P9.29. Determine a inclinação e o deslocamento no ponto C. Use o método do trabalho virtual. E=200 \mathrm{GPa}, I= 480\left(10^{6}\right) \mathrm{mm}^{4}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a inclinação e o deslocamento no ponto C e informa os parâmetros materiais:
E = 200\\ \mathrm{GPa},\qquad I = 480\cdot 10^{6}\\ \mathrm{mm}^4.
No entanto, o enunciado fornecido aqui não contém a figura do problema nem as informações geométricas e de carregamento (tipo de viga, apoios, cargas, posições, comprimento total, posição do ponto C, etc.). Essas informações são essenciais para calcular os momentos internos M(x) da viga e montar os diagramas de momento real e virtual. Portanto, com os dados atuais não é possível obter valores numéricos para a inclinação e o deslocamento em C.
A seguir eu explico passo a passo, de forma didática, o método do trabalho virtual (método da carga unitária) que você deve aplicar assim que tiver a figura/dados completos. Também explico quais dados exatamente você deve me fornecer (ou verificar na sua prova) para eu resolver numericamente.

Passo 2

Ideia central do método do trabalho virtual (método da carga unitária), explicado de forma simples:
  • Queremos encontrar uma componente de deslocamento (translação vertical, horizontal, ou rotação) num ponto C devido às cargas reais que atuam na viga.
  • Aplicamos uma carga virtual unitária no local e na direção do deslocamento desejado: para deslocamento vertical em C aplicamos uma força virtual P^*=1\\ \mathrm{N} vertical em C; para inclinação (rotação) em C aplicamos um momento virtual M^*=1\\ \mathrm{N\cdot mm} em C.
  • Calculamos o diagrama de momento fletor devido às cargas reais, M(x), e o diagrama de momento fletor devido à carga/momento virtual unitário, M^*(x).
  • A resposta (deslocamento ou rotação) é dada pela integral
\delta = \int_{0}^{L}\frac{M(x)\,M^*(x)}{E I}\,dx,
onde:
  • \delta é a componente de deslocamento no ponto C na direção da carga virtual aplicada (se usar P^*=1\\ \mathrm{N}, o resultado será em \mathrm{mm});
  • se a carga virtual for um momento unitário M^*=1\\ \mathrm{N\cdot mm}, a integral fornece a rotação (inclinação) em \mathrm{rad} no ponto C.
  • Interpretação física rápida: \int (M M^*/EI)\,dx é a energia de deformação associada à interação entre os campos real e virtual; para unidade da carga virtual isso coincide com o deslocamento/rotação desejado.

Passo 3

Definição precisa das grandezas e unidades (muito importante em prova):
  • E é o módulo de elasticidade (rigidez do material). Dado em \mathrm{GPa}. Converta para \mathrm{N/mm}^2 para trabalhar com \mathrm{mm}:
1\\ \mathrm{GPa} = 1000\\ \mathrm{N/mm}^2.
Logo
E = 200\\ \mathrm{GPa} = 200{,}000\\ \mathrm{N/mm}^2.
  • I é o momento de inércia da seção transversal em \mathrm{mm}^4. Aqui I = 480\cdot 10^{6}\\ \mathrm{mm}^4 = 480\,000\,000\\ \mathrm{mm}^4.
  • Produto flexional:
E I = 200{,}000\\ \mathrm{N/mm}^2 \times 480\cdot 10^{6}\\ \mathrm{mm}^4 = 9{,}6\cdot 10^{13}\\ \mathrm{N\cdot mm}^2.
Use sempre essas unidades para que o resultado da integral dê \mathrm{mm} para deslocamento vertical quando a carga virtual for 1\\ \mathrm{N}, e dê \mathrm{rad} para rotação quando a carga virtual for 1\\ \mathrm{N\cdot mm}.

Passo 4

Passos práticos para aplicar o método numa viga qualquer (faça isso na prova):
  1. Identifique o tipo de apoio e carregamento e divida a viga em trechos onde M(x) é uma expressão polinomial (normalmente trechos entre cargas pontuais ou mudanças de apoio).
  2. Calcule o diagrama de momento fletor real M(x) em cada trecho — expresse cada trecho como função de x (com x medido a partir de um ponto conveniente).
  3. Aplique a carga virtual:
    • Para deslocamento vertical em C: aplique P^*=1\\ \mathrm{N} vertical para cima (ou para baixo); calcule o diagrama M^*(x) resultante.
    • Para inclinação em C: aplique M^*=1\\ \mathrm{N\cdot mm} no ponto C; calcule o diagrama M^*(x) resultante.
  4. Para cada trecho, forme o produto M(x)\,M^*(x). Isso normalmente será um polinômio em x.
  5. Integre em cada trecho:
\int_{x_a}^{x_b} \frac{M(x)\,M^*(x)}{E I}\,dx,
e some as integrais de todos os trechos para obter o valor total.
6. O resultado é:
  • \delta_C = \displaystyle\int_{0}^{L}\frac{M(x)\,M^*(x)}{E I}\,dx se M^*(x) for devido a P^*=1\\ \mathrm{N} — o resultado será em \mathrm{mm}.
  • \theta_C = \displaystyle\int_{0}^{L}\frac{M(x)\,m^*(x)}{E I}\,dx se m^*(x) for devido a M^*=1\\ \mathrm{N\cdot mm} — o resultado será em \mathrm{rad}.

Passo 5

Exemplo ilustrativo (apenas para fixar o procedimento): viga simplesmente apoiada de comprimento L com carga pontual P no centro; calcular deslocamento no centro.
  • Real: carga P em x=L/2. Diagrama M(x) conhecido (triangular até meio trecho).
  • Virtual: aplicar P^*=1\\ \mathrm{N} no centro; diagrama M^*(x) tem mesma forma proporcional.
  • A integral reduz-se a somar integrais polinomiais em 0 a L/2 e por simetria multiplicar por 2.
  • Resultado clássico (para lembrar na prova): deslocamento central de viga simplesmente apoiada com carga central
\delta = \frac{P L^3}{48 E I}.
Este resultado foi obtido aplicando exatamente o procedimento do método da carga unitária descrito acima. Observe como a integral dá um polinômio em L e cancela para resultar numa expressão simples.

Passo 6

Observações práticas e dicas para a prova (erros comuns e como evitá-los):
  • Sempre escolha o sentido da carga virtual com atenção; se você escolher a carga virtual oposta, o resultado muda de sinal, mas o módulo do deslocamento é o mesmo — atenção ao sinal pedido no enunciado.
  • Use unidades consistentes: eu sugiro trabalhar com \mathrm{N} e \mathrm{mm} internamente, conforme converti E acima.
  • Para integrais, escreva M(x) e M^*(x) explicitamente como polinômios em cada trecho antes de integrar; evite integrar funções com valor absoluto sem antes separar trechos.
  • Se houver seções com distribuição de carga (q constante), derive as expressões de momento usando as relações usuais (por exemplo, para carga distribuída q, o momento é função cúbica em x ao integrar duas vezes).
  • Se a viga for composta ou E I variar, você precisa colocar E I(x) dentro da integral: \int \dfrac{M M^*}{E I(x)}\,dx.

Passo 7

Quais dados me faltam para apresentar a solução numérica e completa para o seu problema P9.29:
  • Figura da viga ou descrição completa: tipo de apoio (engaste, simples, livre, etc.), comprimento total L.
  • Localização do ponto C (distância a partir de um apoio).
  • Todas as cargas: forças pontuais (valores e posições), cargas distribuídas (intensidade e extensão), momentos aplicados (valores e posições).
  • Se houver variações de seção (ou seja, I não constante ao longo da viga), a função I(x) ou os valores por trecho.
  • Confirmação das unidades usadas no enunciado (assumo \mathrm{mm} e \mathrm{N} como padrão após conversão do E e I já feitas acima).
Se você me enviar a figura ou descrever todos esses itens, eu sigo o mesmo roteiro detalhado acima e calculo explicitamente \theta_C e \delta_C, passo a passo, incluindo os diagramas de momento e todas integrais.

Resposta

Não é possível determinar numericamente a inclinação e o deslocamento no ponto C porque a figura do problema e as informações geométricas e de carregamento (apoios, valores e posições das cargas, comprimento, posição de C, etc.) não foram fornecidas.

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