Uma viga engastada em uma extremidade e com uma força concentrada de \mathbf{8 ~ k N} na extremidade livre possui L=3 \mathrm{~m}.
Determine:
  1. O momento fletor máximo;
  2. O valor da tensão normal máxima no ponto mais afastado da linha neutra, sabendo que a seção é retangular com b=40 \mathrm{~mm} e h=120 \mathrm{~mm}.

Passo 1

O enunciado dá uma viga engastada numa extremidade e com uma força concentrada de \mathbf{8~\text{kN}} aplicada na extremidade livre; o comprimento da viga é \mathbf{L=3~\text{m}}. A seção transversal é retangular com largura \mathbf{b=40~\text{mm}} e altura \mathbf{h=120~\text{mm}}.
O que é pedido:
  1. Determinar o momento fletor máximo.
  2. Determinar o valor da tensão normal máxima no ponto mais afastado da linha neutra (ou seja, na fibra mais externa da seção), usando a seção retangular fornecida.
Informações relevantes listadas:
  • Força concentrada: \,P=8~\text{kN}.
  • Comprimento: \,L=3~\text{m}.
  • Seção retangular: \,b=40~\text{mm}, \,h=120~\text{mm}.
  • A tensão fletora máxima ocorre onde o momento fletor é máximo (para um pontalete engastado com carga na ponta, isso é no engaste).

Passo 2

Entender o comportamento do momento em uma viga em balanço com carga na ponta (curtinho e direto, como na prova): para uma cantiléver (engaste à esquerda, ponta livre à direita) com uma carga vertical concentrada \,P aplicada na extremidade livre, o momento fletor interno em uma seção a uma distância \,x do apoio vale
M(x)=P\,(L-x),
com sinal que depende da convenção escolhida. O maior valor absoluto de momento ocorre na seção do engaste, ou seja em x=0. Portanto o momento fletor máximo em módulo é
M_{\max}=P\,L.

Passo 3

Calcular numericamente o momento máximo. Primeiro padronizamos unidades para usar depois com a seção em \text{mm}:
P=8~\text{kN}=8\,000~\text{N},\qquad L=3~\text{m}=3\,000~\text{mm}.
Logo
M_{\max}=P\,L=8\,000\cdot 3\,000 = 24\,000\,000~\text{N}\cdot\text{mm}=24~000~000~\text{N}\cdot\text{mm}.
(Em unidades de engenharia é também comum escrever \,M_{\max}=24~\text{kN}\cdot\text{m}.)

Passo 4

Agora a teoria da tensão fletora: a fórmula básica da flexão linear (hipótese das seções planas) diz que a tensão normal devido à flexão em uma fibra com distância \,y da linha neutra é
\sigma=\frac{M\,y}{I},
onde:
  • \,M é o momento fletor na seção (unidades: \text{N}\cdot\text{mm} aqui),
  • \,y é a distância da linha neutra até a fibra considerada (positivo para cima segundo convenção),
  • \,I é o momento de inércia da seção em relação à linha neutra (para seção retangular sobre o eixo neutro horizontal: \,I=\dfrac{b\,h^{3}}{12}, unidades \text{mm}^4).
A tensão máxima em módulo ocorre na fibra mais afastada da linha neutra, isto é para \,y_{\max}=h/2.

Passo 5

Calcular o momento de inércia da seção retangular (tomando o eixo neutro horizontal que atravessa o centro geométrico). A fórmula:
I=\frac{b\,h^{3}}{12}.
Substituindo \,b=40~\text{mm} e \,h=120~\text{mm}:
h^{3}=120^{3}=1\,728\,000~\text{mm}^{3},
b\,h^{3}=40\cdot 1\,728\,000=69\,120\,000,
I=\frac{69\,120\,000}{12}=5\,760\,000~\text{mm}^{4}.

Passo 6

Calcular a distância da linha neutra até a fibra mais externa:
y_{\max}=\frac{h}{2}=\frac{120}{2}=60~\text{mm}.
Agora usar a fórmula da tensão:
\sigma_{\max}=\frac{M_{\max}\,y_{\max}}{I}.
Substituindo os números (todas as unidades consistentes: \text{N}\cdot\text{mm}, \text{mm}, \text{mm}^4):
\sigma_{\max}=\frac{24\,000\,000\cdot 60}{5\,760\,000}.
Calculemos passo a passo:
24\,000\,000\cdot 60 = 1\,440\,000\,000,
\frac{1\,440\,000\,000}{5\,760\,000}=250.
Assim
\sigma_{\max}=250~\text{N/mm}^{2}=250~\text{MPa}.

Passo 7

Interpretação do sinal (útil na prova): para uma viga cantiléver com carga vertical para baixo na ponta, o momento no engaste produz “flexão hogging” (momentos de sinal que causam tração nas fibras superiores e compressão nas inferiores). Portanto a fibra mais afastada que fica em tração é a fibra superior e a magnitude da tensão máxima (tensão normal extrema) é \,250~\text{MPa} (com sinal negativo/positivo dependendo da convenção de sinais escolhida — aqui o importante é o módulo).

Resposta

M_{\max}=24~\text{kN}\cdot\text{m}=24\,000\,000~\text{N}\cdot\text{mm}\n \sigma_{\max}=250~\text{MPa}

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