( 28 ptos) O \mathrm{ScF}_{3} - fluoreto de escândio é um sal pouco muito pouco solúvel usado na fabricação de lâmpadas especiais. Se esse sal for colocado em água:
a) qual a a solubilidade molar do sal (S), expressa em \mathrm{mol} \mathrm{L}^{-1} ?
b) qual a concentração de íons \mathrm{Sc}^{3+} e de \mathrm{F}^{-}na solução (expresso em \mathrm{mg} \mathrm{L}^{-1} ) ?
c) se o \mathrm{ScF}_{3} fosse dissolvido em um solvente apolar (hexano, por exemplo) em vez de água, a solubilidade seria a mesma, maior ou menor que aquela calculada? Explique em função das interações intermoleculares.

Passo 1

O enunciado diz: colocar o sal \mathrm{ScF}_3 em água e pede:
  • (a) a solubilidade molar do sal, S, em \mathrm{mol\;L^{-1}};
  • (b) as concentrações de íons \mathrm{Sc}^{3+} e \mathrm{F}^- expressas em \mathrm{mg\;L^{-1}};
  • (c) comparar a solubilidade em água com a solubilidade em um solvente apolar (hexano), explicando usando interações intermoleculares.
Informações relevantes do enunciado:
  • O sal é \mathrm{ScF}_3.
  • Não foi fornecido um valor numérico de \mathrm{K_{sp}} (produto de solubilidade), que é a constante de equilíbrio que relaciona as concentrações dos íons na solução saturada. Sem um valor numérico de \mathrm{K_{sp}} não é possível obter um valor numérico final para S; posso, entretanto, derivar a expressão correta para S em função de \mathrm{K_{sp}} e apresentar como converter para \mathrm{mg\;L^{-1}}. Se você tiver o \mathrm{K_{sp}} depois, é só substituir.

Passo 2

Entendendo a dissolução e a estequiometria — escrevendo a reação de dissolução:
\mathrm{ScF}_3(s) \rightleftharpoons \mathrm{Sc}^{3+}(aq) + 3\,\mathrm{F}^{-}(aq).
Explicando passo a passo: quando 1 mol de \mathrm{ScF}_3 sólido se dissolve, ela libera 1 mol de \mathrm{Sc}^{3+} e 3 mol de \mathrm{F}^-. Isso é a base para relacionar a solubilidade do sólido com as concentrações dos íons.

Passo 3

Definição do produto de solubilidade \mathrm{K_{sp}} e como ele se aplica aqui:
  • Para um sal que se dissolve conforme acima, o \mathrm{K_{sp}} é dado por
\mathrm{K_{sp}} = [\mathrm{Sc}^{3+}]\;[\mathrm{F}^{-}]^3.
  • Aqui [\cdot] significa concentração em \mathrm{mol\;L^{-1}} em equilíbrio saturado.
Agora introduzimos a solubilidade molar S:
  • Por definição, se S é a solubilidade molar de \mathrm{ScF}_3 (ou seja, mol de \mathrm{ScF}_3 dissolvido por litro), então, pela estequiometria,
[\mathrm{Sc}^{3+}] = S,\qquad [\mathrm{F}^{-}] = 3S.
Expliquei: a cada mol de sal dissolvido aparece 1 mol de \mathrm{Sc}^{3+} e 3 mol de \mathrm{F}^-.

Passo 4

Substituindo essas expressões em \mathrm{K_{sp}} e resolvendo para S:
\mathrm{K_{sp}} = [\mathrm{Sc}^{3+}]\;[\mathrm{F}^{-}]^3 = S\;(3S)^3.
Calcule o fator:
(3S)^3 = 27 S^3,
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\mathrm{K_{sp}} = S \cdot 27 S^3 = 27 S^4.
Isolando S:
S^4 = \frac{\mathrm{K_{sp}}}{27},
S = \left(\frac{\mathrm{K_{sp}}}{27}\right)^{1/4}.
Explicação didática: pegamos o produto de solubilidade que envolve potências das concentrações, substituímos as dependências em S e resolvemos uma equação algébrica simples para S. Essa expressão é a forma geral — substituindo o valor numérico de \mathrm{K_{sp}} você obtém S em \mathrm{mol\;L^{-1}}.

Passo 5

Concentrações molares dos íons em termos de S (repetindo para clareza):
[\mathrm{Sc}^{3+}] = S = \left(\frac{\mathrm{K_{sp}}}{27}\right)^{1/4},
[\mathrm{F}^{-}] = 3S = 3\left(\frac{\mathrm{K_{sp}}}{27}\right)^{1/4}.
Comentário prático: essas são as concentrações que aparecem no equilíbrio saturado. Se você tiver \mathrm{K_{sp}} numérico, calcula S pela fórmula do Passo 4 e, em seguida, multiplica por 3 para obter [\mathrm{F}^-].

Passo 6

Como converter concentrações molares em \mathrm{mg\;L^{-1}} — princípio e fórmulas:
  • Para converter uma concentração molar (\mathrm{mol\;L^{-1}}) em \mathrm{mg\;L^{-1}}, multiplicamos pela massa molar do íon em \mathrm{g\;mol^{-1}} e por 1000 para transformar gramas em miligramas:
\text{concentração (mg L}^{-1}\text{)} = \text{concentração (mol L}^{-1}\text{)} \times M(\text{g mol}^{-1}) \times 1000.çãçã
  • Massa atômica aproximada (utilizarei valores com 3 algarismos significativos):
M(\mathrm{Sc}) \approx 44{,}96\\ \mathrm{g\;mol^{-1}},\qquad M(\mathrm{F}) \approx 19{,}00\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}.
Observação: o íon \mathrm{Sc}^{3+} tem praticamente a mesma massa atômica do átomo neutro (a massa dos elétrons é desprezível neste cálculo).

Passo 7

Aplicando a fórmula de conversão às concentrações dos íons (resultados simbólicos em função de S):
  • Para \mathrm{Sc}^{3+}:
\text{[Sc}^{3+}\text{] (mg L}^{-1}\text{)} = S\\ (\mathrm{mol\;L^{-1}})\times 44{,}96\\ (\mathrm{g\;mol^{-1}})\times 1000\\ (\mathrm{mg\;g^{-1}}).
Portanto
\text{[Sc}^{3+}\text{] (mg L}^{-1}\text{)} = 44{,}96\times 1000\;S = 44960\;S.
  • Para \mathrm{F}^- (lembre que [\mathrm{F}^-]=3S e M(\mathrm{F})=19{,}00\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}):
\text{[F}^-\text{] (mg L}^{-1}\text{)} = 3S \times 19{,}00 \times 1000 = 57{,}00\times 1000\;S = 57000\;S.
Explicação: os fatores numéricos vêm de multiplicar as massas molares e converter para mg. Assim, se você calcular numericamente S, basta multiplicar por 44960 para obter [\mathrm{Sc}^{3+}] em \mathrm{mg\;L^{-1}} e por 57000 para obter [\mathrm{F}^-] em \mathrm{mg\;L^{-1}}.

Passo 8

O que fazer se você tiver um valor numérico de \mathrm{K_{sp}} (procedimento prático):
  1. Calcule S=\left(\dfrac{\mathrm{K_{sp}}}{27}\right)^{1/4}.
  2. Calcule [\mathrm{Sc}^{3+}]=S e [\mathrm{F}^-]=3S em \mathrm{mol\;L^{-1}}.
  3. Converta para \mathrm{mg\;L^{-1}} usando os fatores 44960 e 57000 multiplicando por S, como no Passo 7.
    Isso é rápido de fazer na prova com uma calculadora científica.

Passo 9

Explicação qualitativa (parte c) — por que a solubilidade em um solvente apolar é muito menor:
  • Em água (solvente polar), íons \mathrm{Sc}^{3+} e \mathrm{F}^- são estabilizados fortemente por interações íon-dipolo com as moléculas de água: as moléculas de água orientam suas cargas parciais (oxigênio negativo perto de \mathrm{Sc}^{3+}; hidrogênios positivos perto de \mathrm{F}^-) formando uma camada de solvatação que compensa a energia necessária para separar os íons da rede cristalina (energia de rede).
  • Em um solvente apolar como hexano, não há dipolos significativos para estabilizar íons. As interações predominantes em hexano são dipolo induzido-dipolo induzido (forças de London), que são fracas e não compensam a separação íon-íon da rede cristalina. Logo, a energia de solvatação em hexano seria muito baixa comparada à energia de rede do \mathrm{ScF}_3.
  • Conclusão clara e prática: a solubilidade de \mathrm{ScF}_3 em um solvente apolar será muito menor (praticamente nula) do que em água. Em palavras de amigo: água “abraça” os íons e os mantém separados; hexano mal nota que existem íons e, por isso, não os dissolve.

Resposta

(a) \displaystyle S=\left(\frac{\mathrm{K_{sp}}}{27}\right)^{1/4}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.\n(b) \displaystyle [\mathrm{Sc}^{3+}]=S\Rightarrow [\mathrm{Sc}^{3+}]=44960\;S\\ \mathrm{mg\;L^{-1}} \n \displaystyle [\mathrm{F}^-]=3S\Rightarrow [\mathrm{F}^-]=57000\;S\\ \mathrm{mg\;L^{-1}}.\n(c) A solubilidade em um solvente apolar (hexano) seria muito menor do que em água, porque solventes polares como a água estabilizam íons por interações íon–dipolo (fortes), enquanto solventes apolares não oferecem solvatação eficaz e, portanto, não compensam a energia de separação da rede iônica.

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