Uma viga engastada em uma extremidade e com uma força concentrada de
na extremidade livre possui
.
Determine:
- O momento fletor máximo;
- O valor da tensão normal máxima no ponto mais afastado da linha neutra, sabendo que a seção é retangular com
e
.
Passo 1
O enunciado dá uma viga engastada numa extremidade e com uma força concentrada de
aplicada na extremidade livre; o comprimento da viga é
. A seção transversal é retangular com largura
e altura
.
O que é pedido:
- Determinar o momento fletor máximo.
- Determinar o valor da tensão normal máxima no ponto mais afastado da linha neutra (ou seja, na fibra mais externa da seção), usando a seção retangular fornecida.
Informações relevantes listadas:
- Força concentrada:
. - Comprimento:
. - Seção retangular:
, . - A tensão fletora máxima ocorre onde o momento fletor é máximo (para um pontalete engastado com carga na ponta, isso é no engaste).
Passo 2
Entender o comportamento do momento em uma viga em balanço com carga na ponta (curtinho e direto, como na prova): para uma cantiléver (engaste à esquerda, ponta livre à direita) com uma carga vertical concentrada
aplicada na extremidade livre, o momento fletor interno em uma seção a uma distância
do apoio vale
com sinal que depende da convenção escolhida. O maior valor absoluto de momento ocorre na seção do engaste, ou seja em
. Portanto o momento fletor máximo em módulo é
Passo 3
Calcular numericamente o momento máximo. Primeiro padronizamos unidades para usar depois com a seção em
:
Logo
(Em unidades de engenharia é também comum escrever
.)
Passo 4
Agora a teoria da tensão fletora: a fórmula básica da flexão linear (hipótese das seções planas) diz que a tensão normal devido à flexão em uma fibra com distância
da linha neutra é
onde:
-
é o momento fletor na seção (unidades: aqui), -
é a distância da linha neutra até a fibra considerada (positivo para cima segundo convenção), -
é o momento de inércia da seção em relação à linha neutra (para seção retangular sobre o eixo neutro horizontal: , unidades ).
A tensão máxima em módulo ocorre na fibra mais afastada da linha neutra, isto é para
.
Passo 5
Calcular o momento de inércia da seção retangular (tomando o eixo neutro horizontal que atravessa o centro geométrico). A fórmula:
Substituindo
e
:
Passo 6
Calcular a distância da linha neutra até a fibra mais externa:
Agora usar a fórmula da tensão:
Substituindo os números (todas as unidades consistentes:
,
,
):
Calculemos passo a passo:
Assim
Passo 7
Interpretação do sinal (útil na prova): para uma viga cantiléver com carga vertical para baixo na ponta, o momento no engaste produz “flexão hogging” (momentos de sinal que causam tração nas fibras superiores e compressão nas inferiores). Portanto a fibra mais afastada que fica em tração é a fibra superior e a magnitude da tensão máxima (tensão normal extrema) é
(com sinal negativo/positivo dependendo da convenção de sinais escolhida — aqui o importante é o módulo).