1.28 Considere as matrizes:
A=\left(\begin{array}{rrrr} 5 & 4 & 6 & 8 \\\\ 1 & 2 & 3 & 4 \\\\ 2 & 0 & -1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 2 & 1 \end{array}\right) \quad e \quad B=\left(\begin{array}{rrrr} 1 & 3 & 0 & -1 \\\\ 0 & 1 & 4 & -1 \\\\ 2 & 5 & 1 & 3 \\\\ -2 & -5 & 2 & 5 \end{array}\right) .
Calcular \operatorname{det}(A) e \operatorname{det}(B), usando a Propriedade 1.8 e o desenvolvimento de Laplace ou apenas a Propriedade 1.8.

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes A e B e pede os determinantes \det(A) e \det(B). As matrizes são:
A=\begin{pmatrix} 5 & 4 & 6 & 8 \\\\ 1 & 2 & 3 & 4 \\\\ 2 & 0 & -1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & -1 \\\\ 0 & 1 & 4 & -1 \\\\ 2 & 5 & 1 & 3 \\\\ -2 & -5 & 2 & 5 \end{pmatrix}.
O objetivo é calcular \det(A) e \det(B). Informações úteis (que vou usar na resolução):
  • Trocar duas linhas multiplica o determinante por -1.
  • Adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha não altera o determinante.
  • Se a primeira coluna tem um único elemento não nulo igual a 1 na primeira linha, então \det da matriz é igual ao determinante do sub-bloco 3\times3 obtido ao remover a primeira linha e coluna (essa é uma consequência do desenvolvimento de Laplace).
    Não começo a calcular nada neste passo; só listei o que o problema pede e as informações dadas.

Passo 2

Vamos calcular \det(A). Primeiro, para facilitar eliminações, faço uma troca de linhas entre R_1 e R_2. Isso torna o pivô na posição (1,1) igual a 1, evitando frações iniciais. A troca é:
R_1 \leftrightarrow R_2.
Depois da troca a matriz fica
A^{(1)}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\\\ 5 & 4 & 6 & 8 \\\\ 2 & 0 & -1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}.
Como fiz uma troca de linhas, vale
\det(A) = -\det\bigl(A^{(1)}\bigr).
(Explicação didática: trocar duas linhas muda o sinal do determinante porque o determinante é alternante nas linhas.)

Passo 3

Agora uso operações do tipo “subtrair múltiplos da primeira linha” para zerar a primeira coluna abaixo do pivô sem alterar o determinante (adicionar múltiplos de uma linha a outra não altera \det). Faço:
R_2 \leftarrow R_2 - 5R_1,\qquad R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1,\qquad R_4 \leftarrow R_4 - R_1.
Calculando:
R_2 - 5R_1 = (5,4,6,8) - 5(1,2,3,4) = (0,-6,-9,-12),
R_3 - 2R_1 = (2,0,-1,1) - 2(1,2,3,4) = (0,-4,-7,-7),
R_4 - R_1 = (1,1,2,1) - (1,2,3,4) = (0,-1,-1,-3).
A matriz transforma-se em
A^{(2)}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\\\ 0 & -6 & -9 & -12 \\\\ 0 & -4 & -7 & -7 \\\\ 0 & -1 & -1 & -3 \end{pmatrix}.
Como a primeira coluna tem agora a forma (1,0,0,0)^T, o determinante de A^{(2)} é igual ao determinante do sub-bloco 3\times3 formado pelas últimas três linhas e últimas três colunas:
\det\bigl(A^{(2)}\bigr) = \det\begin{pmatrix} -6 & -9 & -12 \\\\ -4 & -7 & -7 \\\\ -1 & -1 & -3 \end{pmatrix}.
(Explicação didática: desenvolver por Laplace ao longo da primeira coluna: só o primeiro cofator contribui, e o elemento é 1.)

Passo 4

Vamos calcular o determinante do 3\times3
M=\begin{pmatrix} -6 & -9 & -12 \\\\ -4 & -7 & -7 \\\\ -1 & -1 & -3 \end{pmatrix}.
Uso o desenvolvimento pela primeira linha (fórmula para 3\times3):
\det(M)=(-6)\cdot\det\begin{pmatrix}-7 & -7 \\\\ -1 & -3\end{pmatrix} -(-9)\cdot\det\begin{pmatrix}-4 & -7 \\\\ -1 & -3\end{pmatrix} +(-12)\cdot\det\begin{pmatrix}-4 & -7 \\\\ -1 & -1\end{pmatrix}.
Calculo os menores:
\det\begin{pmatrix}-7 & -7 \\\\ -1 & -3\end{pmatrix}=(-7)(-3)-(-7)(-1)=21-7=14,
\det\begin{pmatrix}-4 & -7 \\\\ -1 & -3\end{pmatrix}=(-4)(-3)-(-7)(-1)=12-7=5,
\det\begin{pmatrix}-4 & -7 \\\\ -1 & -1\end{pmatrix}=(-4)(-1)-(-7)(-1)=4-7=-3.
Substituindo:
\det(M)=(-6)\cdot 14 -(-9)\cdot 5 + (-12)\cdot(-3).
Agora avalio cada termo:
(-6)\cdot 14 = -84,\qquad -(-9)\cdot 5 = 45,\qquad (-12)\cdot(-3)=36.
Somando,
\det(M) = -84 + 45 + 36 = -3.

Passo 5

Voltando para \det(A): lembrando que \det(A) = -\det\bigl(A^{(1)}\bigr) e \det\bigl(A^{(1)}\bigr)=\det\bigl(A^{(2)}\bigr)=\det(M), obtemos
\det(A) = -\det\bigl(A^{(1)}\bigr) = -\det(M) = -(-3) = 3.
Conclusão: \det(A)=3.

Passo 6

Agora calculo \det(B). Começo com a matriz B:
B=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & -1 \\\\ 0 & 1 & 4 & -1 \\\\ 2 & 5 & 1 & 3 \\\\ -2 & -5 & 2 & 5 \end{pmatrix}.
Uso operações do tipo "somar/subtrair múltiplos de R_1" para zerar as entradas da primeira coluna abaixo de R_1. Faço:
R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1,\qquad R_4 \leftarrow R_4 + 2R_1.
Essas operações não alteram o determinante. Calculando:
R_3 - 2R_1 = (2,5,1,3) - 2(1,3,0,-1) = (0,-1,1,5),
R_4 + 2R_1 = (-2,-5,2,5) + 2(1,3,0,-1) = (0,1,2,3).
A matriz vira
B^{(1)}=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & -1 \\\\ 0 & 1 & 4 & -1 \\\\ 0 & -1 & 1 & 5 \\\\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}.
Como a primeira coluna é (1,0,0,0)^T, temos (pela expansão de Laplace na primeira coluna)
\det(B)=\det\bigl(B^{(1)}\bigr)=\det\begin{pmatrix} 1 & 4 & -1 \\\\ -1 & 1 & 5 \\\\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix},
onde extraí o sub-bloco 3\times3 formado pelas linhas 2,3,4 e colunas 2,3,4.

Passo 7

Chamo esse 3\times3 de
N=\begin{pmatrix} 1 & 4 & -1 \\\\ -1 & 1 & 5 \\\\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}.
Para \det(N) uso uma operação simples para facilitar: somo a primeira linha à segunda e subtraio a primeira da terceira:
R_2 \leftarrow R_2 + R_1,\qquad R_3 \leftarrow R_3 - R_1,
isso não altera o determinante. Calculando:
R_2 + R_1 = (-1,1,5) + (1,4,-1) = (0,5,4),
R_3 - R_1 = (1,2,3) - (1,4,-1) = (0,-2,4).
Obtém-se
N^{(1)}=\begin{pmatrix} 1 & 4 & -1 \\\\ 0 & 5 & 4 \\\\ 0 & -2 & 4 \end{pmatrix}.
Agora o determinante é fácil: desenvolvendo pela primeira coluna (que tem 1,0,0):
\det(N)=1\cdot\det\begin{pmatrix}5 & 4 \\\\ -2 & 4\end{pmatrix} = 5\cdot 4 - 4\cdot(-2) = 20 + 8 = 28.

Passo 8

Portanto \det(B)=28.

Resposta

\det(A)=3
\det(B)=28

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