29 De acordo com a teoria do calor específico de sólidos a temperaturas extremamente baixas (perto do zero absoluto), o calor específico de um sólido varia com a temperatura absoluta T como
. Onde c é uma constante que depende do material do sólido. Determine a energia térmica necessária para aumentar a temperatura de
do sólido de 0 K a 4 K .
Passo 1
O enunciado fornece que o calor específico do sólido, em função da temperatura absoluta
, é dado por
onde
é uma constante do material. Foi dado também que a massa do sólido é
e quer-se a energia térmica necessária para aquecer o sólido de
até
.
Informações relevantes listadas:
Informações relevantes listadas:
-
(calor específico em função de ); -
; - temperaturas inicial e final:
e ; - o que se pede: a energia térmica
necessária para esse aquecimento.
Passo 2
Conceito físico e fórmula básica: o calor elementar necessário para aumentar a temperatura de uma massa
por um incremento
é
Aqui:
-
é um pequeno aporte de energia (em joules, ); -
é a massa (em quilogramas, ); -
é o calor específico dependente de (em ); -
é um pequeno incremento de temperatura (em kelvin, ).
Para obter a energia totalao aquecer de a integra-se:
Passo 3
Aplicando a expressão dada
na integral do passo anterior, obtemos
Como
e
são constantes (não dependem de
), podem ser colocadas fora da integral:
Passo 4
Calcule a integral
. A antiderivada de
é
. Logo,
Substituindo em
:
Passo 5
Agora plugue os valores numéricos
,
e
. Como
e
, tem-se
Calcule passo a passo:
portanto
Unidades:
tem as unidades necessárias para que
seja
; assim
fica em joules
. Verificação dimensional rápida:
em
vezes
em
vezes
em
dá
, consistente.
Passo 6
Interpretação final e dica prática: a resposta ficou em função da constante
do material, porque o enunciado não forneceu um valor numérico para
. Se, na prova, derem um valor para
(por exemplo em
), basta multiplicar esse valor por
para obter
em joules. Mantém a forma simples para usar rapidamente durante a prova.