7 A densidade superficial de carga em um tubo metálico longo e reto vale sigma. Qual é o potencial elétrico externo e interno do tubo? Suponha que o tubo tenha um diâmetro de 2 a. Dica: utilize o resultado para o campo elétrico desse sistema.

Passo 1

O enunciado pede o potencial elétrico de um tubo metálico cilíndrico longo e reto de raio a com densidade superficial de carga sigma. O conteúdo envolvido é eletrostática de distribuições lineares e cilíndricas. Para resolver precisaremos do resultado do campo elétrico externo e usar
lambda = 2pi a,sigma
e a relação entre campo e potencial
V(r) - V(r0) = -integralr0^r Ecdot dr,

Passo 2

Recordando o campo para uma casca cilíndrica infinita de raio a e carga por unidade de área sigma:
Para r>= a a carga aparente por unidade de comprimento é lambda=2pi asigma, logo
E(r)=lambda2pivarepsilon0,r =a,sigmavarepsilon0,r(hat r),,
e para r<a o campo dentro do metal é nulo:
E(r)=0(r<a),

Passo 3

Calcular o potencial externo escolhendo a referência V(a)=0. Para r>= a:
V(r)-V(a) =-integrala^rE(r'),dr' =-integrala^ra,sigmavarepsilon0,r',dr' =-a,sigmavarepsilon0l[ln r'r]a^r =-a,sigmavarepsilon0lnra,
Como V(a)=0, fica
V(r)=a,sigmavarepsilon0lnar(r>= a),

Passo 4

Dentro do tubo ( r<a) o campo é zero, então o potencial é constante igual ao valor na superfície:
V(r)=V(a)=0(r<a),

Resposta

Para referência V(a)=0:
V(r)= a,sigmavarepsilon0lnar,,& r>= a,[1em] 0,,& r<a, ]

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