Para uma viga biapoiada submetida a carga distribuída uniforme (w) ao longo de todo o vão
, o momento fletor máximo ocorre:
A) No meio do vão e vale
B) No apoio e vale
C) No meio do vão e vale
D) No terço médio e vale
E) No apoio e vale
A) No meio do vão e vale
B) No apoio e vale
C) No meio do vão e vale
D) No terço médio e vale
E) No apoio e vale
Passo 1
O enunciado dá uma viga biapoiada (simplesmente apoiada) com carga distribuída uniforme ao longo de todo o vão. As informações importantes são:
- A carga distribuída por unidade de comprimento é
. - O vão (comprimento entre apoios) é
. - A carga atua ao longo de todo o vão (de
até ).
A pergunta do enunciado é: onde ocorre o momento fletor máximo e qual o seu valor? As alternativas oferecidas são A), B), C), D) e E).
Passo 2
Primeiro precisamos encontrar as reações de apoio. Pense assim: a carga total aplicada na viga é a intensidade vezes o comprimento, isto é
. Como a viga é simétrica (carga distribuída uniformemente sobre um vão simples), as reações nos dois apoios são iguais e cada uma suporta metade da carga total. Logo:
Explicação didática: somando as forças verticais em equilíbrio temos
. Como por simetria
, obtemos
.
Passo 3
Agora vamos obter a expressão para o esforço cortante
e para o momento fletor
em qualquer seção a uma distância
do apoio esquerdo. Escolhemos
como coordenada desde o apoio esquerdo (origem em
) até
.
Relação fundamental entre carregamento, cortante e momento:
- A derivada do momento em relação a
é o cortante: . - A derivada do cortante em relação a
é a carga distribuída (com sinal negativo se a carga aponta para baixo): .
Estas relações vêm do equilíbrio estático de um elemento diferencial da viga — é uma ferramenta muito usada em prova: você pode integrar essas equações para obtere .
Passo 4
Integramos
. Integrando com a condição em
(imediatamente à direita do apoio esquerdo) o cortante é a reação
:
Substituindo
obtemos
Interpretação: ao avançar no vão o cortante diminui linearmente com inclinação
devido à carga distribuída.
Passo 5
Agora obtém-se o momento integrando
ou escrevendo o momento em uma seção como soma dos momentos das forças à esquerda da seção:
Substituindo
fica
Explicação prática: o primeiro termo é o momento causado pela reação do apoio esquerdo a uma distância
; o segundo termo é o momento causado pela parcela da carga distribuída entre
e
(que tem resultante
aplicada no meio desse trecho, a
).
Passo 6
O momento fletor máximo ocorre onde o cortante muda de sinal (ou seja, onde
), porque
. Assim resolvemos:
Conclusão: o máximo do momento está no meio do vão (
). Isso também é intuitivo por simetria.
Passo 7
Calculamos o valor do momento em
. Substituindo em
:
Calcule passo a passo:
Subtraindo:
Portanto o momento fletor máximo ocorre no meio do vão e vale
.
Resposta
C) No meio do vão e vale