Exemplo 02
Um próton se move ao longo do eixo
com velocidade
Enquanto ele passa próximo da origem, qual é o campo magnético nas posições
,
e
?
Um próton se move ao longo do eixo
Passo 1
O enunciado pede: enquanto o próton passa próximo da origem (isto é, tomo o instante em que a carga está no ponto
), calcular o campo magnético nos três pontos
-
, -
, -
.
Informações fornecidas e que vou usar:
- A carga é um próton, então
. - A velocidade é
com . - Os pontos estão a distâncias do centro medidas em milímetros; vou converter para metros:
. - Assumo o instante em que a carga está em
(isto está implícito pelo enunciado e pela figura), então o vetor de posição do ponto em relação à carga é simplesmente as coordenadas do ponto.
Passo 2
Qual fórmula usar e por quê (aula rápida e sem pânico): para uma carga puntiforme
movendo-se com velocidade constante
, o campo magnético no instante considerado (campo instantâneo, aproximação não-relativística) é dado por
Explicando cada símbolo:
-
é o vetor que vai da posição da carga até o ponto onde se quer o campo (em metros). -
é o módulo desse vetor (em metros). -
é a velocidade da carga (em ). -
é a carga (em coulombs). -
é a permeabilidade magnética do vácuo e vale . Por isso a constante no Sistema SI. - O produto vetorial
dá direção e sinal do campo; a magnitude do termo é , onde é o ângulo entre e .
Observação prática: quando
e
são paralelos (ou antiparalelos), o produto vetorial é zero e, portanto,
. Isso já dá uma resposta imediata para a posição sobre o eixo
.
Passo 3
Escrever os vetores posição (em metros) e calcular módulos:
- Posição 1:
Então - Posição 2:
Então - Posição 3:
Então
Passo 4
Campo em Posição 1 (ponto sobre o eixo
):
- Aqui
é paralelo a porque ambos estão na direção . Então o produto vetorial é zero:
Portanto o campo magnético em
é zero:
.
Passo 5
Campo em Posição 2 (ponto no eixo
):
- Vamos calcular o produto vetorial.
e com . O produto é
porque
.
- Substituindo na fórmula:
- Agora os números (passo a passo):
-
. -
. -
. -
então .
-
- Produto e divisão:
Simplificando
, sobra
- Em notação usual com três algarismos significativos:
Direção:
(para cima no sentido positivo de
no sistema adotado).
Passo 6
Campo em Posição 3 (ponto
):
- Primeiro o produto vetorial:
com . Então
porque
e
.
- Assim a expressão para
fica
- Cálculo numérico:
-
. -
então . Numericamente . - O numerador (como no caso anterior, com fator
extra) resulta em:
-
- Dividindo por
:
- Calculando a razão:
, então
- Direção: novamente
(positivo).