28 A corrente através de um condutor é modelada por I(t)=Im sin (2 pi cdot 60 t), onde t está em segundos. Escreva uma equação para a carga como função do tempo.

Passo 1

O enunciado dá a corrente
I(t)=Imsinl(2picdot60,tr)
e pede a carga Q(t). Sabendo que corrente é a derivada da carga, ou seja
;I(t)=dQdt,
para encontrar Q(t) basta integrar I(t) em relação a t.

Passo 2

Escrevemos a integral geral de I(t):
Q(t)=integral I(t),dt =integral Imsinl(2picdot60,tr),dt + C

Passo 3

Para integrar usamos a primitiva de sin(ax), que é -tfrac1acos(ax). Aqui a=2picdot60, logo
Q(t)=-Im2picdot60cosl(2picdot60,tr)+C

Passo 4

Assumindo que em t=0 a carga é zero ( Q(0)=0), temos
0=-Im2picdot60cos(0)+C =-Im2picdot60cdot1 + C,
portanto
C=Im2picdot60
Substituindo em Q(t) e lembrando que 2picdot60=120pi, obtemos
Q(t)=Im120pil(1-cos(120pi,t)r)

Resposta

Q(t)=Im120pil[1-cos(120pi,t)r]

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