(278)^x=72964-22

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação juntos! A questão que temos é:
(278)^x = 72964 - 22
Aqui, estamos lidando com exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como trabalhar com potências e simplificar frações.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o lado direito da equação:
72964 - 22
Calculando a fração 22:
22 = 1
Então, a expressão fica:
72964 - 1
Para subtrair 1, que é o mesmo que 6464, temos:
72964 - 6464 = 729 - 6464 = 66564
Agora, a equação fica:
(278)^x = 66564

Passo 3

Vamos simplificar 278 e 66564 em termos de potências de números menores. Sabemos que:
27 = 3^3 e 8 = 2^3
Então,
278 = 3^32^3 = (32)^3
Portanto, a equação fica:
((32)^3)^x = 66564
Usando a propriedade das potências (a^b)^c = a^b cdot c, temos:
(32)^3x = 66564

Passo 4

Agora, precisamos expressar 66564 como uma potência de 32, se possível. Porém, notamos que $ \frac{665}{64} $ não é uma potência exata de $ \frac{3}{2} $. Isso indica que talvez haja um erro na simplificação inicial.
Reavaliando o passo 2, percebemos que:
66564
Mas isso não simplifica diretamente para uma potência de 32 . Parece que precisamos reconsiderar nossa abordagem.

Passo 5

Vamos tentar tomar o logaritmo de ambos os lados para resolver para x. Usando logaritmos naturais:
ln((278)^x) = ln(66564)
Aplicando a propriedade ln(a^b) = b cdot ln(a):
x cdot ln(278) = ln(66564)
Agora, isolamos x:
x = ln(66564)ln(278)

Resposta

Calculando os valores dos logaritmos:
x approx ln(10.390625)ln(3.375) approx 2.34091.2164 approx 1.923
Portanto, a solução aproximada é:
x approx 1,923

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