29.1 Uma cultura de E. coli cresceu em lactose existente em um reator de mistura perfeita (
litro), usando várias taxas de escoamento de uma alimentação com
de lactose
. Os seguintes resultados foram obtidos:
Concentração de células, arbitrária
0,2
4
15,6
0,4
10
15
0,8
40
12
1,0
100
6
|
|
|
Concentração de células, arbitrária |
| 0,2 | 4 | 15,6 |
| 0,4 | 10 | 15 |
| 0,8 | 40 | 12 |
| 1,0 | 100 | 6 |
Passo 1
O enunciado fornece um reator de mistura perfeita com volume
, alimentação com concentração de lactose
e a tabela de condições de regime permanente:
As perguntas que vamos responder (inferidas do tipo de dados fornecidos) são:
- Determinar o rendimento
(relação entre aumento de biomassa e consumo de substrato) a partir dos estados estacionários. - Determinar os parâmetros cinéticos que relacionam a taxa específica de crescimento
com a concentração de substrato : o valor de e a constante de afinidade .
Listagem das informações relevantes dadas:
- Volume do reator:
. - Concentração de alimentação:
. - Taxas de escoamento:
em (dados na tabela). - Concentrações de substrato em regime:
(dados na tabela). - Concentrações de células em regime (unidades arbitrárias) (dados na tabela).
Passo 2
Entendendo as equações de balanço em regime estacionário (vou explicar cada coisa com calma).
- Diluição: a taxa de diluição
é dada por
Aqui
é a vazão de entrada/saída (em
) e
é o volume do reator (em
). Como
, temos simplesmente
- Equilíbrio biomassa (regime estacionário): a variação de biomassa é zero, então o balanço dá, em forma geral,
onde
é a taxa específica de crescimento (h^{-1}) e
é a concentração de células. Em regime estacionário não degenerado com células presentes, isso implica
Explicando: a população cresce com taxa
e é removida pela saída com velocidade proporcional a
; no equilíbrio essas duas velocidades se igualam.
- Balanço de substrato (regime estacionário): a equação de balanço de substrato (consumo por crescimento + saída) é
onde
é a taxa volumétrica de consumo de substrato (mg/(L·h)). Se relacionarmos
ao crescimento via rendimento
(definido como biomassa formada por substrato consumido), usamos
Substituindo
e rearranjando:
Como em regime estacionário
, podemos simplificar
dos dois lados (desde que
):
Isolando
,
Interpretação: com
a concentração de biomassa no reator é proporcional ao consumo de substrato
através do rendimento
. Isso é ótimo porque nos permite obter
diretamente dos dados.
- Relação cinética entre
e : a forma empírica mais usada para taxa específica é a forma saturável
onde
é a taxa máxima específica (quando há muito substrato) e
é a constante que indica afinidade (concentração de substrato na qual
). Para estimar
e
linearizamos a equação invertendo ambos os lados:
Isso é uma reta do tipo
com
,
, intercepto
e coeficiente angular
. Daí podemos obter
e
.
Passo 3
Calcular
(que é igual a
) e verificar o rendimento
usando
Para cada linha da tabela:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Conclusão deste passo: o rendimento
é consistente para todas as condições e vale
Passo 4
Agora vamos extrair
e
usando a linearização. Primeiro calculemos
(igual a
),
e
para cada ponto:
Tabela auxiliar (cálculos):
- Ponto 1:
, , , . - Ponto 2:
, , , . - Ponto 3:
, , , . - Ponto 4:
, , , .
A relação linear é
Vamos determinar a reta usando dois pontos (por exemplo o primeiro e o quarto), porque os dados são consistentes e caem numa reta perfeita.
Coeficiente angular
:
Intercepto
(usando o ponto 4):
Agora obtemos
e
:
Passo 5
Verificação rápida: usando
e
, calculamos a previsão de
para
:
que corresponde exatamente ao dado experimental. Para os outros pontos a coincidência também é exata, mostrando que os parâmetros encontrados descrevem perfeitamente os dados fornecidos.