29{ }^{\text {a }} Questão Seja \mathrm{h}(\mathrm{x}) uma função de x . Assuma que \mathrm{h}(\mathrm{x}) é derivável em relação a x . Mostre que
\frac{d}{d x}\left[h(x)^{\cos (x)}\right]=h(x)^{\cos (x)}\left[(-\operatorname{sen}(x)) \ln (h(x))+\cos (x) \frac{\frac{d}{d x} h(x)}{h(x)}\right]

Passo 1

O enunciado dá que h(x) é uma função de x e que h(x) é diferenciável em relação a x. Pede-se para mostrar a derivada de h(x)^{\cos(x)}, ou seja, mostrar que
\frac{d}{d x}\left[h(x)^{\cos (x)}\right]=h(x)^{\cos (x)}\left[(-\operatorname{sen}(x)) \ln (h(x))+\cos (x) \frac{\frac{d}{d x} h(x)}{h(x)}\right].
Informações relevantes que temos: \,h(x) é diferenciável (logo \frac{d}{dx}h(x) existe). Para usar \ln(h(x)) no processo, vamos assumir implicitamente que estamos trabalhando em um intervalo onde h(x)>0 (isso é necessário para \ln(h(x)) estar definido). A partir daqui vamos transformar e derivar a expressão passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos facilitar a diferenciação usando logaritmos (técnica chamada diferenciação logarítmica). Defina
y = h(x)^{\cos(x)}.
A ideia é aplicar o logaritmo natural em ambos os lados para transformar a potência com base e expoente variáveis em um produto, pois produto é mais fácil de derivar.

Passo 3

Aplicando \ln em ambos os lados obtemos
\ln(y) = \ln\big(h(x)^{\cos(x)}\big).
Usando a propriedade dos logaritmos \ln(a^b)=b\ln(a), temos
\ln(y) = \cos(x)\,\ln\big(h(x)\big).
Aqui cada símbolo significa: \ln(y) é o logaritmo natural de y; \cos(x) é o cosseno de x; e \ln(h(x)) é o logaritmo natural de h(x).

Passo 4

Agora diferenciamos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo usamos a regra da cadeia: a derivada de \ln(y) em relação a x é \dfrac{1}{y}\dfrac{dy}{dx}. Portanto o lado esquerdo vira
\frac{d}{dx}\big(\ln(y)\big)=\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}.
(Explicação rápida da regra da cadeia: se u(x)=\ln(y(x)), então u'(x)=\ln'(y)\cdot y'(x)=\frac{1}{y}\cdot y'.)

Passo 5

No lado direito temos um produto \cos(x)\cdot\ln(h(x)). Aplicamos a regra do produto: a derivada de u(x)v(x) é u'(x)v(x)+u(x)v'(x). Então
\frac{d}{dx}\big(\cos(x)\ln(h(x))\big)=\left(\frac{d}{dx}\cos(x)\right)\ln(h(x))+\cos(x)\left(\frac{d}{dx}\ln(h(x))\right).
Agora usamos que \dfrac{d}{dx}\cos(x)=-\operatorname{sen}(x) e que, por regra da cadeia, \dfrac{d}{dx}\ln(h(x))=\dfrac{1}{h(x)}\cdot\dfrac{d}{dx}h(x). Substituindo,
\frac{d}{dx}\big(\cos(x)\ln(h(x))\big) = -\operatorname{sen}(x)\,\ln(h(x)) + \cos(x)\,\frac{\dfrac{d}{dx}h(x)}{h(x)}.
(Aqui explicitei que \operatorname{sen}(x) é o seno de x e \dfrac{d}{dx}h(x) é a derivada de h.)

Passo 6

Igualando as derivadas dos dois lados temos
\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = -\operatorname{sen}(x)\,\ln(h(x)) + \cos(x)\,\frac{\dfrac{d}{dx}h(x)}{h(x)}.
Multiplicando ambos os lados por y para isolar \dfrac{dy}{dx}, obtemos
\frac{dy}{dx} = y\left[-\operatorname{sen}(x)\,\ln(h(x)) + \cos(x)\,\frac{\dfrac{d}{dx}h(x)}{h(x)}\right].

Passo 7

Por fim, lembramos que y=h(x)^{\cos(x)}. Substituindo de volta y na expressão da derivada, obtemos exatamente
\frac{d}{dx}\left[h(x)^{\cos(x)}\right] = h(x)^{\cos(x)}\left[(-\operatorname{sen}(x))\,\ln(h(x))+\cos(x)\,\frac{\dfrac{d}{dx}h(x)}{h(x)}\right].
Essa é a fórmula pedida. (Como verificação rápida: se h(x)=e^{x}, então \ln(h(x))=x e \dfrac{d}{dx}h(x)=e^{x}=h(x), e a expressão reduz à derivada para e^{x\cos x} conforme esperado.)

Resposta

\frac{d}{d x}\left[h(x)^{\cos (x)}\right]=h(x)^{\cos (x)}\left[(-\operatorname{sen}(x)) \ln (h(x))+\cos (x) \frac{\frac{d}{d x} h(x)}{h(x)}\right]

Exercícios relacionados