O objetivo é calcular \det(A) e \det(B). Informações úteis (que vou usar na resolução):
Trocar duas linhas multiplica o determinante por -1.
Adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha não altera o determinante.
Se a primeira coluna tem um único elemento não nulo igual a 1 na primeira linha, então \det da matriz é igual ao determinante do sub-bloco 3\times3 obtido ao remover a primeira linha e coluna (essa é uma consequência do desenvolvimento de Laplace).
Não começo a calcular nada neste passo; só listei o que o problema pede e as informações dadas.
Passo 2
Vamos calcular \det(A). Primeiro, para facilitar eliminações, faço uma troca de linhas entre R_1 e R_2. Isso torna o pivô na posição (1,1) igual a 1, evitando frações iniciais. A troca é:
(Explicação didática: trocar duas linhas muda o sinal do determinante porque o determinante é alternante nas linhas.)
Passo 3
Agora uso operações do tipo “subtrair múltiplos da primeira linha” para zerar a primeira coluna abaixo do pivô sem alterar o determinante (adicionar múltiplos de uma linha a outra não altera \det). Faço:
Como a primeira coluna tem agora a forma (1,0,0,0)^T, o determinante de A^{(2)} é igual ao determinante do sub-bloco 3\times3 formado pelas últimas três linhas e últimas três colunas: