Exemplo 02
Um próton se move ao longo do eixo x com velocidade \quad v_{x}=1,0 \times 10^{7} \mathrm{~m} / \mathrm{s} Enquanto ele passa próximo da origem, qual é o campo magnético nas posições
(x, y, z)=(1 \mathrm{~mm}, 0 \mathrm{~mm}, 0 \mathrm{~mm}),
(0 \mathrm{~mm}, 1 \mathrm{~mm}, 0 \mathrm{~mm}) e (1 \mathrm{~mm}, 1 \mathrm{~mm}, 0 \mathrm{~mm}) ?

Passo 1

O enunciado pede: enquanto o próton passa próximo da origem (isto é, tomo o instante em que a carga está no ponto (0,0,0)), calcular o campo magnético nos três pontos
  • (x,y,z)=(1\\ \text{mm},0,0),
  • (x,y,z)=(0,1\\ \text{mm},0),
  • (x,y,z)=(1\\ \text{mm},1\\ \text{mm},0).
Informações fornecidas e que vou usar:
  • A carga é um próton, então q=+e=1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.
  • A velocidade é \mathbf{v}=v_x\,\hat{\mathbf{x}} com v_x=1{,}0\times10^{7}\\ \mathrm{m/s}.
  • Os pontos estão a distâncias do centro medidas em milímetros; vou converter para metros: 1\\ \text{mm}=1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • Assumo o instante em que a carga está em (0,0,0) (isto está implícito pelo enunciado e pela figura), então o vetor de posição do ponto em relação à carga é simplesmente as coordenadas do ponto.

Passo 2

Qual fórmula usar e por quê (aula rápida e sem pânico): para uma carga puntiforme q movendo-se com velocidade constante \mathbf{v}, o campo magnético no instante considerado (campo instantâneo, aproximação não-relativística) é dado por
\mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\,\frac{q\,\mathbf{v}\times\mathbf{r}}{r^{3}}.
Explicando cada símbolo:
  • \mathbf{r} é o vetor que vai da posição da carga até o ponto onde se quer o campo (em metros).
  • r=|\mathbf{r}| é o módulo desse vetor (em metros).
  • \mathbf{v} é a velocidade da carga (em \mathrm{m/s}).
  • q é a carga (em coulombs).
  • \mu_{0} é a permeabilidade magnética do vácuo e vale \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{N/A^{2}}. Por isso a constante \dfrac{\mu_{0}}{4\pi}=1{,}0\times10^{-7} no Sistema SI.
  • O produto vetorial \mathbf{v}\times\mathbf{r} dá direção e sinal do campo; a magnitude do termo \dfrac{\mathbf{v}\times\mathbf{r}}{r^{3}} é \dfrac{v r \sin\theta}{r^{3}}=\dfrac{v\sin\theta}{r^{2}}, onde \theta é o ângulo entre \mathbf{v} e \mathbf{r}.
Observação prática: quando \mathbf{v} e \mathbf{r} são paralelos (ou antiparalelos), o produto vetorial é zero e, portanto, \mathbf{B}=0. Isso já dá uma resposta imediata para a posição sobre o eixo x.

Passo 3

Escrever os vetores posição (em metros) e calcular módulos:
  • Posição 1: \mathbf{r}_1=(1{,}0\times10^{-3})\hat{\mathbf{x}}+(0)\hat{\mathbf{y}}+(0)\hat{\mathbf{z}}. Então r_1=1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • Posição 2: \mathbf{r}_2=(0)\hat{\mathbf{x}}+(1{,}0\times10^{-3})\hat{\mathbf{y}}+(0)\hat{\mathbf{z}}. Então r_2=1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • Posição 3: \mathbf{r}_3=(1{,}0\times10^{-3})\hat{\mathbf{x}}+(1{,}0\times10^{-3})\hat{\mathbf{y}}+(0)\hat{\mathbf{z}}. Então
r_3=\sqrt{(1{,}0\times10^{-3})^{2}+(1{,}0\times10^{-3})^{2}}=\sqrt{2}\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Campo em Posição 1 (ponto sobre o eixo x):
  • Aqui \mathbf{r}_1 é paralelo a \mathbf{v} porque ambos estão na direção \hat{\mathbf{x}}. Então o produto vetorial é zero:
\mathbf{v}\times\mathbf{r}_1=\mathbf{0}\quad\Rightarrow\quad \mathbf{B}_1=\mathbf{0}.
Portanto o campo magnético em (1\\ \text{mm},0,0) é zero: \mathbf{B}_1=\mathbf{0}.

Passo 5

Campo em Posição 2 (ponto no eixo y):
  • Vamos calcular o produto vetorial. \mathbf{v}=v_x\hat{\mathbf{x}} e \mathbf{r}_2=y\,\hat{\mathbf{y}} com y=1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}. O produto é
\mathbf{v}\times\mathbf{r}_2 = v_x y\,(\hat{\mathbf{x}}\times\hat{\mathbf{y}})=v_x y\,\hat{\mathbf{z}}
porque \hat{\mathbf{x}}\times\hat{\mathbf{y}}=\hat{\mathbf{z}}.
  • Substituindo na fórmula:
\mathbf{B}_2=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\,\frac{q\,v_x\,y\,\hat{\mathbf{z}}}{y^{3}}=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\,\frac{q\,v_x}{y^{2}}\,\hat{\mathbf{z}}.
  • Agora os números (passo a passo):
    • \dfrac{\mu_{0}}{4\pi}=1{,}0\times10^{-7}.
    • q=1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.
    • v_x=1{,}0\times10^{7}\\ \mathrm{m/s}.
    • y=1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m} então y^{2}=1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Produto e divisão:
B_2=\left(1{,}0\times10^{-7}\right)\frac{1{,}602\times10^{-19}\times1{,}0\times10^{7}}{1{,}0\times10^{-6}}.
Simplificando (1{,}0\times10^{-7})\times(1{,}0\times10^{7})=1, sobra
B_2=\frac{1{,}602\times10^{-19}}{1{,}0\times10^{-6}}=1{,}602\times10^{-13}\\ \mathrm{T}.
  • Em notação usual com três algarismos significativos:
\mathbf{B}_2=(1{,}60\times10^{-13}\\ \mathrm{T})\,\hat{\mathbf{z}}.
Direção: \hat{\mathbf{z}} (para cima no sentido positivo de z no sistema adotado).

Passo 6

Campo em Posição 3 (ponto (1\\ \text{mm},1\\ \text{mm},0)):
  • Primeiro o produto vetorial: \mathbf{r}_3=x\hat{\mathbf{x}}+y\hat{\mathbf{y}} com x=y=1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}. Então
\mathbf{v}\times\mathbf{r}_3 = v_x\bigl(\hat{\mathbf{x}}\times(x\hat{\mathbf{x}}+y\hat{\mathbf{y}})\bigr) = v_x\bigl(x\,\hat{\mathbf{x}}\times\hat{\mathbf{x}} + y\,\hat{\mathbf{x}}\times\hat{\mathbf{y}}\bigr) = v_x y\,\hat{\mathbf{z}},
porque \hat{\mathbf{x}}\times\hat{\mathbf{x}}=\mathbf{0} e \hat{\mathbf{x}}\times\hat{\mathbf{y}}=\hat{\mathbf{z}}.
  • Assim a expressão para \mathbf{B}_3 fica
\mathbf{B}_3=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\,\frac{q\,v_x\,y}{r_3^{3}}\,\hat{\mathbf{z}}.
  • Cálculo numérico:
    • y=1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
    • r_3=\sqrt{2}\times10^{-3}\\ \mathrm{m} então r_3^{3}=(\sqrt{2})^{3}\times10^{-9}=(2\sqrt{2})\times10^{-9}\\ \mathrm{m^{3}}. Numericamente 2\sqrt{2}\approx2{,}828427.
    • O numerador (como no caso anterior, com fator y extra) resulta em:
\left(\frac{\mu_{0}}{4\pi}\right)qv_x y = 1{,}0\times10^{-7}\times1{,}602\times10^{-19}\times1{,}0\times10^{7}\times1{,}0\times10^{-3} =1{,}602\times10^{-22}.
  • Dividindo por r_3^{3}:
B_3=\frac{1{,}602\times10^{-22}}{2{,}828427\times10^{-9}} \\ \mathrm{T} = \frac{1{,}602}{2{,}828427}\times10^{-13}\\ \mathrm{T}.
  • Calculando a razão: 1{,}602/2{,}828427\approx0{,}566, então
B_3\approx5{,}66\times10^{-14}\\ \mathrm{T}.
  • Direção: novamente \hat{\mathbf{z}} (positivo).

Resposta

\mathbf{B}_1=\mathbf{0}
\mathbf{B}_2=(1{,}60\times10^{-13}\\ \mathrm{T})\,\hat{\mathbf{z}}
\mathbf{B}_3=(5{,}66\times10^{-14}\\ \mathrm{T})\,\hat{\mathbf{z}}

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