P9.29. Determine a inclinação e o deslocamento no ponto
. Use o método do trabalho virtual.
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a inclinação e o deslocamento no ponto
e informa os parâmetros materiais:
No entanto, o enunciado fornecido aqui não contém a figura do problema nem as informações geométricas e de carregamento (tipo de viga, apoios, cargas, posições, comprimento total, posição do ponto
, etc.). Essas informações são essenciais para calcular os momentos internos
da viga e montar os diagramas de momento real e virtual. Portanto, com os dados atuais não é possível obter valores numéricos para a inclinação e o deslocamento em
.
A seguir eu explico passo a passo, de forma didática, o método do trabalho virtual (método da carga unitária) que você deve aplicar assim que tiver a figura/dados completos. Também explico quais dados exatamente você deve me fornecer (ou verificar na sua prova) para eu resolver numericamente.
Passo 2
Ideia central do método do trabalho virtual (método da carga unitária), explicado de forma simples:
- Queremos encontrar uma componente de deslocamento (translação vertical, horizontal, ou rotação) num ponto
devido às cargas reais que atuam na viga. - Aplicamos uma carga virtual unitária no local e na direção do deslocamento desejado: para deslocamento vertical em
aplicamos uma força virtual vertical em ; para inclinação (rotação) em aplicamos um momento virtual em . - Calculamos o diagrama de momento fletor devido às cargas reais,
, e o diagrama de momento fletor devido à carga/momento virtual unitário, . - A resposta (deslocamento ou rotação) é dada pela integral
onde:
-
é a componente de deslocamento no ponto na direção da carga virtual aplicada (se usar , o resultado será em ); - se a carga virtual for um momento unitário
, a integral fornece a rotação (inclinação) em no ponto . - Interpretação física rápida:
é a energia de deformação associada à interação entre os campos real e virtual; para unidade da carga virtual isso coincide com o deslocamento/rotação desejado.
Passo 3
Definição precisa das grandezas e unidades (muito importante em prova):
-
é o módulo de elasticidade (rigidez do material). Dado em . Converta para para trabalhar com :
Logo
-
é o momento de inércia da seção transversal em . Aqui . - Produto flexional:
Use sempre essas unidades para que o resultado da integral dê
para deslocamento vertical quando a carga virtual for
, e dê
para rotação quando a carga virtual for
.
Passo 4
Passos práticos para aplicar o método numa viga qualquer (faça isso na prova):
- Identifique o tipo de apoio e carregamento e divida a viga em trechos onde
é uma expressão polinomial (normalmente trechos entre cargas pontuais ou mudanças de apoio). - Calcule o diagrama de momento fletor real
em cada trecho — expresse cada trecho como função de (com medido a partir de um ponto conveniente). - Aplique a carga virtual:
- Para deslocamento vertical em
: aplique vertical para cima (ou para baixo); calcule o diagrama resultante. - Para inclinação em
: aplique no ponto ; calcule o diagrama resultante.
- Para deslocamento vertical em
- Para cada trecho, forme o produto
. Isso normalmente será um polinômio em . - Integre em cada trecho:
e some as integrais de todos os trechos para obter o valor total.
6. O resultado é:
6. O resultado é:
-
se for devido a — o resultado será em . -
se for devido a — o resultado será em .
Passo 5
Exemplo ilustrativo (apenas para fixar o procedimento): viga simplesmente apoiada de comprimento
com carga pontual
no centro; calcular deslocamento no centro.
- Real: carga
em . Diagrama conhecido (triangular até meio trecho). - Virtual: aplicar
no centro; diagrama tem mesma forma proporcional. - A integral reduz-se a somar integrais polinomiais em
a e por simetria multiplicar por 2. - Resultado clássico (para lembrar na prova): deslocamento central de viga simplesmente apoiada com carga central
Este resultado foi obtido aplicando exatamente o procedimento do método da carga unitária descrito acima. Observe como a integral dá um polinômio em
e cancela para resultar numa expressão simples.
Passo 6
Observações práticas e dicas para a prova (erros comuns e como evitá-los):
- Sempre escolha o sentido da carga virtual com atenção; se você escolher a carga virtual oposta, o resultado muda de sinal, mas o módulo do deslocamento é o mesmo — atenção ao sinal pedido no enunciado.
- Use unidades consistentes: eu sugiro trabalhar com
e internamente, conforme converti acima. - Para integrais, escreva
e explicitamente como polinômios em cada trecho antes de integrar; evite integrar funções com valor absoluto sem antes separar trechos. - Se houver seções com distribuição de carga (q constante), derive as expressões de momento usando as relações usuais (por exemplo, para carga distribuída
, o momento é função cúbica em ao integrar duas vezes). - Se a viga for composta ou
variar, você precisa colocar dentro da integral: .
Passo 7
Quais dados me faltam para apresentar a solução numérica e completa para o seu problema P9.29:
- Figura da viga ou descrição completa: tipo de apoio (engaste, simples, livre, etc.), comprimento total
. - Localização do ponto
(distância a partir de um apoio). - Todas as cargas: forças pontuais (valores e posições), cargas distribuídas (intensidade e extensão), momentos aplicados (valores e posições).
- Se houver variações de seção (ou seja,
não constante ao longo da viga), a função ou os valores por trecho. - Confirmação das unidades usadas no enunciado (assumo
e como padrão após conversão do e já feitas acima).
Se você me enviar a figura ou descrever todos esses itens, eu sigo o mesmo roteiro detalhado acima e calculo explicitamente
e
, passo a passo, incluindo os diagramas de momento e todas integrais.
Resposta
Não é possível determinar numericamente a inclinação e o deslocamento no ponto
porque a figura do problema e as informações geométricas e de carregamento (apoios, valores e posições das cargas, comprimento, posição de
, etc.) não foram fornecidas.