Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} uma transformação linear tal que T(-1,1)=(3,2,1) e T(0,1)=(1,1,0). Calcule T(3,4).

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3} e fornece os valores de T em dois vetores:
  • T(-1,1)=(3,2,1).
  • T(0,1)=(1,1,0).
A pergunta é: calcular T(3,4).

Passo 2

Ideia geral (sem resolver ainda): como T é linear, se conseguirmos escrever o vetor (3,4)\in\mathbb{R}^2 como combinação linear dos vetores cujas imagens conhecemos, então podemos usar a linearidade para obter T(3,4) como a mesma combinação linear das imagens.
Primeiro preciso verificar que os vetores (-1,1) e (0,1) são adequados para expressar qualquer vetor em \mathbb{R}^2. Basta checar se são linearmente independentes (ou equivalentemente, se um não é múltiplo do outro). Note que (0,1) não é múltiplo de (-1,1) porque o primeiro componente de (0,1) é 0 e o de (-1,1) é -1. Logo os dois vetores são linearmente independentes e, como são dois vetores em \mathbb{R}^2, formam uma base de \mathbb{R}^2. Portanto qualquer vetor de \mathbb{R}^2, incluindo (3,4), pode ser escrito como combinação linear deles.

Passo 3

Escrever (3,4) como combinação linear de (-1,1) e (0,1). Procuro escalares a,b\in\mathbb{R} tais que
a(-1,1)+b(0,1)=(3,4).
Escrevendo coordenada a coordenada:
\begin{cases} -a + 0\cdot b = 3,\\[4pt] a + b = 4. \end{cases}
Da primeira equação segue
a=-3.
Substituindo na segunda:
-3 + b = 4 \quad\Rightarrow\quad b=7.
Portanto
(3,4) = (-3)(-1,1) + 7(0,1).]

Passo 4

Agora uso a linearidade de T: para quaisquer escalares a,b e vetores u,v vale T(au+bv)=aT(u)+bT(v). Aplicando isso ao que achei:
T(3,4)=T\big((-3)(-1,1)+7(0,1)\big) = (-3)T(-1,1) + 7T(0,1).
Substituo as imagens dadas:
(-3)T(-1,1) + 7T(0,1) = (-3)(3,2,1) + 7(1,1,0).
Calculo coordenada a coordenada:
(-3)(3,2,1)=(-9,-6,-3), \qquad 7(1,1,0)=(7,7,0).
Somando:
(-9,-6,-3)+(7,7,0)=(-9+7,\,-6+7,\,-3+0)=(-2,1,-3).

Passo 5

Conclusão: T(3,4)=(-2,1,-3).

Resposta

(-2,1,-3)

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