29.1 Uma cultura de E. coli cresceu em lactose existente em um reator de mistura perfeita ( \boldsymbol{V}=1 litro), usando várias taxas de escoamento de uma alimentação com C_{\mathrm{A} 0}=160 \mathrm{mg} de lactose / \ell. Os seguintes resultados foram obtidos:
\nu, \ell / h C_{\mathrm{A}}, \mathrm{mg} / \ell Concentração de células, arbitrária
0,2 4 15,6
0,4 10 15
0,8 40 12
1,0 100 6

Passo 1

O enunciado fornece um reator de mistura perfeita com volume V=1\\ \ell, alimentação com concentração de lactose C_{A0}=160\\ \mathrm{mg}/\ell e a tabela de condições de regime permanente:
\begin{array}{ccc} \nu\\ (\ell/\mathrm{h}) & C_A\\ (\mathrm{mg}/\ell) & \text{Concentração de células (unid. arb.)} \\\\ 0{,}2 & 4 & 15{,}6 \\\\ 0{,}4 & 10 & 15 \\\\ 0{,}8 & 40 & 12 \\\\ 1{,}0 & 100 & 6 \end{array}çãé
As perguntas que vamos responder (inferidas do tipo de dados fornecidos) são:
  • Determinar o rendimento Y (relação entre aumento de biomassa e consumo de substrato) a partir dos estados estacionários.
  • Determinar os parâmetros cinéticos que relacionam a taxa específica de crescimento \mu com a concentração de substrato C_A: o valor de \mu_{\max} e a constante de afinidade K_s.
Listagem das informações relevantes dadas:
  • Volume do reator: V=1\\ \ell.
  • Concentração de alimentação: C_{A0}=160\\ \mathrm{mg}/\ell.
  • Taxas de escoamento: \nu em \ell/\mathrm{h} (dados na tabela).
  • Concentrações de substrato em regime: C_A (dados na tabela).
  • Concentrações de células em regime (unidades arbitrárias) (dados na tabela).

Passo 2

Entendendo as equações de balanço em regime estacionário (vou explicar cada coisa com calma).
  1. Diluição: a taxa de diluição D é dada por
D=\frac{\nu}{V}.
Aqui \nu é a vazão de entrada/saída (em \ell/\mathrm{h}) e V é o volume do reator (em \ell). Como V=1\\ \ell, temos simplesmente
D=\nu\quad(\mathrm{h}^{-1}).
  1. Equilíbrio biomassa (regime estacionário): a variação de biomassa é zero, então o balanço dá, em forma geral,
\mu X = D X,
onde \mu é a taxa específica de crescimento (h^{-1}) e X é a concentração de células. Em regime estacionário não degenerado com células presentes, isso implica
\mu = D.
Explicando: a população cresce com taxa \mu e é removida pela saída com velocidade proporcional a D; no equilíbrio essas duas velocidades se igualam.
  1. Balanço de substrato (regime estacionário): a equação de balanço de substrato (consumo por crescimento + saída) é
D C_{A0} - D C_A - r_A = 0,
onde r_A é a taxa volumétrica de consumo de substrato (mg/(L·h)). Se relacionarmos r_A ao crescimento via rendimento Y (definido como biomassa formada por substrato consumido), usamos
r_A = \frac{1}{Y}\,\mu X.
Substituindo r_A e rearranjando:
D(C_{A0}-C_A) = \frac{1}{Y}\,\mu X.
Como em regime estacionário \mu=D, podemos simplificar D dos dois lados (desde que D>0):
C_{A0}-C_A = \frac{1}{Y} X.
Isolando X,
X = Y\,(C_{A0}-C_A).
Interpretação: com \mu=D a concentração de biomassa no reator é proporcional ao consumo de substrato (C_{A0}-C_A) através do rendimento Y. Isso é ótimo porque nos permite obter Y diretamente dos dados.
  1. Relação cinética entre \mu e C_A: a forma empírica mais usada para taxa específica é a forma saturável
\mu = \mu_{\max}\,\frac{C_A}{K_s + C_A},
onde \mu_{\max} é a taxa máxima específica (quando há muito substrato) e K_s é a constante que indica afinidade (concentração de substrato na qual \mu=\tfrac{1}{2}\mu_{\max}). Para estimar \mu_{\max} e K_s linearizamos a equação invertendo ambos os lados:
\frac{1}{\mu} = \frac{1}{\mu_{\max}} + \frac{K_s}{\mu_{\max}}\cdot\frac{1}{C_A}.
Isso é uma reta do tipo y = b + m x com y=\tfrac{1}{\mu}, x=\tfrac{1}{C_A}, intercepto b=\tfrac{1}{\mu_{\max}} e coeficiente angular m=\tfrac{K_s}{\mu_{\max}}. Daí podemos obter \mu_{\max} e K_s.

Passo 3

Calcular D (que é igual a \mu) e verificar o rendimento Y usando
Y=\frac{X}{C_{A0}-C_A}.
Para cada linha da tabela:
  1. Para \nu=0{,}2\\ \ell/\mathrm{h}:
D=\nu=0{,}2\\ \mathrm{h}^{-1},\quad C_A=4\\ \mathrm{mg}/\ell,\quad X=15{,}6.
C_{A0}-C_A=160-4=156\\ \mathrm{mg}/\ell.
Y=\frac{15{,}6}{156}=0{,}1.
  1. Para \nu=0{,}4\\ \ell/\mathrm{h}:
D=0{,}4\\ \mathrm{h}^{-1},\quad C_A=10\\ \mathrm{mg}/\ell,\quad X=15.
C_{A0}-C_A=160-10=150\\ \mathrm{mg}/\ell.
Y=\frac{15}{150}=0{,}1.
  1. Para \nu=0{,}8\\ \ell/\mathrm{h}:
D=0{,}8\\ \mathrm{h}^{-1},\quad C_A=40\\ \mathrm{mg}/\ell,\quad X=12.
C_{A0}-C_A=160-40=120\\ \mathrm{mg}/\ell.
Y=\frac{12}{120}=0{,}1.
  1. Para \nu=1{,}0\\ \ell/\mathrm{h}:
D=1{,}0\\ \mathrm{h}^{-1},\quad C_A=100\\ \mathrm{mg}/\ell,\quad X=6.
C_{A0}-C_A=160-100=60\\ \mathrm{mg}/\ell.
Y=\frac{6}{60}=0{,}1.
Conclusão deste passo: o rendimento Y é consistente para todas as condições e vale
Y=0{,}1\quad(\text{unidades de célula arbitrária}\cdot\ell/\mathrm{mg}).éá

Passo 4

Agora vamos extrair \mu_{\max} e K_s usando a linearização. Primeiro calculemos \mu (igual a D), 1/\mu e 1/C_A para cada ponto:
Tabela auxiliar (cálculos):
  • Ponto 1: C_A=4, \mu=0{,}2, \dfrac{1}{\mu}=5{,}0\\ \mathrm{h}, \dfrac{1}{C_A}=0{,}25\\ \ell/\mathrm{mg}.
  • Ponto 2: C_A=10, \mu=0{,}4, \dfrac{1}{\mu}=2{,}5\\ \mathrm{h}, \dfrac{1}{C_A}=0{,}1\\ \ell/\mathrm{mg}.
  • Ponto 3: C_A=40, \mu=0{,}8, \dfrac{1}{\mu}=1{,}25\\ \mathrm{h}, \dfrac{1}{C_A}=0{,}025\\ \ell/\mathrm{mg}.
  • Ponto 4: C_A=100, \mu=1{,}0, \dfrac{1}{\mu}=1{,}0\\ \mathrm{h}, \dfrac{1}{C_A}=0{,}01\\ \ell/\mathrm{mg}.
A relação linear é
\frac{1}{\mu} = \frac{1}{\mu_{\max}} + \frac{K_s}{\mu_{\max}}\cdot\frac{1}{C_A}.
Vamos determinar a reta usando dois pontos (por exemplo o primeiro e o quarto), porque os dados são consistentes e caem numa reta perfeita.
Coeficiente angular m:
m=\frac{\dfrac{1}{\mu_4}-\dfrac{1}{\mu_1}}{\dfrac{1}{C_{A4}}-\dfrac{1}{C_{A1}}} = \frac{1{,}0 - 5{,}0}{0{,}01 - 0{,}25} = \frac{-4{,}0}{-0{,}24} = 16{,}6666667\\ (\ell\cdot\mathrm{h}/\mathrm{mg}).
Intercepto b (usando o ponto 4):
b=\frac{1}{\mu_{\max}} = \frac{1}{\mu_4} - m\cdot\frac{1}{C_{A4}} =1{,}0 - 16{,}6666667\times 0{,}01 =1{,}0 - 0{,}166666667 =0{,}833333333\\ \mathrm{h}.
Agora obtemos \mu_{\max} e K_s:
\mu_{\max} = \frac{1}{b} = \frac{1}{0{,}833333333} = 1{,}2\\ \mathrm{h}^{-1}.
\frac{K_s}{\mu_{\max}} = m \quad\Rightarrow\quad K_s = m\cdot\mu_{\max} =16{,}6666667\times 1{,}2 = 20\\ \mathrm{mg}/\ell.

Passo 5

Verificação rápida: usando \mu_{\max}=1{,}2\\ \mathrm{h}^{-1} e K_s=20\\ \mathrm{mg}/\ell, calculamos a previsão de \mu para C_A=10\\ \mathrm{mg}/\ell:
\mu = 1{,}2\cdot\frac{10}{20+10}=1{,}2\cdot\frac{10}{30}=1{,}2\cdot\frac{1}{3}=0{,}4\\ \mathrm{h}^{-1},
que corresponde exatamente ao dado experimental. Para os outros pontos a coincidência também é exata, mostrando que os parâmetros encontrados descrevem perfeitamente os dados fornecidos.

Resposta

Y=0{,}1 (unidades de célula arbitrária \cdot\ell/\mathrm{mg})
\mu_{\max}=1{,}2\\ \mathrm{h}^{-1}
K_s=20\\ \mathrm{mg}/\ell

Exercícios relacionados