26 Em um recipiente cujo equivalente em água é de 50 g são colocados 150 g de água a uma temperatura de 45^{\circ} \mathrm{C}. Um bloco de gelo de 200 g de massa a -10^{\circ} \mathrm{C} é colocado no recipiente. Determine a composição final do sistema. \mathrm{c}_{\text {Gelo }}=0,5 \mathrm{cal} / \mathrm{g}{ }^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. O enunciado coloca num recipiente (com equivalente em água) uma água quente e depois um bloco de gelo frio. Pergunta-se a composição final do sistema (ou seja, qual será a temperatura final e quanto de água e quanto de gelo ficarão no equilíbrio). Informações dadas:
  • equivalente em água do recipiente: m_{\text{eq}}=50\\ \mathrm{g} (isto significa que o recipiente tem a mesma capacidade térmica de 50\\ \mathrm{g} de água);
  • massa de água quente: m_{\text{água}}=150\\ \mathrm{g}á com temperatura inicial T_{\text{água}}=45^\circ\mathrm{C}á;
  • massa do bloco de gelo: m_{\text{gelo}}=200\\ \mathrm{g} com temperatura inicial T_{\text{gelo}}=-10^\circ\mathrm{C};
  • calor específico do gelo: c_{\text{gelo}}=0,5\\ \mathrm{cal/(g\;{}^\circ C)} (fornecido);
  • calor específico da água: c_{\text{água}}=1\\ \mathrm{cal/(g\;{}^\circ C)}á (valor padrão);
  • calor latente de fusão do gelo (valor padrão utilizado): L_f=80\\ \mathrm{cal/g}.
    O que se pede: determinar a composição final do sistema (temperatura final e massas de água e gelo no equilíbrio).

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (explicação didática): energia térmica é conservada. O calor perdido pelos corpos quentes será igual ao calor ganho pelos corpos frios, desprezando trocas com o ambiente. O recipiente foi dado por “equivalente em água”, então podemos tratá-lo como 50\\ \mathrm{g} de água no balanço térmico. Em símbolos, para um equilíbrio sem perda:
Q_{\text{liberado}} + Q_{\text{absorvido}} = 0,
onde sinais são escolhidos conforme conveniência (a seguir vou igualar calor liberado por quentes ao calor absorvido por frios). Precisamos também considerar processos distintos: aquecer gelo de -10^\circ\mathrm{C} até 0^\circ\mathrm{C}, fundir o gelo (se houver calor suficiente) e aquecer a água resultante até a temperatura final; e, por outro lado, esfriar a água quente + recipiente até a temperatura final.

Passo 3

Vamos primeiro testar a hipótese “todo o gelo derrete” (caso mais simples). Se todo o gelo derreter, a temperatura final T_f será maior ou igual a 0^\circ\mathrm{C}. Escrevendo os termos de calor (tudo em calorias):
Calor liberado por água quente + recipiente ao esfriar de 45^\circ\mathrm{C} para T_f:
Q_{\text{lib}} = \bigl(m_{\text{água}} + m_{\text{eq}}\bigr)\,c_{\text{água}}\,(45 - T_f).áá
Substituindo valores:
Q_{\text{lib}} = (150 + 50)\cdot 1 \cdot (45 - T_f) = 200(45 - T_f)\\ \text{cal}.
Calor absorvido pelo gelo para ir de -10^\circ\mathrm{C} até T_f (passos: aquecer até 0^\circ, fundir, aquecer água até T_f):
Q_{\text{abs}} = m_{\text{gelo}}\,c_{\text{gelo}}\,(0 - (-10)) + m_{\text{gelo}}\,L_f + m_{\text{gelo}}\,c_{\text{água}}\,(T_f - 0).á
Substituindo valores:
Q_{\text{abs}} = 200\cdot 0,5\cdot 10 + 200\cdot 80 + 200\cdot 1\cdot T_f = 1000 + 16000 + 200T_f = 17000 + 200T_f\\ \text{cal}.
Equilibrando Q_{\text{lib}} = Q_{\text{abs}}:
200(45 - T_f) = 17000 + 200T_f.
Vamos resolver essa equação.

Passo 4

Resolver a equação do passo anterior (desenvolvimento detalhado):
200\cdot 45 - 200 T_f = 17000 + 200 T_f.
Calcular 200\cdot 45:
200\cdot 45 = 9000.
Logo:
9000 - 200 T_f = 17000 + 200 T_f.
Passando termos semelhantes para um lado:
9000 - 17000 = 200 T_f + 200 T_f,
-8000 = 400 T_f,
T_f = \frac{-8000}{400} = -20^\circ\mathrm{C}.
Interpretando: obtivemos T_f = -20^\circ\mathrm{C}, que é incompatível com a hipótese inicial T_f \ge 0^\circ\mathrm{C} (pois ao assumir “todo gelo derrete” forçamos T_f\ge0). Portanto a hipótese “todo o gelo derrete” é falsa: não há calor suficiente para fundir todo o gelo. Conclusão: o equilíbrio ocorrerá a T_f=0^\circ\mathrm{C} com parte do gelo não fundida (porque quando parte do sistema está em coexistência sólido-líquido a temperatura fixa é 0^\circ\mathrm{C}).

Passo 5

Agora tratar o caso correto: equilíbrio a T_f=0^\circ\mathrm{C}. Nesse caso todo o sistema fica a 0^\circ\mathrm{C}, com parte do gelo fundido. Calculamos quanto de calor está disponível para derreter gelo após esfriarem a água quente e o recipiente até 0^\circ\mathrm{C} e após aquecer o gelo de -10^\circ\mathrm{C} até 0^\circ\mathrm{C}.
Calor total liberado pela água quente e recipiente ao esfriar de 45^\circ\mathrm{C} para 0^\circ\mathrm{C}:
Q_{\text{lib,0}} = 200(45 - 0) = 200\cdot 45 = 9000\\ \text{cal}.
Calor necessário apenas para aquecer o gelo de -10^\circ\mathrm{C} até 0^\circ\mathrm{C}:
Q_{\text{gelo,para0}} = m_{\text{gelo}}\,c_{\text{gelo}}\, (0 - (-10)) = 200\cdot 0,5\cdot 10 = 1000\\ \text{cal}.
Após esse aquecimento do gelo até 0^\circ\mathrm{C}, o que resta do calor liberado é:
Q_{\text{disponível\_para\_fusão}} = Q_{\text{lib,0}} - Q_{\text{gelo,para0}} = 9000 - 1000 = 8000\\ \text{cal}.íã

Passo 6

Determinar massa de gelo que pode ser derretida com o calor disponível. Calor necessário para fundir uma massa m de gelo é m\,L_f. Logo massa fundida m_{\text{derretida}} satisfaz:
m_{\text{derretida}} = \frac{Q_{\text{disponível\_para\_fusão}}}{L_f} = \frac{8000}{80} = 100\\ \mathrm{g}.íã
Portanto de 200\\ \mathrm{g} de gelo inicial, derretem 100\\ \mathrm{g} e ficam 100\\ \mathrm{g} de gelo sólido.

Passo 7

Determinar massas finais e temperatura final (resumo e interpretação didática): a temperatura final é 0^\circ\mathrm{C} porque existe coexistência de gelo e água. A massa de água final é a soma da água inicial mais a massa de gelo que derreteu:
m_{\text{água,final}} = 150\\ \mathrm{g} + 100\\ \mathrm{g} = 250\\ \mathrm{g}.á
A massa de gelo restante é:
m_{\text{gelo,final}} = 200\\ \mathrm{g} - 100\\ \mathrm{g} = 100\\ \mathrm{g}.
O recipiente está a 0^\circ\mathrm{C} também (faz parte do equilíbrio).

Passo 8

Checagem rápida (sanity check): calor gasto para aquecer gelo a 0^\circ e fundir 100\\ \mathrm{g} é
1000\\ \text{cal} + 100\cdot 80 = 1000 + 8000 = 9000\\ \text{cal},
que é exatamente o calor que a água quente + recipiente entregaram ao descer de 45^\circ para 0^\circ:
200\cdot 45 = 9000\\ \text{cal}.
Portanto o balanço fecha, resultado consistente.

Resposta

Temperatura final: 0^\circ\mathrm{C}
Massa de água no equilíbrio: 250\\ \mathrm{g}
Massa de gelo no equilíbrio: 100\\ \mathrm{g}

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