Seja
uma transformação linear tal que
e
. Calcule
.
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
e fornece os valores de
em dois vetores:
-
. -
.
A pergunta é: calcular
.
Passo 2
Ideia geral (sem resolver ainda): como
é linear, se conseguirmos escrever o vetor
como combinação linear dos vetores cujas imagens conhecemos, então podemos usar a linearidade para obter
como a mesma combinação linear das imagens.
Primeiro preciso verificar que os vetores
e
são adequados para expressar qualquer vetor em
. Basta checar se são linearmente independentes (ou equivalentemente, se um não é múltiplo do outro). Note que
não é múltiplo de
porque o primeiro componente de
é
e o de
é
. Logo os dois vetores são linearmente independentes e, como são dois vetores em
, formam uma base de
. Portanto qualquer vetor de
, incluindo
, pode ser escrito como combinação linear deles.
Passo 3
Escrever
como combinação linear de
e
. Procuro escalares
tais que
Escrevendo coordenada a coordenada:
Da primeira equação segue
Substituindo na segunda:
Portanto
Passo 4
Agora uso a linearidade de
: para quaisquer escalares
e vetores
vale
. Aplicando isso ao que achei:
Substituo as imagens dadas:
Calculo coordenada a coordenada:
Somando:
Passo 5
Conclusão:
.