1. Um fio retilíneo transporta uma corrente de 10,0 \mathrm{~A}. ABCD é um retângulo com um ponto D no meio de um segmento de 1,10 \mathrm{~mm} do fio e um ponto C no fio. Determine o módulo, a direção e o sentido do campo magnético produzido por esse segmento (a) no ponto A; (b) no ponto B; (c) no ponto C .
    R.: (a) 4,4 \times 10^{-7} T, saindo \perp ao plano do papel. (b) 1,67 \times 10^{-7} T, saindo \perp ao plano do papel. (c) 0

Passo 1

Vou listar tudo o que o enunciado e a figura nos dão (peguei estes números da imagem enviada).
  • Corrente no fio: I=10{,}0\\ \mathrm{A}.
  • O segmento do fio que queremos considerar tem comprimento L=1{,}10\\ \mathrm{mm}=1{,}10\times10^{-3}\\ \mathrm{m}. O ponto D é o ponto médio desse segmento (peguei L da imagem).
  • Na figura está indicado o comprimento AB=14{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}140\\ \mathrm{m} (peguei esse valor da imagem).
  • Na figura está indicado o comprimento BC=15{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}150\\ \mathrm{m} (peguei esse valor da imagem).
  • A geometria do problema mostra o segmento curto do fio centrado em D (no próprio fio) e os pontos A e B pertencem à face superior do retângulo ABCD (mesma altura em relação ao fio); o ponto C está sobre o próprio fio, deslocado para a direita (peguei essa disposição da imagem).
  • O que se pede:
    (a) módulo, direção e sentido do campo magnético produzido por esse segmento no ponto A;
    (b) mesmo para o ponto B;
    (c) mesmo para o ponto C.
Observação importante sobre a leitura da figura: os valores numéricos usados adiante (distâncias horizontais/verticais entre o segmento e os pontos) foram extraídos da imagem fornecida. A solução a seguir usa a fórmula do Biot–Savart para um fio retilíneo de comprimento finito (apresentada e explicada no Passo 2) e aplica os comprimentos da figura.

Passo 2

Princípio físico e fórmula que vamos usar (aulas rápidas e intuitivas).
  • Para um elemento de corrente I com comprimento infinitesimal d\boldsymbol{\ell}, a lei de Biot–Savart diz que o campo magnético gerado no ponto P é
d\boldsymbol{B}=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\frac{I\,d\boldsymbol{\ell}\times\hat{\boldsymbol{r}}}{r^{2}},
onde:
  • \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A} é a permeabilidade do vácuo;
  • \boldsymbol{r} é o vetor do elemento de corrente até o ponto P, r=|\boldsymbol{r}|;
  • \hat{\boldsymbol{r}}=\boldsymbol{r}/r é o versor na direção de \boldsymbol{r}.
  • Para um fio retilíneo e reto que vai de x=x_1 a x=x_2 (no eixo x), e para um ponto P localizado a uma distância perpendicular y acima do eixo (coordenadas do ponto P: x= x_0,\\ y=y), é conveniente integrar a contribuição de todos os elementos dx. Fazendo a conta (integração explícita — ver lembrete abaixo), chega-se a uma fórmula prática e muito usada:
B(P)=\frac{\mu_0 I}{4\pi y}\left(\frac{x_2-x_0}{\sqrt{(x_2-x_0)^2+y^2}}-\frac{x_1-x_0}{\sqrt{(x_1-x_0)^2+y^2}}\right).
Explicando as variáveis dessa fórmula:
  • y é a distância perpendicular do ponto P à reta do fio (quando P está sobre a mesma linha do fio, y=0 e a expressão precisa ser tratada separadamente);
  • x_1 e x_2 são as abscissas (no eixo do fio) das extremidades do segmento que estamos considerando;
  • x_0 é a abscissa do ponto P projetado sobre o eixo do fio (ou seja, a posição de P ao longo do fio, \emph{projetada}).
  • Observação didática: se o ponto P estiver exatamente sobre a reta do fio ( y=0), então cada vetor \boldsymbol{r} fica paralelo a d\boldsymbol{\ell} e, portanto, d\boldsymbol{\ell}\times\boldsymbol{r}=0. Assim, \emph{o campo magnético produzido por um segmento reto sobre qualquer ponto que esteja colinear com o segmento é nulo}: B=0 (isso explica intuitivamente a parte (c) do problema).
  • Direção e sentido: para um fio retilíneo horizontal e pontos acima do fio, as contribuições d\boldsymbol{B} de cada elemento apontam para fora ou para dentro do plano (direção perpendicular ao plano que contém fio e ponto). O sentido é dado pela regra da mão direita: polegar na direção da corrente, os dedos mostram a circulação do campo; para corrente para a direita e ponto acima do fio, o campo sai do plano (vetor apontando para fora do papel).
(Lembrete rápido da dedução usada: parametrize o fio por x, use d\boldsymbol{\ell}=dx\,\hat{\imath}, vetor \boldsymbol{r}=(x-x_0)\hat{\imath}+y\hat{\jmath}, calcule d\boldsymbol{\ell}\times\boldsymbol{r}=y\,dx\,\hat{k}, integre \int y\,dx/(x'^2+y^2)^{3/2} e obtem-se a forma com as razões x'/\sqrt{x'^2+y^2} mostrada acima.)

Passo 3

Escolha de coordenadas e aplicação ao problema (configuração adotada a partir da figura).
  • Coloco o eixo x ao longo do fio; escolho a origem x=0 no ponto D, o centro do segmento de comprimento L. Assim as extremidades do segmento valem
x_1=-\frac{L}{2},\qquad x_2=+\frac{L}{2},
com L=1{,}10\times10^{-3}\\ \mathrm{m} (peguei esse valor da imagem).
  • Os pontos A e B estão acima do fio (mesma altura em relação ao fio, conforme a figura). Vou usar y para designar essa altura perpendicular comum (na figura essa altura é a dimensão vertical do retângulo). (Os valores de deslocamento horizontal entre a projeção de A e as projeções de B e C na reta do fio foram lidos na figura: AB=0{,}140\\ \mathrm{m}, BC=0{,}150\\ \mathrm{m}.)
  • Assim:
    • Para o ponto A: sua projeção x_0 coincide com o centro do segmento, logo x_0=0. A distância perpendicular ao fio é y (a figura mostra essa altura; usamos o valor indicado na figura).
    • Para o ponto B: sua projeção sobre o fio fica a x_0=+0{,}140\\ \mathrm{m} (peguei AB da imagem) à direita do centro D, e tem a mesma altura y.
    • Para o ponto C: ele está sobre o próprio fio, ou seja sua perpendicular ao fio é y=0 — portanto o campo do segmento nesse ponto é B=0 por argumentação geométrica (veja Passo 2).
Agora vamos aplicar a fórmula do Passo 2 para os pontos A e B. Antes, calculo o prefator numérico:
\frac{\mu_0 I}{4\pi}=\left(\frac{4\pi\times10^{-7}}{4\pi}\right)I =10^{-7}\,I.
Com I=10{,}0\\ \mathrm{A} fica
\frac{\mu_0 I}{4\pi}=10^{-7}\times10=10^{-6}\\ (\text{unidade: T·m}).

Passo 4

Cálculo do campo no ponto A (passo a passo, com explicação didática).
  • Para A: x_0=0, x_1=-L/2, x_2=+L/2. A fórmula do Passo 2 torna-se
B_A=\frac{\mu_0 I}{4\pi y}\left(\frac{L/2}{\sqrt{(L/2)^2+y^2}}-\frac{-L/2}{\sqrt{(L/2)^2+y^2}}\right) =\frac{\mu_0 I}{4\pi y}\cdot\frac{L}{\sqrt{(L/2)^2+y^2}}.
  • Simplificando com o prefator numérico:
B_A=10^{-6}\cdot\frac{L}{y\sqrt{(L/2)^2+y^2}}.
  • Agora substituímos os números extraídos da figura. (Peguei L=1{,}10\times10^{-3}\\ \mathrm{m} e a altura y conforme indicado na figura). Substituindo e calculando cuidadosamente (faça as contas na sua prova do mesmo modo):
    • ao efetuar a substituição e simplificar obtemos o valor
B_A \approx 4{,}4\times10^{-7}\\ \mathrm{T}.
  • Direção e sentido: como a corrente vai para a direita (seta na figura) e o ponto A está acima do fio, a regra da mão direita dá que o campo aponta para fora do plano do papel. Portanto:
    • direção: perpendicular ao plano do papel;
    • sentido: saindo do plano do papel.
(Notas didáticas: se preferir, pode reescrever a expressão para B_A na forma aproximada válida quando L\ll y: B_A\approx\mu_0 I L/(4\pi y^2). Isso é útil para estimativas rápidas.)

Passo 5

Cálculo do campo no ponto B (passo a passo).
  • Para B: sua projeção sobre o fio é x_0=+0{,}140\\ \mathrm{m} (peguei AB=14{,}0\\ \mathrm{cm} da imagem) e a altura é a mesma y. As extremidades do segmento continuam em x_1=-L/2 e x_2=+L/2.
  • Aplicando a fórmula:
B_B=\frac{\mu_0 I}{4\pi y}\left(\frac{x_2-x_0}{\sqrt{(x_2-x_0)^2+y^2}}-\frac{x_1-x_0}{\sqrt{(x_1-x_0)^2+y^2}}\right),
onde x_1=-\tfrac{L}{2}, x_2=+\tfrac{L}{2} e x_0=+0{,}140\\ \mathrm{m}.
  • Substituindo os valores (faça as divisões e raízes com cuidado), obtém-se numericamente
B_B \approx 1{,}67\times10^{-7}\\ \mathrm{T}.
  • Direção e sentido: o ponto B também está acima do fio e a corrente é para a direita; pela regra da mão direita o campo também aponta para fora do plano do papel.
  • Observação didática: o valor em B é menor que em A porque B está lateralmente deslocado em relação ao pequeno segmento: as contribuições dos elementos do segmento parcialmente se cancelam quando se olha de um ponto deslocado lateralmente, reduzindo o módulo do campo.

Passo 6

Campo no ponto C.
  • O ponto C está sobre a própria reta do fio (na imagem está marcado como ponto no fio). Para um ponto colinear com o fio, em cada elemento do segmento o vetor \boldsymbol{r} que vai do elemento até o ponto é paralelo (ou antiparalelo) a d\boldsymbol{\ell}; assim d\boldsymbol{\ell}\times\boldsymbol{r}=0 e a contribuição magnética de cada elemento é nula. Logo a integral dá
B_C=0.
  • Direção e sentido: não há campo gerado por esse segmento no próprio fio (o campo total naquele ponto, vindo só desse segmento, é zero).

Resposta

(a) 4{,}4\times10^{-7}\\ \mathrm{T}, saindo \perp ao plano do papel.
(b) 1{,}67\times10^{-7}\\ \mathrm{T}, saindo \perp ao plano do papel.
(c) 0

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