Calcule as integrais indefinidas abaixo:
Para cada integral indefinida calculada, encontre a derivada da primitiva obtida e verifique que ela é igual à função que foi integrada.
Para cada integral indefinida calculada, encontre a derivada da primitiva obtida e verifique que ela é igual à função que foi integrada.
Passo 1
O enunciado pede: “Calcule as integrais indefinidas abaixo” e, para cada integral, encontrar a derivada da primitiva obtida e verificar que ela é igual à função integrada. Informações dadas: nenhuma integral explícita foi enviada no enunciado que você me passou — ou seja, não há expressões matemáticas para integrar.
Passo 2
Consequência lógica do passo anterior: não é possível calcular integrais específicas nem verificar as derivadas das primitivas porque as funções a serem integradas não foram fornecidas. Sem a expressão da integranda não há como produzir uma resposta única e correta para o enunciado tal como ele está.
Passo 3
Mesmo assim, vou aproveitar para te ensinar, de forma didática e passo a passo, os métodos básicos que costumam aparecer em provas e mostrar exemplos completos (onde eu calculo a integral e verifico a primitiva derivando). Assim, quando você me mandar as integrais reais ou as vir na prova, você vai saber qual técnica usar. Vou ser bem tranquilo e amigável — pensa que eu estou do seu lado explicando tudo calmamente.
Passo 4
Fórmula essencial: para
,
onde
é a constante de integração. Aqui
é a variável e
é um número real diferente de
.
Exemplo e verificação:
Calcule .
Aplicando a fórmula com ,
Calcule
Aplicando a fórmula com
Verificação derivando
:
que coincide com a integranda. Pronto.
Passo 5
Regra:
, para
. Aqui
é constante.
Exemplo e verificação:
Calcule .
Primitiva:
Calcule
Primitiva:
Verificação:
Passo 6
Ideia: quando a integranda é de forma
, uma substituição
reduz a integral a
. Isso facilita muito.
Exemplo e verificação:
Calcule .
Observação: a parte é exatamente a derivada de
. Fazemos
, então
.
A integral vira
Calcule
Observação: a parte
A integral vira
Verificação:
que é a integranda original.
Passo 7
Fórmula: para funções
e
com derivadas apropriadas,
Escolhemos
para simplificar ao derivá-lo e
para integrar facilmente.
Exemplo e verificação:
Calcule .
Escolha (assim
) e
(assim
). Então
Calcule
Escolha
Verificação:
pois
. Confere.
Passo 8
Quando a integranda é uma fração racional
com grau de
menor que grau de
, fatoramos
e decompondo em frações simples fica fácil integrar cada termo (logaritmos e arctangentes podem aparecer).
Exemplo e verificação:
Calcule .
Fatoramos e usamos decomposição
Calcule
Fatoramos
Resolvendo
. Igualando coeficientes ou plugando valores:
para :
. Para
:
.
Logo
para
Logo
Podemos juntar num só logaritmo, mas não é necessário aqui. Verificação derivando:
Passo 9
Algumas integrais usam identidades trigonométricas para simplificar (por exemplo
).
Exemplo e verificação:
Calcule .
Usamos a identidade
Calcule
Usamos a identidade
Logo
Verificação derivando:
Passo 10
- Primeiro identifique a forma da integranda: é uma potência simples, exponencial, trigonométrica, produto que pede partes, ou uma racional que pede frações parciais?
- Sempre tente uma substituição simples que torne a integral imediata. Procure uma parte da integranda que seja a derivada de outra parte (sinal clássico para substituição).
- Para produtos como
ou , a integração por partes repetida costuma resolver. - Para racionais, se o grau do numerador ≥ grau do denominador, faça divisão polinomial primeiro. Depois decomponha.
- Sempre, ao final, verifique derivando a primitiva obtida — isso evita erros bobos e é pedido explicitamente no enunciado original.
Resposta
Não é possível calcular porque as integrais não foram fornecidas.