283 m gramas de gelo a -20^{\circ} \mathrm{C} é misturado com m gramas de vapor de água a 150^{\circ} \mathrm{C} em um vaso de capacidade térmica desprezível. Qual é a temperatura final do sistema?

Passo 1

O enunciado dá duas porções de água em fases diferentes e pede a temperatura final do sistema depois de misturá-las em um recipiente de capacidade térmica desprezível. Dados fornecidos (peguei do enunciado):
  • Massa do gelo: 283\,m gramas, temperatura inicial do gelo \, -20^\circ\text{C}.
  • Massa do vapor: m gramas, temperatura inicial do vapor \,150^\circ\text{C}.
  • O vaso tem capacidade térmica desprezível (logo não absorve nem cede calor).
O que é pedido:
  • Determinar a temperatura final de equilíbrio térmico do sistema.

Passo 2

Vou escrever as fórmulas e os valores das constantes que vou usar (valores típicos em calorias por grama):
  • Calor sensível: a troca de calor para aquecer/esfriar uma massa m que varia de temperatura é dada por \displaystyle Q = m\,c\,\Delta T, onde c é o calor específico (cal/g.ºC) e \Delta T é a variação de temperatura (ºC).
  • Calor latente: a energia para mudar de fase sem variar a temperatura é \displaystyle Q = m\,L, onde L é o calor latente (cal/g).
Valores numéricos adotados (valores padrão usados em muitos exercícios):
  • Calor específico do gelo: \displaystyle c_{\text{gelo}} = 0{,}5\\ \text{cal/g}^\circ\text{C}.
  • Calor específico da água líquida: \displaystyle c_{\text{água}} = 1{,}0\\ \text{cal/g}^\circ\text{C}á.
  • Calor específico do vapor (gás): \displaystyle c_{\text{vapor}} \approx 0{,}48\\ \text{cal/g}^\circ\text{C}.
  • Calor latente de fusão (gelo → água): \displaystyle L_f = 80\\ \text{cal/g}.
  • Calor latente de vaporização (água → vapor): \displaystyle L_v = 540\\ \text{cal/g}.
Obs.: sempre que usar fórmulas eu explico o que cada símbolo significa, como fiz acima.

Passo 3

Calcular a energia total que o vapor de massa m fornece ao ser levado de \,150^\circ\text{C} até água líquida a \,0^\circ\text{C} (isto inclui resfriar o vapor até 100^\circ\text{C}, condensá-lo, e resfriar a água condensada até 0^\circ\text{C}).
Etapas para 1 grama de vapor:
  1. Resfriamento de 150^\circ\text{C} para 100^\circ\text{C}:
Q_1 = 1\cdot c_{\text{vapor}}\cdot(150-100) = c_{\text{vapor}}\cdot50.
  1. Condensação a 100^\circ\text{C}:
Q_2 = 1\cdot L_v.
  1. Resfriamento da água condensada de 100^\circ\text{C} para 0^\circ\text{C}:
Q_3 = 1\cdot c_{\text{água}}\cdot(100-0) = c_{\text{água}}\cdot100.áá
Somando para 1 grama de vapor:
Q_{\text{por g de vapor}} = c_{\text{vapor}}\cdot50 + L_v + c_{\text{água}}\cdot100.á
Substituindo os valores:
Q_{\text{por g de vapor}} = 0{,}48\cdot50 + 540 + 1{,}0\cdot100 = 24 + 540 + 100 = 664\\ \text{cal/g}.
Portanto a energia total liberada pelo vapor de massa m ao chegar como água a 0^\circ\text{C} é
Q_{\text{vapor,total}} = 664\,m \\ \text{cal}.

Passo 4

Calcular a energia necessária para levar o gelo de massa 283\,m de -20^\circ\text{C} até água líquida a 0^\circ\text{C} (isto é: aquecer o gelo até 0^\circ\text{C} e então fundi-lo).
Etapas para 1 grama de gelo:
  1. Aquecer de -20^\circ\text{C} até 0^\circ\text{C}:
q_1 = 1\cdot c_{\text{gelo}}\cdot(0-(-20)) = c_{\text{gelo}}\cdot20.
  1. Fusão a 0^\circ\text{C}:
q_2 = 1\cdot L_f.
Somando para 1 grama de gelo:
q_{\text{por g de gelo para virar água a }0^\circ\text{C}} = c_{\text{gelo}}\cdot20 + L_f.á
Substituindo valores:
q_{\text{por g}} = 0{,}5\cdot20 + 80 = 10 + 80 = 90\\ \text{cal/g}.
Para a massa total 283\,m g de gelo:
Q_{\text{gelo,para derreter tudo}} = 90\cdot(283\,m) = 25470\,m \\ \text{cal}.

Passo 5

Comparação entre energia disponível do vapor e energia necessária para derreter todo o gelo:
Q_{\text{vapor,total}} = 664\,m,\qquad Q_{\text{gelo,para derreter tudo}} = 25470\,m.
Claramente 664\,m < 25470\,m. Ou seja, o vapor não fornece calor suficiente para transformar todo o gelo em água a 0^\circ\text{C}.
Consequência física: o sistema não atinge uma temperatura maior que 0^\circ\text{C} (pois toda a energia liberada pelo vapor será consumida em aquecer e fundir parte do gelo). O equilíbrio final fica em \,0^\circ\text{C} com uma mistura de gelo e água (algum gelo permanece).
Portanto a temperatura final do sistema é \,0^\circ\text{C}.

Passo 6

(Complemento — útil para entender quanto de gelo derreteu)
Massa de gelo derretida m_{\text{derretida}} obtida dividindo a energia total fornecida pelo vapor pela energia necessária por grama de gelo:
m_{\text{derretida}} = \frac{Q_{\text{vapor,total}}}{90} = \frac{664\,m}{90} = \frac{332}{45}\,m \approx 7{,}377\;m\\ \text{gramas}.
Logo sobra de gelo:
m_{\text{gelo restante}} = 283\,m - \frac{332}{45}\,m \approx 275{,}622\,m\\ \text{gramas}.
Também a massa total de água líquida a 0^\circ\text{C} na mistura é a soma da água originada do vapor (massa m) mais a água do gelo derretido (massa \tfrac{332}{45}m), se isso for de interesse.

Resposta

0^\circ\text{C}

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