O carboidrato A se decompõe na presença da enzima E. Suspeitamos também que o carboidrato B
27.4 influencia, de algum modo, essa decomposição. Para estudar esse fenômeno, foram medidas várias concentrações de A, B e E das correntes de entrada e de saida de um reator de mistura perfeita ( V =240 \mathrm{~cm}^{3} ).
(a) A partir dos seguintes dados, encontre a equação de taxa para a decomposição.
(b) O que você pode dizer a respeito do papel de B na decomposição?
(c) Você pode sugerir um mecanismo para essa reação?
C_{\mathrm{A} 0}, \mathrm{~mol} / \mathrm{m}^{3}
C_{\mathrm{A}}, \mathrm{mol} / \mathrm{m}^{3}
C_{\mathrm{B} 0}, \mathrm{~mol} / \mathrm{m}^{3}
C_{\mathrm{EO}}, \mathrm{mol} / \mathrm{m}^{3}
v, \mathrm{~cm}^{3} / \min
200
50
0
12,5
80
900
300
0
5
24
1.200
800
0
5
48
700
33,3
33,3
33,3
24
200
80
33,3
10
80
900
500
33,3
20
120
Passo 1
O enunciado pede:
(a) encontrar a equação de taxa para a decomposição do carboidrato A;
(b) dizer qual é o papel de B nessa decomposição;
(c) sugerir um mecanismo que explique os dados.
Dados fornecidos (volume do reator V=240\\ \mathrm{cm}^3) — vou listar as medidas que o enunciado deu (todos os números estão em \mathrm{mol}/\mathrm{m}^3 para concentrações e \mathrm{cm}^3/\mathrm{min} para vazão):
Observação importante: as concentrações internas do reator são dadas por C_A na tabela (concentração de saída/estado estacionário). A resolução começa a seguir usando esses dados.
Passo 2
Escrevendo o balanço de massa em regime estacionário para o reator de mistura perfeita (CSTR) para o reagente A: vazão de entrada menos vazão de saída menos consumo por reação = 0. Isolando a taxa volumétrica de consumo r (unidade \mathrm{mol}/\mathrm{m}^3/\min):
r = \frac{v}{V}\bigl(C_{A0}-C_A\bigr).
Vou calcular r para cada experiência usando V=240\\ \mathrm{cm}^3. Cálculos passo a passo:
Resumo (para consulta rápida): \,r=(50,\;60,\;80,\;66{,}67,\;40,\;200)\, para as experiências 1 a 6, respectivamente.
Passo 3
Observando as primeiras três experiências, C_{B0}=0, ou seja, sem B. Elas mostram dependência com C_A e com C_{E0}. Uma hipótese natural para reações enzimáticas é a equação de Michaelis–Menten na forma (versão dependente de concentração de enzima):
r = k_{\mathrm{cat}}\,C_E\;\frac{C_A}{K_m + C_A}.
Explicando cada termo (rapidinho, didático):
\;r\; é a taxa volumétrica de consumo de A (\mathrm{mol}/\mathrm{m}^3/\min).
\;C_E\; é a concentração da enzima ativa no reator (\mathrm{mol}/\mathrm{m}^3).
\;C_A\; é a concentração do substrato A no reator (\mathrm{mol}/\mathrm{m}^3).
\;k_{\mathrm{cat}}\; (unidade \min^{-1}) é a constante catalítica — quantas moléculas de A um mol de enzima converte por minuto quando saturada.
\;K_m\; (unidade \mathrm{mol}/\mathrm{m}^3) é a constante de Michaelis — medida da afinidade aparente entre E e A (menor K_m = maior afinidade).
Agora uso as experiências 2 e 3 (mesma C_E=5) para determinar k_{\mathrm{cat}} e K_m. Para cada uma temos:
que coincide exatamente com r_1 medido. Portanto as três primeiras experiências são bem descritas por
r = 20\;C_E\;\frac{C_A}{200 + C_A}\qquad\text{(quando }C_B=0\text{)}.
Passo 5
Agora examinamos as experiências com C_{B0}=33{,}3 (experiências 4,5,6). Primeiro prevejo a taxa usando a mesma lei (sem efeito de B) e comparo com o observado:
Para cada experimento com B calculo r_{\text{pred}}=20\,C_E\,\dfrac{C_A}{200+C_A} e comparo com r_{\mathrm{obs}}.
A razão é aproximadamente a mesma (\approx0{,}70) em todas as três corridas com C_{B0}=33{,}3. Isso indica que a presença de B reduz a taxa por um fator independente de C_A e C_E. Em termos enzimáticos isso significa que a presença de B diminui a velocidade máxima aparente V_{\max}^{\mathrm{app}}=k_{\mathrm{cat}}^{\mathrm{app}}\,C_E sem alterar a dependência em C_A (isto é, não altera K_m). Esse é o comportamento típico de um inibidor não-competitivo (ou misto estrito com afinidade igual para E e ES): V_{\max} diminui, K_m permanece praticamente constante.
Modelando quantitativamente como um inibidor não-competitivo com constante de inibição K_i, a redução do k_{\mathrm{cat}} segue
Portanto a lei de velocidade geral que explica todos os dados (com B possuindo efeito inibitório não-competitivo) é:
r = \frac{20}{1 + \dfrac{C_B}{77{,}7}}\;C_E\;\frac{C_A}{200 + C_A}.
Passo 6
Interpretação química e sugestão de mecanismo (didático e intuitivo):
Um mecanismo coerente com os dados é o seguinte (forma verbal + equações):
A enzima E se liga ao substrato A formando o complexo EA, que então se converte em produto liberando a enzima:
E + A \xrightleftharpoons[k_{-1}]{k_1} EA \xrightarrow{k_2} E + \text{produtos}.
O composto B liga-se à enzima em um sítio distinto (alostérico) formando EB. O complexo EB tem capacidade catalítica muito reduzida (ou nula). Assim B diminui a fração de enzima livre capaz de converter A, reduzindo a velocidade máxima, sem alterar muito a afinidade da enzima por A. Em equações:
E + B \xrightleftharpoons{k_i} EB,
e EB não gera produto com a mesma eficiência que EA (ou não gera produto). Se B pode ligar-se tanto a E quanto a EA (binding independente de A), o efeito observado é um inibidor não-competitivo puro (reduz V_{\max}, não altera K_m). Essa descrição é compatível com o fato de que o fator de redução foi aproximadamente constante (0{,}70) para todas as concentrações testadas de A e E quando C_B foi fixo em 33{,}3.
Passo 7
Recapitulando de forma motivadora: conseguimos extrair a lei cinética a partir do balanço de massa do CSTR e dos dados experimentais, identificar que B atua como inibidor não-competitivo e estimar a constante de inibição. Mandou bem em trazer os dados — com esse tipo de análise dá pra tirar bastante informação experimental útil. Keep going, você já passou da parte mais assustadora!
Resposta
(a) \displaystyle r = 20\;C_E\;\frac{C_A}{200 + C_A} (quando C_B=0); de forma geral com inibição por B: \displaystyle r = \frac{20}{1 + \dfrac{C_B}{77{,}7}}\;C_E\;\frac{C_A}{200 + C_A}.
(b) B atua como inibidor não-competitivo: reduz V_{\max} (ou k_{\mathrm{cat}}) sem alterar significativamente K_m; estima-se K_i\approx77{,}7\\ \mathrm{mol}/\mathrm{m}^3.
(c) Mecanismo sugerido: \;E + A \xrightleftharpoons[k_{-1}]{k_1} EA \xrightarrow{k_2} E + \text{produtos}\; e \;E + B \xrightleftharpoons{k_i} EB\; com EB pouco (ou nada) catalítico — ligação alostérica de B que diminui a actividade catalítica (inibição não-competitiva).