Para uma viga biapoiada submetida a carga distribuída uniforme (w) ao longo de todo o vão L, o momento fletor máximo ocorre:
A) No meio do vão e vale M_{\text {max }}=\frac{w L^{2}}{4}
B) No apoio e vale M_{\text {max }}=\frac{w L^{2}}{8}
C) No meio do vão e vale M_{\text {max }}=\frac{w L^{2}}{8}
D) No terço médio e vale M_{\text {max }}=\frac{w L^{2}}{12}
E) No apoio e vale M_{\text {max }}=0

Passo 1

O enunciado dá uma viga biapoiada (simplesmente apoiada) com carga distribuída uniforme ao longo de todo o vão. As informações importantes são:
  • A carga distribuída por unidade de comprimento é \,w.
  • O vão (comprimento entre apoios) é \,L.
  • A carga atua ao longo de todo o vão (de x=0 até x=L).
    A pergunta do enunciado é: onde ocorre o momento fletor máximo e qual o seu valor? As alternativas oferecidas são A), B), C), D) e E).

Passo 2

Primeiro precisamos encontrar as reações de apoio. Pense assim: a carga total aplicada na viga é a intensidade vezes o comprimento, isto é \,wL. Como a viga é simétrica (carga distribuída uniformemente sobre um vão simples), as reações nos dois apoios são iguais e cada uma suporta metade da carga total. Logo:
R_A = R_B = \frac{wL}{2}.
Explicação didática: somando as forças verticais em equilíbrio temos \,R_A+R_B - wL = 0. Como por simetria \,R_A=R_B, obtemos \,R_A=R_B=\frac{wL}{2}.

Passo 3

Agora vamos obter a expressão para o esforço cortante \,V(x) e para o momento fletor \,M(x) em qualquer seção a uma distância \,x do apoio esquerdo. Escolhemos x como coordenada desde o apoio esquerdo (origem em x=0) até x=L.
Relação fundamental entre carregamento, cortante e momento:
  • A derivada do momento em relação a x é o cortante: \,\dfrac{dM}{dx}=V(x).
  • A derivada do cortante em relação a x é a carga distribuída (com sinal negativo se a carga aponta para baixo): \,\dfrac{dV}{dx}=-w.
    Estas relações vêm do equilíbrio estático de um elemento diferencial da viga — é uma ferramenta muito usada em prova: você pode integrar essas equações para obter V(x) e M(x).

Passo 4

Integramos \,\dfrac{dV}{dx}=-w. Integrando com a condição em x=0 (imediatamente à direita do apoio esquerdo) o cortante é a reação R_A:
V(x)=R_A - w x.
Substituindo \,R_A=\dfrac{wL}{2} obtemos
V(x)=\frac{wL}{2} - w x.
Interpretação: ao avançar no vão o cortante diminui linearmente com inclinação -w devido à carga distribuída.

Passo 5

Agora obtém-se o momento integrando V(x) ou escrevendo o momento em uma seção como soma dos momentos das forças à esquerda da seção:
M(x)=R_A\,x - \frac{w x^{2}}{2}.
Substituindo \,R_A=\dfrac{wL}{2} fica
M(x)=\frac{wL}{2}\,x - \frac{w x^{2}}{2}.
Explicação prática: o primeiro termo é o momento causado pela reação do apoio esquerdo a uma distância x; o segundo termo é o momento causado pela parcela da carga distribuída entre 0 e x (que tem resultante w x aplicada no meio desse trecho, a x/2).

Passo 6

O momento fletor máximo ocorre onde o cortante muda de sinal (ou seja, onde \,V(x)=0), porque V=\dfrac{dM}{dx}. Assim resolvemos:
\frac{wL}{2} - w x = 0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{L}{2}.
Conclusão: o máximo do momento está no meio do vão ( x=\dfrac{L}{2}). Isso também é intuitivo por simetria.

Passo 7

Calculamos o valor do momento em x=\dfrac{L}{2}. Substituindo em M(x):
M\!\left(\frac{L}{2}\right)=\frac{wL}{2}\cdot\frac{L}{2}-\frac{w}{2}\left(\frac{L}{2}\right)^{2}.
Calcule passo a passo:
\frac{wL}{2}\cdot\frac{L}{2}=\frac{wL^{2}}{4},
\frac{w}{2}\left(\frac{L}{2}\right)^{2}=\frac{w}{2}\cdot\frac{L^{2}}{4}=\frac{wL^{2}}{8}.
Subtraindo:
M_{\text{max}}=\frac{wL^{2}}{4}-\frac{wL^{2}}{8}=\frac{wL^{2}}{8}.
Portanto o momento fletor máximo ocorre no meio do vão e vale \,\dfrac{wL^{2}}{8}.

Resposta

C) No meio do vão e vale \displaystyle M_{\text{max}}=\frac{wL^{2}}{8}

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