-29 Em um aquecedor solar, a radiação do Sol é absorvida pela água que circula em tubos em um coletor situado no telhado. A radiação solar penetra no coletor através de uma cobertura transparente e aquece a água dos tubos; em seguida, a água é bombeada para um tanque de armazenamento. Suponha que a eficiência global do sistema é de 20% (ou seja, 80% da energia solar incidente é perdida). Que área de coleta é necessária para aumentar a temperatura de 200 L de água no tanque de 20^{\circ} \mathrm{C} para 40^{\circ} \mathrm{C} em 1,0 \mathrm{~h} se a intensidade da luz solar incidente é 700 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Pedido: determinar a área de coleta necessária.
  • Dados fornecidos:
    • Volume de água no tanque: 200\\ \mathrm{L}.
    • Temperatura inicial: 20^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura final: 40^\circ\mathrm{C}.
    • Tempo disponível: 1{,}0\\ \mathrm{h}.
    • Intensidade da luz solar incidente: 700\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
    • Eficiência global do sistema: 20\% (ou seja, \eta=0{,}20), significado: somente 20\% da potência solar incidente é convertida em aquecimento útil da água (os 80\% restantes são perdas).
  • Observações úteis que já posso extrair do enunciado:
    • 1{,}0\\ \mathrm{h} = 3600\\ \mathrm{s}.
    • Para água, densidade aproximada =1{,}0\\ \mathrm{kg/L}, logo podemos converter volume em massa.
    • Fórmula básica de calor necessário: energia térmica Q = m c \Delta T, onde explicarei cada termo na resolução.

Passo 2

Converter o volume de água em massa e calcular a variação de temperatura.
  • Volume V = 200\\ \mathrm{L}. Usando densidade da água \rho \approx 1{,}0\\ \mathrm{kg/L}, m = \rho V = 1{,}0\\ \mathrm{kg/L}\times 200\\ \mathrm{L} = 200\\ \mathrm{kg}.
  • Variação de temperatura: \Delta T = 40^\circ\mathrm{C}-20^\circ\mathrm{C}=20^\circ\mathrm{C}.

Passo 3

Apresentar a fórmula para a energia necessária e explicar os termos.
  • Fórmula: Q = m c \Delta T.Explicação dos termos:
    • Q é a energia térmica necessária em joules ( \mathrm{J}).
    • m é a massa da água em quilogramas ( \mathrm{kg}).
    • c é o calor específico da água; valor usualmente usado: c = 4186\\ \mathrm{J/(kg\cdot^\circ C)}. Esse valor significa que para elevar 1\\ \mathrm{kg} de água em 1^\circ\mathrm{C} são necessárias 4186\\ \mathrm{J}.
    • \Delta T é a variação de temperatura em graus Celsius ( ^\circ\mathrm{C}) — para substâncias simples a variação em graus Celsius e Kelvin é numericamente igual.
  • Observação sobre unidades: como c tem unidades \mathrm{J/(kg\cdot^\circ C)}, ao multiplicar por m em \mathrm{kg} e \Delta T em ^\circ\mathrm{C} obtemos Q em \mathrm{J}, consistente com as unidades de energia.

Passo 4

Calcular Q numericamente, mostrando passos intermediários.
  • Substituindo m=200\\ \mathrm{kg}, c=4186\\ \mathrm{J/(kg\cdot^\circ C)} e \Delta T=20^\circ\mathrm{C}: Q = 200 \times 4186 \times 20.
  • Primeiro fazer 200\times 20: 200\times 20 = 4000.
  • Então Q = 4000 \times 4186 = 16\,744\,000\\ \mathrm{J}.(ou seja, Q = 1{,}6744\times 10^{7}\\ \mathrm{J}).

Passo 5

Determinar quanto de energia solar útil pode ser coletada por unidade de área no tempo dado.
  • Potência solar incidente por área é I = 700\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2, isto é, 700\\ \mathrm{J/s} por \mathrm{m}^2.
  • Tempo t = 1{,}0\\ \mathrm{h} = 3600\\ \mathrm{s}.
  • Energia solar incidente por \mathrm{m}^2 em t é E_{\text{inc, por área}} = I\cdot t = 700 \times 3600\\ \mathrm{J/m}^2.á
  • Calcular numericamente: I\cdot t = 700 \times 3600 = 2\,520\,000\\ \mathrm{J/m}^2.
  • Como a eficiência é \eta = 0{,}20, a energia útil coletada por \mathrm{m}^2 em t é E_{\text{útil, por área}} = \eta \, I \, t = 0{,}20 \times 2\,520\,000 = 504\,000\\ \mathrm{J/m}^2.úá

Passo 6

Montar a equação que relaciona energia necessária Q com a área A buscada.
  • A energia útil total fornecida pelo coletor de área A em tempo t é E_{\text{útil}} = \eta \, I \, A \, t.ú
  • Para satisfazer o aquecimento requerido devemos ter E_{\text{útil}} \ge Qú. Igualando para achar a área mínima, \eta \, I \, A \, t = Q \quad\Rightarrow\quad A = \frac{Q}{\eta \, I \, t}.

Passo 7

Substituir números e calcular A.
  • Substituindo Q=16\,744\,000\\ \mathrm{J} e \eta I t = 504\,000\\ \mathrm{J/m}^2 (do Passo 5): A = \frac{16\,744\,000}{504\,000}\\ \mathrm{m}^2.
  • Fazer a divisão passo a passo: A \approx 33{,}2222\\ \mathrm{m}^2.
  • Arredondando com senso prático (duas casas significativas é razoável aqui): A \approx 33{,}2\\ \mathrm{m}^2.

Passo 8

Verificação rápida de unidades e interpretação física.
  • Unidades: Q em \mathrm{J} dividido por \mathrm{J/m}^2 resulta em \mathrm{m}^2, coerente.
  • Interpretação: é uma área relativamente grande — isso acontece porque a eficiência é baixa ( 20\%) e o tempo é curto ( 1\\ \mathrm{h}). Se o tempo fosse maior ou a eficiência maior, a área necessária diminuiria.

Passo 9

Dica prática para prova e cálculo mental aproximado
  • Regra prática: calcular Q com m c \Delta T e depois dividir pela energia útil por metro quadrado \eta I t. Sempre confira conversões de tempo e massa.
  • Estimativa rápida: Q\sim 1{,}7\times10^{7}\\ \mathrm{J}, energia útil por m² \sim 5{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{J/m}^2, daí A\sim 1{,}7\times10^{7}/5{,}0\times10^{5}\approx34\\ \mathrm{m}^2 — bate com o cálculo detalhado.

Resposta

33{,}2\\ \mathrm{m}^2

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