26 Em um recipiente cujo equivalente em água é de 50 g são colocados 150 g de água a uma temperatura de
. Um bloco de gelo de 200 g de massa a
é colocado no recipiente. Determine a composição final do sistema.
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. O enunciado coloca num recipiente (com equivalente em água) uma água quente e depois um bloco de gelo frio. Pergunta-se a composição final do sistema (ou seja, qual será a temperatura final e quanto de água e quanto de gelo ficarão no equilíbrio). Informações dadas:
- equivalente em água do recipiente:
(isto significa que o recipiente tem a mesma capacidade térmica de de água); - massa de água quente:
com temperatura inicial ; - massa do bloco de gelo:
com temperatura inicial ; - calor específico do gelo:
(fornecido); - calor específico da água:
(valor padrão); - calor latente de fusão do gelo (valor padrão utilizado):
.
O que se pede: determinar a composição final do sistema (temperatura final e massas de água e gelo no equilíbrio).
Passo 2
Princípio físico que vamos usar (explicação didática): energia térmica é conservada. O calor perdido pelos corpos quentes será igual ao calor ganho pelos corpos frios, desprezando trocas com o ambiente. O recipiente foi dado por “equivalente em água”, então podemos tratá-lo como
de água no balanço térmico. Em símbolos, para um equilíbrio sem perda:
onde sinais são escolhidos conforme conveniência (a seguir vou igualar calor liberado por quentes ao calor absorvido por frios). Precisamos também considerar processos distintos: aquecer gelo de
até
, fundir o gelo (se houver calor suficiente) e aquecer a água resultante até a temperatura final; e, por outro lado, esfriar a água quente + recipiente até a temperatura final.
Passo 3
Vamos primeiro testar a hipótese “todo o gelo derrete” (caso mais simples). Se todo o gelo derreter, a temperatura final
será maior ou igual a
. Escrevendo os termos de calor (tudo em calorias):
Calor liberado por água quente + recipiente ao esfriar de
para
:
Substituindo valores:
Calor absorvido pelo gelo para ir de
até
(passos: aquecer até
, fundir, aquecer água até
):
Substituindo valores:
Equilibrando
:
Vamos resolver essa equação.
Passo 4
Resolver a equação do passo anterior (desenvolvimento detalhado):
Calcular
:
Logo:
Passando termos semelhantes para um lado:
Interpretando: obtivemos
, que é incompatível com a hipótese inicial
(pois ao assumir “todo gelo derrete” forçamos
). Portanto a hipótese “todo o gelo derrete” é falsa: não há calor suficiente para fundir todo o gelo. Conclusão: o equilíbrio ocorrerá a
com parte do gelo não fundida (porque quando parte do sistema está em coexistência sólido-líquido a temperatura fixa é
).
Passo 5
Agora tratar o caso correto: equilíbrio a
. Nesse caso todo o sistema fica a
, com parte do gelo fundido. Calculamos quanto de calor está disponível para derreter gelo após esfriarem a água quente e o recipiente até
e após aquecer o gelo de
até
.
Calor total liberado pela água quente e recipiente ao esfriar de
para
:
Calor necessário apenas para aquecer o gelo de
até
:
Após esse aquecimento do gelo até
, o que resta do calor liberado é:
Passo 6
Determinar massa de gelo que pode ser derretida com o calor disponível. Calor necessário para fundir uma massa
de gelo é
. Logo massa fundida
satisfaz:
Portanto de
de gelo inicial, derretem
e ficam
de gelo sólido.
Passo 7
Determinar massas finais e temperatura final (resumo e interpretação didática): a temperatura final é
porque existe coexistência de gelo e água. A massa de água final é a soma da água inicial mais a massa de gelo que derreteu:
A massa de gelo restante é:
O recipiente está a
também (faz parte do equilíbrio).
Passo 8
Checagem rápida (sanity check): calor gasto para aquecer gelo a
e fundir
é
que é exatamente o calor que a água quente + recipiente entregaram ao descer de
para
:
Portanto o balanço fecha, resultado consistente.
Resposta
Temperatura final:
Massa de água no equilíbrio:
Massa de gelo no equilíbrio:
Massa de água no equilíbrio:
Massa de gelo no equilíbrio: