B.7.30 Desenhe os diagramas de Bode para o controlador PI dado por
e para o controlador PD dado por
Passo 1
O enunciado pede para traçarmos os diagramas de Bode (magnitude e fase) de dois controladores:
Conteúdo: construção de diagramas de Bode por meio de polos, zeros e suas frequências de quebra, mais as assíntotas de magnitude e fase.
Passo 2
Reescrevemos em formas padrão para identificar polos e zeros:
Temos
– um polo de integrador em (declive −20 dB/déc)
– um zero em , cuja frequência de quebra é
– um polo de integrador em
– um zero em
Temos
– um zero em , frequência de quebra
– um zero em
sem polos finitos além do ganho.
Passo 3
Assíntotas de magnitude:
- Para o PI:
– em, domina o integrador ⇒ slope ≈−20 dB/déc
– em, o termo “1” domina ⇒ slope dB/déc
– ganho estático alto em baixase nivela em dB acima de . - Para o PD:
– em, zero não atua ⇒ slope dB/déc, nível dB
– em, o zero entra ⇒ slope dB/déc
Frequências de quebra e magnitudes aproximadas no ponto de canto (
dB de pico de canto):
– PI em : magnitude ≈
dB
– PD em : magnitude ≈
dB
– PI em
– PD em
Passo 4
Assíntotas de fase:
- Para o PI:
– integrador contribui com −para
– zero de ordem 1 contribui compara
– transição de −a centrada em , com − em . - Para o PD:
– abaixo defase
– acima defase
– transição dea centrada em , com em .
Passo 5
Esquematizando os diagramas:
Para o PI
:
Magnitude (dB) versus :
– slope −20 dB/déc até , valor nessa frequência
dB
– slope 0 dB/déc acima de 0,5, nivelado em 14 dB
fase (°) versus :
– começa em − , sobe para
entre 0,1 e 5, com −
em 0,5
Magnitude (dB) versus
– slope −20 dB/déc até
– slope 0 dB/déc acima de 0,5, nivelado em 14 dB
fase (°) versus
– começa em −
Para o PD
:
Magnitude (dB) versus :
– slope 0 dB/déc até , valor em
dB
– slope dB/déc acima de 2
fase (°) versus :
– começa em , sobe para
entre 0,2 e 20, com
em 2
Magnitude (dB) versus
– slope 0 dB/déc até
– slope
fase (°) versus
– começa em
Resposta
Os diagramas de Bode assintóticos são:
(a) Controlador PI
– Magnitude: −20 dB/déc até , depois 0 dB/déc; ganho nivelado em ~14 dB acima de 0,5.
– Fase: transição de − a
centrada em 0,5 rad/s (−
em 0,5).
– Magnitude: −20 dB/déc até
– Fase: transição de −
(b) Controlador PD
– Magnitude: 0 dB/déc até , depois
dB/déc; valor em 2 nivelado em ~14 dB.
– Fase: transição de a
centrada em 2 rad/s (
em 2).
– Magnitude: 0 dB/déc até
– Fase: transição de