- Um fio retilíneo transporta uma corrente de
. ABCD é um retângulo com um ponto D no meio de um segmento de
do fio e um ponto C no fio. Determine o módulo, a direção e o sentido do campo magnético produzido por esse segmento (a) no ponto A; (b) no ponto B; (c) no ponto C .
R.: (a)
, saindo
ao plano do papel. (b)
, saindo
ao plano do papel. (c) 0
R.: (a)
Passo 1
Vou listar tudo o que o enunciado e a figura nos dão (peguei estes números da imagem enviada).
- Corrente no fio:
. - O segmento do fio que queremos considerar tem comprimento
. O ponto é o ponto médio desse segmento (peguei da imagem). - Na figura está indicado o comprimento
(peguei esse valor da imagem). - Na figura está indicado o comprimento
(peguei esse valor da imagem). - A geometria do problema mostra o segmento curto do fio centrado em
(no próprio fio) e os pontos e pertencem à face superior do retângulo ABCD (mesma altura em relação ao fio); o ponto está sobre o próprio fio, deslocado para a direita (peguei essa disposição da imagem). - O que se pede:
(a) módulo, direção e sentido do campo magnético produzido por esse segmento no ponto;
(b) mesmo para o ponto;
(c) mesmo para o ponto.
Observação importante sobre a leitura da figura: os valores numéricos usados adiante (distâncias horizontais/verticais entre o segmento e os pontos) foram extraídos da imagem fornecida. A solução a seguir usa a fórmula do Biot–Savart para um fio retilíneo de comprimento finito (apresentada e explicada no Passo 2) e aplica os comprimentos da figura.
Passo 2
Princípio físico e fórmula que vamos usar (aulas rápidas e intuitivas).
- Para um elemento de corrente
com comprimento infinitesimal , a lei de Biot–Savart diz que o campo magnético gerado no ponto é
onde:
-
é a permeabilidade do vácuo; -
é o vetor do elemento de corrente até o ponto , ; -
é o versor na direção de . - Para um fio retilíneo e reto que vai de
a (no eixo ), e para um ponto localizado a uma distância perpendicular acima do eixo (coordenadas do ponto : ), é conveniente integrar a contribuição de todos os elementos . Fazendo a conta (integração explícita — ver lembrete abaixo), chega-se a uma fórmula prática e muito usada:
Explicando as variáveis dessa fórmula:
-
é a distância perpendicular do ponto à reta do fio (quando está sobre a mesma linha do fio, e a expressão precisa ser tratada separadamente); -
e são as abscissas (no eixo do fio) das extremidades do segmento que estamos considerando; -
é a abscissa do ponto projetado sobre o eixo do fio (ou seja, a posição de ao longo do fio, \emph{projetada}). - Observação didática: se o ponto
estiver exatamente sobre a reta do fio ( ), então cada vetor fica paralelo a e, portanto, . Assim, \emph{o campo magnético produzido por um segmento reto sobre qualquer ponto que esteja colinear com o segmento é nulo}: (isso explica intuitivamente a parte (c) do problema). - Direção e sentido: para um fio retilíneo horizontal e pontos acima do fio, as contribuições
de cada elemento apontam para fora ou para dentro do plano (direção perpendicular ao plano que contém fio e ponto). O sentido é dado pela regra da mão direita: polegar na direção da corrente, os dedos mostram a circulação do campo; para corrente para a direita e ponto acima do fio, o campo sai do plano (vetor apontando para fora do papel).
(Lembrete rápido da dedução usada: parametrize o fio por
, use
, vetor
, calcule
, integre
e obtem-se a forma com as razões
mostrada acima.)
Passo 3
Escolha de coordenadas e aplicação ao problema (configuração adotada a partir da figura).
- Coloco o eixo
ao longo do fio; escolho a origem no ponto , o centro do segmento de comprimento . Assim as extremidades do segmento valem
com
(peguei esse valor da imagem).
- Os pontos
e estão acima do fio (mesma altura em relação ao fio, conforme a figura). Vou usar para designar essa altura perpendicular comum (na figura essa altura é a dimensão vertical do retângulo). (Os valores de deslocamento horizontal entre a projeção de e as projeções de e na reta do fio foram lidos na figura: , .) - Assim:
- Para o ponto
: sua projeção coincide com o centro do segmento, logo . A distância perpendicular ao fio é (a figura mostra essa altura; usamos o valor indicado na figura). - Para o ponto
: sua projeção sobre o fio fica a (peguei da imagem) à direita do centro , e tem a mesma altura . - Para o ponto
: ele está sobre o próprio fio, ou seja sua perpendicular ao fio é — portanto o campo do segmento nesse ponto é por argumentação geométrica (veja Passo 2).
- Para o ponto
Agora vamos aplicar a fórmula do Passo 2 para os pontos
e
. Antes, calculo o prefator numérico:
Com
fica
Passo 4
Cálculo do campo no ponto
(passo a passo, com explicação didática).
- Para
: , , . A fórmula do Passo 2 torna-se
- Simplificando com o prefator numérico:
- Agora substituímos os números extraídos da figura. (Peguei
e a altura conforme indicado na figura). Substituindo e calculando cuidadosamente (faça as contas na sua prova do mesmo modo): - ao efetuar a substituição e simplificar obtemos o valor
- Direção e sentido: como a corrente vai para a direita (seta na figura) e o ponto
está acima do fio, a regra da mão direita dá que o campo aponta para fora do plano do papel. Portanto: - direção: perpendicular ao plano do papel;
- sentido: saindo do plano do papel.
(Notas didáticas: se preferir, pode reescrever a expressão para
na forma aproximada válida quando
:
. Isso é útil para estimativas rápidas.)
Passo 5
Cálculo do campo no ponto
(passo a passo).
- Para
: sua projeção sobre o fio é (peguei da imagem) e a altura é a mesma . As extremidades do segmento continuam em e . - Aplicando a fórmula:
onde
,
e
.
- Substituindo os valores (faça as divisões e raízes com cuidado), obtém-se numericamente
- Direção e sentido: o ponto
também está acima do fio e a corrente é para a direita; pela regra da mão direita o campo também aponta para fora do plano do papel. - Observação didática: o valor em
é menor que em porque está lateralmente deslocado em relação ao pequeno segmento: as contribuições dos elementos do segmento parcialmente se cancelam quando se olha de um ponto deslocado lateralmente, reduzindo o módulo do campo.
Passo 6
Campo no ponto
.
- O ponto
está sobre a própria reta do fio (na imagem está marcado como ponto no fio). Para um ponto colinear com o fio, em cada elemento do segmento o vetor que vai do elemento até o ponto é paralelo (ou antiparalelo) a ; assim e a contribuição magnética de cada elemento é nula. Logo a integral dá
- Direção e sentido: não há campo gerado por esse segmento no próprio fio (o campo total naquele ponto, vindo só desse segmento, é zero).
Resposta
(a)
, saindo
ao plano do papel.
(b) , saindo
ao plano do papel.
(c)
(b)
(c)