29 De acordo com a teoria do calor específico de sólidos a temperaturas extremamente baixas (perto do zero absoluto), o calor específico de um sólido varia com a temperatura absoluta T como \mathrm{s}=\mathrm{cT}^{3}. Onde c é uma constante que depende do material do sólido. Determine a energia térmica necessária para aumentar a temperatura de 0,1 \mathrm{~kg} do sólido de 0 K a 4 K .

Passo 1

O enunciado fornece que o calor específico do sólido, em função da temperatura absoluta T, é dado por
s(T)=c\,T^{3},
onde c é uma constante do material. Foi dado também que a massa do sólido é m=0{,}1\\ \mathrm{kg} e quer-se a energia térmica necessária para aquecer o sólido de T_i=0\\ \mathrm{K} até T_f=4\\ \mathrm{K}.
Informações relevantes listadas:
  • s(T)=c\,T^{3} (calor específico em função de T);
  • m=0{,}1\\ \mathrm{kg};
  • temperaturas inicial e final: T_i=0\\ \mathrm{K} e T_f=4\\ \mathrm{K};
  • o que se pede: a energia térmica Q necessária para esse aquecimento.

Passo 2

Conceito físico e fórmula básica: o calor elementar necessário para aumentar a temperatura de uma massa m por um incremento dT é
dQ = m\,s(T)\,dT.
Aqui:
  • dQ é um pequeno aporte de energia (em joules, \mathrm{J});
  • m é a massa (em quilogramas, \mathrm{kg});
  • s(T) é o calor específico dependente de T (em \mathrm{J/(kg\cdot K)});
  • dT é um pequeno incremento de temperatura (em kelvin, \mathrm{K}).
    Para obter a energia total Q ao aquecer de T_i a T_f integra-se:
Q = \int_{T_i}^{T_f} m\,s(T)\,dT.

Passo 3

Aplicando a expressão dada s(T)=c\,T^{3} na integral do passo anterior, obtemos
Q = m \int_{T_i}^{T_f} c\,T^{3}\,dT.
Como m e c são constantes (não dependem de T), podem ser colocadas fora da integral:
Q = m\,c \int_{T_i}^{T_f} T^{3}\,dT.

Passo 4

Calcule a integral \displaystyle \int T^{3}\,dT. A antiderivada de T^{3} é \tfrac{1}{4}T^{4}. Logo,
\int_{T_i}^{T_f} T^{3}\,dT = \left[\tfrac{1}{4}T^{4}\right]_{T_i}^{T_f} = \tfrac{1}{4}\bigl(T_f^{4}-T_i^{4}\bigr).
Substituindo em Q:
Q = m\,c\cdot \tfrac{1}{4}\bigl(T_f^{4}-T_i^{4}\bigr).

Passo 5

Agora plugue os valores numéricos m=0{,}1\\ \mathrm{kg}, T_i=0\\ \mathrm{K} e T_f=4\\ \mathrm{K}. Como T_i^{4}=0 e 4^{4}=256, tem-se
Q = 0{,}1\cdot c\cdot \tfrac{1}{4}\cdot 256.
Calcule passo a passo:
\tfrac{1}{4}\cdot 256 = 64,
portanto
Q = 0{,}1\cdot c\cdot 64 = 6{,}4\,c.
Unidades: c tem as unidades necessárias para que s(T)=cT^{3} seja \mathrm{J/(kg\cdot K)}; assim Q fica em joules (\mathrm{J}). Verificação dimensional rápida: m em \mathrm{kg} vezes c em \mathrm{J/(kg\cdot K^{4})} vezes T^{4} em \mathrm{K^{4}} \mathrm{J}, consistente.

Passo 6

Interpretação final e dica prática: a resposta ficou em função da constante c do material, porque o enunciado não forneceu um valor numérico para c. Se, na prova, derem um valor para c (por exemplo em \mathrm{J/(kg\cdot K^{4})}), basta multiplicar esse valor por 6{,}4 para obter Q em joules. Mantém a forma simples para usar rapidamente durante a prova.

Resposta

Q = 6{,}4\,c\\ \mathrm{J}

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