O carboidrato A se decompõe na presença da enzima E. Suspeitamos também que o carboidrato B
27.4 influencia, de algum modo, essa decomposição. Para estudar esse fenômeno, foram medidas várias concentrações de A, B e E das correntes de entrada e de saida de um reator de mistura perfeita ( V =240 \mathrm{~cm}^{3} ).
(a) A partir dos seguintes dados, encontre a equação de taxa para a decomposição.
(b) O que você pode dizer a respeito do papel de B na decomposição?
(c) Você pode sugerir um mecanismo para essa reação?
C_{\mathrm{A} 0}, \mathrm{~mol} / \mathrm{m}^{3} C_{\mathrm{A}}, \mathrm{mol} / \mathrm{m}^{3} C_{\mathrm{B} 0}, \mathrm{~mol} / \mathrm{m}^{3} C_{\mathrm{EO}}, \mathrm{mol} / \mathrm{m}^{3} v, \mathrm{~cm}^{3} / \min
200 50 0 12,5 80
900 300 0 5 24
1.200 800 0 5 48
700 33,3 33,3 33,3 24
200 80 33,3 10 80
900 500 33,3 20 120

Passo 1

O enunciado pede:
(a) encontrar a equação de taxa para a decomposição do carboidrato A;
(b) dizer qual é o papel de B nessa decomposição;
(c) sugerir um mecanismo que explique os dados.
Dados fornecidos (volume do reator V=240\\ \mathrm{cm}^3) — vou listar as medidas que o enunciado deu (todos os números estão em \mathrm{mol}/\mathrm{m}^3 para concentrações e \mathrm{cm}^3/\mathrm{min} para vazão):
\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline C_{A0} & C_A & C_{B0} & C_{E0} & v\\hline 200 & 50 & 0 & 12{,}5 & 80\\hline 900 & 300 & 0 & 5 & 24\\hline 1200 & 800 & 0 & 5 & 48\\hline 700 & 33{,}3 & 33{,}3 & 33{,}3 & 24\\hline 200 & 80 & 33{,}3 & 10 & 80\\hline 900 & 500 & 33{,}3 & 20 & 120\\hline \end{array}
Observação importante: as concentrações internas do reator são dadas por C_A na tabela (concentração de saída/estado estacionário). A resolução começa a seguir usando esses dados.

Passo 2

Escrevendo o balanço de massa em regime estacionário para o reator de mistura perfeita (CSTR) para o reagente A: vazão de entrada menos vazão de saída menos consumo por reação = 0. Isolando a taxa volumétrica de consumo r (unidade \mathrm{mol}/\mathrm{m}^3/\min):
r = \frac{v}{V}\bigl(C_{A0}-C_A\bigr).
Vou calcular r para cada experiência usando V=240\\ \mathrm{cm}^3. Cálculos passo a passo:
Experiência 1:
r_1=\frac{80}{240}\bigl(200-50\bigr)=\tfrac{1}{3}\cdot150=50\\ \mathrm{mol}/\mathrm{m}^3/\min.
Experiência 2:
r_2=\frac{24}{240}\bigl(900-300\bigr)=0{,}1\cdot600=60\\ \mathrm{mol}/\mathrm{m}^3/\min.
Experiência 3:
r_3=\frac{48}{240}\bigl(1200-800\bigr)=0{,}2\cdot400=80\\ \mathrm{mol}/\mathrm{m}^3/\min.
Experiência 4:
r_4=\frac{24}{240}\bigl(700-33{,}3\bigr)=0{,}1\cdot666{,}7=66{,}67\\ \mathrm{mol}/\mathrm{m}^3/\min.
Experiência 5:
r_5=\frac{80}{240}\bigl(200-80\bigr)=\tfrac{1}{3}\cdot120=40\\ \mathrm{mol}/\mathrm{m}^3/\min.
Experiência 6:
r_6=\frac{120}{240}\bigl(900-500\bigr)=0{,}5\cdot400=200\\ \mathrm{mol}/\mathrm{m}^3/\min.
Resumo (para consulta rápida): \,r=(50,\;60,\;80,\;66{,}67,\;40,\;200)\, para as experiências 1 a 6, respectivamente.

Passo 3

Observando as primeiras três experiências, C_{B0}=0, ou seja, sem B. Elas mostram dependência com C_A e com C_{E0}. Uma hipótese natural para reações enzimáticas é a equação de Michaelis–Menten na forma (versão dependente de concentração de enzima):
r = k_{\mathrm{cat}}\,C_E\;\frac{C_A}{K_m + C_A}.
Explicando cada termo (rapidinho, didático):
  • \;r\; é a taxa volumétrica de consumo de A ( \mathrm{mol}/\mathrm{m}^3/\min).
  • \;C_E\; é a concentração da enzima ativa no reator ( \mathrm{mol}/\mathrm{m}^3).
  • \;C_A\; é a concentração do substrato A no reator ( \mathrm{mol}/\mathrm{m}^3).
  • \;k_{\mathrm{cat}}\; (unidade \min^{-1}) é a constante catalítica — quantas moléculas de A um mol de enzima converte por minuto quando saturada.
  • \;K_m\; (unidade \mathrm{mol}/\mathrm{m}^3) é a constante de Michaelis — medida da afinidade aparente entre E e A (menor K_m = maior afinidade).
Agora uso as experiências 2 e 3 (mesma C_E=5) para determinar k_{\mathrm{cat}} e K_m. Para cada uma temos:
\frac{r_2}{C_E} = k_{\mathrm{cat}}\frac{C_{A,2}}{K_m + C_{A,2}},\qquad \frac{r_3}{C_E} = k_{\mathrm{cat}}\frac{C_{A,3}}{K_m + C_{A,3}}.
Substituindo números ( r_2=60,\;C_{A,2}=300,\;r_3=80,\;C_{A,3}=800,\;C_E=5):
12 = k_{\mathrm{cat}}\frac{300}{K_m + 300},\qquad 16 = k_{\mathrm{cat}}\frac{800}{K_m + 800}.
Estas duas equações lineares em K_m e k_{\mathrm{cat}} podem ser resolvidas. Faço eliminação: da primeira,
12(K_m+300)=300k_{\mathrm{cat}}\Rightarrow 12K_m+3600=300k_{\mathrm{cat}}.
Da segunda,
16(K_m+800)=800k_{\mathrm{cat}}\Rightarrow 16K_m+12800=800k_{\mathrm{cat}}.
Multiplicando a primeira por \tfrac{4}{3} ou melhor ainda resolvendo o sistema: subtraindo \tfrac{4}{3} vezes a primeira da segunda, chega-se a
k_{\mathrm{cat}}=20\quad\text{e}\quad K_m=200.
(Se preferir conferir rápido: substitua k_{\mathrm{cat}}=20 em qualquer das duas equações e resolva para K_m; dá K_m=200.)

Passo 4

Validação com a experiência 1 (sem B): substituindo k_{\mathrm{cat}}=20 e K_m=200 na fórmula e usando C_{E,1}=12{,}5 e C_{A,1}=50:
r_{1,\text{pred}}=20\cdot12{,}5\cdot\frac{50}{200+50}=250\cdot\frac{50}{250}=50,
que coincide exatamente com r_1 medido. Portanto as três primeiras experiências são bem descritas por
r = 20\;C_E\;\frac{C_A}{200 + C_A}\qquad\text{(quando }C_B=0\text{)}.

Passo 5

Agora examinamos as experiências com C_{B0}=33{,}3 (experiências 4,5,6). Primeiro prevejo a taxa usando a mesma lei (sem efeito de B) e comparo com o observado:
Para cada experimento com B calculo r_{\text{pred}}=20\,C_E\,\dfrac{C_A}{200+C_A} e comparo com r_{\mathrm{obs}}.
Experiência 4 ( C_A=33{,}3,\;C_E=33{,}3):
r_{4,\text{pred}}=20\cdot33{,}3\cdot\frac{33{,}3}{200+33{,}3} =20\cdot33{,}3\cdot\frac{33{,}3}{233{,}3}\approx95{,}05,
porém r_4^{\mathrm{obs}}=66{,}67.
Experiência 5 ( C_A=80,\;C_E=10):
r_{5,\text{pred}}=20\cdot10\cdot\frac{80}{200+80}=200\cdot\frac{80}{280}=57{,}14,
porém r_5^{\mathrm{obs}}=40.
Experiência 6 ( C_A=500,\;C_E=20):
r_{6,\text{pred}}=20\cdot20\cdot\frac{500}{200+500}=400\cdot\frac{500}{700}=285{,}71,
porém r_6^{\mathrm{obs}}=200.
Agora compare razão r_{\mathrm{obs}}/r_{\mathrm{pred}} para cada uma:
\frac{66{,}67}{95{,}05}\approx0{,}70,\qquad \frac{40}{57{,}14}\approx0{,}70,\qquad \frac{200}{285{,}71}\approx0{,}70.
A razão é aproximadamente a mesma ( \approx0{,}70) em todas as três corridas com C_{B0}=33{,}3. Isso indica que a presença de B reduz a taxa por um fator independente de C_A e C_E. Em termos enzimáticos isso significa que a presença de B diminui a velocidade máxima aparente V_{\max}^{\mathrm{app}}=k_{\mathrm{cat}}^{\mathrm{app}}\,C_E sem alterar a dependência em C_A (isto é, não altera K_m). Esse é o comportamento típico de um inibidor não-competitivo (ou misto estrito com afinidade igual para E e ES): V_{\max} diminui, K_m permanece praticamente constante.
Modelando quantitativamente como um inibidor não-competitivo com constante de inibição K_i, a redução do k_{\mathrm{cat}} segue
k_{\mathrm{cat}}^{\mathrm{app}} = \frac{k_{\mathrm{cat}}}{1 + \dfrac{C_B}{K_i}}.
Como a razão observada é 0{,}70 para C_B=33{,}3, temos
\frac{1}{1 + \dfrac{33{,}3}{K_i}} = 0{,}70 \quad\Rightarrow\quad 1 + \dfrac{33{,}3}{K_i} = \frac{1}{0{,}7}\approx1{,}42857.
Daí
\frac{33{,}3}{K_i}\approx0{,}42857\quad\Rightarrow\quad K_i\approx\frac{33{,}3}{0{,}42857}\approx77{,}7\\ \mathrm{mol}/\mathrm{m}^3.
Portanto a lei de velocidade geral que explica todos os dados (com B possuindo efeito inibitório não-competitivo) é:
r = \frac{20}{1 + \dfrac{C_B}{77{,}7}}\;C_E\;\frac{C_A}{200 + C_A}.

Passo 6

Interpretação química e sugestão de mecanismo (didático e intuitivo):
Um mecanismo coerente com os dados é o seguinte (forma verbal + equações):
  • A enzima E se liga ao substrato A formando o complexo EA, que então se converte em produto liberando a enzima:
E + A \xrightleftharpoons[k_{-1}]{k_1} EA \xrightarrow{k_2} E + \text{produtos}.
  • O composto B liga-se à enzima em um sítio distinto (alostérico) formando EB. O complexo EB tem capacidade catalítica muito reduzida (ou nula). Assim B diminui a fração de enzima livre capaz de converter A, reduzindo a velocidade máxima, sem alterar muito a afinidade da enzima por A. Em equações:
E + B \xrightleftharpoons{k_i} EB,
e EB não gera produto com a mesma eficiência que EA (ou não gera produto). Se B pode ligar-se tanto a E quanto a EA (binding independente de A), o efeito observado é um inibidor não-competitivo puro (reduz V_{\max}, não altera K_m). Essa descrição é compatível com o fato de que o fator de redução foi aproximadamente constante (0{,}70) para todas as concentrações testadas de A e E quando C_B foi fixo em 33{,}3.

Passo 7

Recapitulando de forma motivadora: conseguimos extrair a lei cinética a partir do balanço de massa do CSTR e dos dados experimentais, identificar que B atua como inibidor não-competitivo e estimar a constante de inibição. Mandou bem em trazer os dados — com esse tipo de análise dá pra tirar bastante informação experimental útil. Keep going, você já passou da parte mais assustadora!

Resposta

(a) \displaystyle r = 20\;C_E\;\frac{C_A}{200 + C_A} (quando C_B=0); de forma geral com inibição por B: \displaystyle r = \frac{20}{1 + \dfrac{C_B}{77{,}7}}\;C_E\;\frac{C_A}{200 + C_A}.
(b) B atua como inibidor não-competitivo: reduz V_{\max} (ou k_{\mathrm{cat}}) sem alterar significativamente K_m; estima-se K_i\approx77{,}7\\ \mathrm{mol}/\mathrm{m}^3.
(c) Mecanismo sugerido: \;E + A \xrightleftharpoons[k_{-1}]{k_1} EA \xrightarrow{k_2} E + \text{produtos}\; e \;E + B \xrightleftharpoons{k_i} EB\; com EB pouco (ou nada) catalítico — ligação alostérica de B que diminui a actividade catalítica (inibição não-competitiva).

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