\ln|x-1| - \tfrac{1}{2}\ln|x+1|\right) = \tfrac{1}{2}\cdot\frac{1}{x-1} - \tfrac{1}{2}\cdot\frac{1}{x+1} = \frac{(x+1)-(x-1)}{2(x-1)(x+1)} = \frac{1}{x^{2}-1}.

Passo 9

Algumas integrais usam identidades trigonométricas para simplificar (por exemplo \cos^{2}x=\tfrac{1+\cos 2x}{2}).
Exemplo e verificação:
Calcule \displaystyle \int \cos^{2}x\,dx.
Usamos a identidade
\cos^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}.
Logo
\int \cos^{2}x\,dx = \int \frac{1}{2}\,dx + \int \frac{\cos 2x}{2}\,dx = \frac{x}{2} + \frac{1}{2}\cdot\frac{\sin 2x}{2} + C = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C.
Verificação derivando:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}\right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\cdot 2\cos 2x = \frac{1+\cos 2x}{2} = \cos^{2}x.

Passo 10

  • Primeiro identifique a forma da integranda: é uma potência simples, exponencial, trigonométrica, produto que pede partes, ou uma racional que pede frações parciais?
  • Sempre tente uma substituição simples que torne a integral imediata. Procure uma parte da integranda que seja a derivada de outra parte (sinal clássico para substituição).
  • Para produtos como x^n e^{ax} ou x^n\sin x, a integração por partes repetida costuma resolver.
  • Para racionais, se o grau do numerador ≥ grau do denominador, faça divisão polinomial primeiro. Depois decomponha.
  • Sempre, ao final, verifique derivando a primitiva obtida — isso evita erros bobos e é pedido explicitamente no enunciado original.

Resposta

Não é possível calcular porque as integrais não foram fornecidas.

Exercícios relacionados